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1、六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761173. 1 中值定理授课次序17教 学 基 本 指 标教学课题3. 1 中值定理教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点罗尔定理、拉格朗日中值定理教学难点定理的证明与应用参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学导数：derivative ；微分：differential calculus；中值定理：law of the mean； 课堂教学目标1理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理；2了解柯西中值定理。教学过程1费马引理与罗尔定
2、理（35min）；2拉格朗日中值定理（40min）；3柯西中值定理（15min）教 学 基 本 内 容3. 1 中值定理一、罗尔定理 费马引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 并且在x0处可导, 如果对任意xU(x0), 有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0), 那么f (x0)=0. 罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)内至少在一点x , 使得f (x)=0. 简要证明: (1)如果f(x)是常函数, 则f (x)0, 定理的结论显然成立. (2)如果f(x)不是常函数,
3、 则f(x)在(a, b)内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点x(a, b). 于是, , 所以f (x)=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点x(axb), 使得等式f(b)-f(a)=f (x)(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的几何意义: f (x)=, 定理的证明: 引进辅函数令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件: j(a)=j(b)=0, j(x)在闭区间a, b 上连续在开区间(a,
4、b)内可导, 且j (x)=f (x)-. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a, b)内至少有一点x, 使j (x)=0, 即f (x)-=0. 由此得 = f (x) , 即 f(b)-f(a)=f (x)(b-a). 定理证毕. f(b)-f(a)=f (x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b0或Dx0)或x+Dx, x (Dx0)应用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f (x+qDx)Dx (0q1). 如果记f(x)为y, 则上式又可写为Dy=f (x+qDx)Dx (0q1). 试与微分d y=f (x)Dx 比较: d y =f (x)Dx是函数增量Dy
5、的近似表达式, 而f (x+qDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式. 作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理: 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那么f(x)在区间I上是一个常数. 证 在区间I上任取两点x1, x2(x1x2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f (x)(x2 - x1) (x1x0时, . 证 设f(x)=ln(1+x), 显然f(x)在区间0, x上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f(x)-f(0)=f (x)(x-0), 0xx。由于f(0)=0, , 因此上式即为 .又由0xx, 有 . 三、柯西中值定理
6、设曲线弧C由参数方程 (axb)表示, 其中x为参数. 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点x=x , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点x=x 处的切线的斜率为 , 弦AB的斜率为 . 于是 . 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且F (x)在(a, b)内的每一点处均不为零, 那么在(a, b)内至少有一点x , 使等式 .成立. 显然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F (x)=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f(b)-f(a)=f (x)(b-a) (axb), 这样就变成了拉格朗日中值公式了. 备注栏教学后记3. 1 中值定理 第 3 页 共 3 页
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