高中数学 6.6直接证明与间接证明配套课件 苏教版

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1、第六节 直接证明与间接证明内内 容容要要 求求A AB BC C分析法与综合法分析法与综合法 反证法反证法 高考指数高考指数: :1.1.直接证明直接证明(1)(1)定义：直接从定义：直接从_逐步推得命题成立的证明方法逐步推得命题成立的证明方法. .(2)(2)一般形式一般形式本题条件本题条件已知定义已知定义 A AB BC C本题结论本题结论. .已知公理已知公理已知定理已知定理原命题的条件原命题的条件(3)(3)综合法与分析法综合法与分析法内容内容 综综 合合 法法 分分 析析 法法 定义定义 实质实质 框图框图表示表示 文字文字语言语言 综合法是从已知条件出发综合法是从已知条件出发, ,

2、以已以已知的定义知的定义、公理公理、定理为依据定理为依据, ,逐步下推逐步下推, ,直到推出要证明的结直到推出要证明的结论为止的证明方法论为止的证明方法. . 分析法是从问题的结论出发分析法是从问题的结论出发, ,追追溯导致结论成立的条件溯导致结论成立的条件, ,逐步上逐步上溯溯, ,直到使直到使_和已和已知条件或已知事实吻合为止的知条件或已知事实吻合为止的证明方法证明方法. . 由因导果由因导果 执果索因执果索因 1PQ12QQnQQ1QP12PP得到一个明显成立的条件因为因为所以所以或由或由得得 要证要证只需证只需证即证即证 结论成立的条件结论成立的条件【即时应用【即时应用】(1)(1)思

3、考下列思维特点：思考下列思维特点：从从“已知已知”逐步推向逐步推向“未知未知”，即逐步寻找已知成立的必要，即逐步寻找已知成立的必要条件条件. .从从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”即逐步寻找结论即逐步寻找结论成立的充分条件成立的充分条件. .满足综合法的是满足综合法的是_，满足分析法的是，满足分析法的是_(_(请填写相应序号请填写相应序号).).(2)(2)已知已知t=a+2b,s=a+bt=a+2b,s=a+b2 2+1,+1,则则s,ts,t的大小关系是的大小关系是_._.(3)(3)在正项等比数列在正项等比数列aan n 和正项等差数列和正项等差数列bbn n

4、 中，中，a a1 1=b=b1 1,a,a3 3=b=b3 3,a,a1 1aa3 3，则，则a a5 5与与b b5 5的大小关系为的大小关系为_._.【解析【解析】(1)(1)由分析法、综合法的定义可判断由分析法、综合法的定义可判断. .满足综合法；满足综合法；满足分析法满足分析法. .(2)(2)由由s-ts-t=a+b=a+b2 2+1-a-2b=b+1-a-2b=b2 2-2b+1=(b-1)-2b+1=(b-1)2 20,0,故故stst. .(3)(3)由由a a1 1aa3 3, ,得得b b1 1bb3 3, ,所以所以b b1 1bb5 5, ,且且b b1 10,b0,

5、b5 50,0,又又a a3 3= =b= =b3 3= ,= ,即即 , ,又又a a1 1=b=b1 1, ,所以所以a a5 5bb5 5. .答案：答案：(1)(1) (2)st (3)a (2)st (3)a5 5bb5 515a a1515bbb b215a a15b b2.2.间接证明间接证明(1)(1)反证法定义反证法定义反证法是要证明某一结论反证法是要证明某一结论Q Q是正确的，但不直接证明，而是先去是正确的，但不直接证明，而是先去假设假设Q Q不成立不成立( (即即Q Q的反面非的反面非Q Q是正确的是正确的) )，经过正确的推理，最后，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说

6、明假设非得出矛盾，因此说明假设非Q Q是错误的，从而断定结论是错误的，从而断定结论Q Q是正确是正确的证明方法的证明方法. .(2)(2)反证法的基本步骤反证法的基本步骤第一步第一步 _假设命题的假设命题的_不成立，即假定原结论的不成立，即假定原结论的反面为真反面为真. .第二步第二步 _从从_和和_出发，经过一系列正出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出确的逻辑推理，得出_结果结果. .第三步第三步 _由由_结果，断定结果，断定_不真，从而肯不真，从而肯定原结论成立定原结论成立. .反设反设归谬归谬存真存真结论结论反设反设已知条件已知条件矛盾矛盾矛盾矛盾反设反设【即时应用【即时应用】(1)(1

7、)判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.(.(请在括号内打请在括号内打“”或或“”)”)综合法是顺推法综合法是顺推法 ( )( )分析法是逆推法分析法是逆推法 ( )( )反证法是间接证法反证法是间接证法 ( )( )(2)(2)用反证法证明用反证法证明“如果如果ab,ab,那么那么 ” ”，其中假设内容应，其中假设内容应是是_._.(3)(3)用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于三角形三个内角至少有一个不大于6060”时，应假设时，应假设_._.33ab【解析【解析】(1)(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知由分析法、综合法、反证法的定义可知都都正确正确.

8、 .(2)(2)否定结论，否定结论， 的否定是的否定是 . .(3)(3)因为因为“至少有一个至少有一个”的反面是的反面是“一个也没有一个也没有”，所以，所以“三角三角形三个内角至少有一个不大于形三个内角至少有一个不大于6060” ” 的否定是的否定是“三角形三个内三角形三个内角一个也没有不大于角一个也没有不大于6060”，即，即“三角形三个内角都大于三角形三个内角都大于6060”.”.答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3)(3)三角形三个内角都大于三角形三个内角都大于6060 33ab33ab33ab 综合法的应用综合法的应用【方法点睛【方法点睛】利用综合法证题的基本思路利用综合法

9、证题的基本思路分析条件分析条件选择方向选择方向转化条件转化条件组织过程组织过程适当调整适当调整回顾反思回顾反思分析题目的已知条件及已知与结论之间分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系与区别，选择相关的定理、公式的联系与区别，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法等，确定恰当的解题方法把已知条件转化成解题所需要的语言，把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化的转化回顾解题过程，可对部分步骤进行调回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取思总结解题

10、方法的选取【例【例1 1】(2012(2012扬州模拟扬州模拟) )设设a,b,c,da,b,c,d都是正数都是正数, ,且且求证求证:xy:xy【解题指南【解题指南】利用平方作差法推理、综合法证明利用平方作差法推理、综合法证明. .2222xab ,ycd .acbdadbc .【规范解答【规范解答】(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)-(ac+bd)-(ac+bd)2 2 =(ad-bc)=(ad-bc)2 20,0,(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)(ac+bd)(ac+bd)2 2, ,又又a,b,c,da,b,c,d均为正数均为正

11、数, , ac+bd0 ac+bd0, ,同理同理 ad+bc0ad+bc0得得: : (a (a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)(ac+bd)(ad+bc)0,)(ac+bd)(ad+bc)0, 即即xyxy 2222abcd2222abcd2222abcd（)( )(）acbdadbc ,acbdadbc .【反思【反思感悟感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法论证推导出正确

12、结论，是顺推法或由因导果法. .其逻辑依据是三其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确这样才能保证结论的正确. .【变式训练【变式训练】已知已知x+y+zx+y+z=1=1，求证，求证:x:x2 2+y+y2 2+z+z2 2 . .【证明【证明】xx2 2+y+y2 22xy,x2xy,x2 2+z+z2 22xz,y2xz,y2 2+z+z2 22yz,2yz,2x2x2 2+2y+2y2 2+2z+2z2 22xy+2xz+2yz,2xy+2xz+2yz,3x3x2 2+3y+3y

13、2 2+3z+3z2 2xx2 2+y+y2 2+z+z2 2+2xy+2xz+2yz,+2xy+2xz+2yz,即即3(x3(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)(x+y+z)(x+y+z)2 2, ,x+y+z=1,(x+y+z)x+y+z=1,(x+y+z)2 2=1,=1,3(x3(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)1,)1,即即x x2 2+y+y2 2+z+z2 2 . .1313 分析法的应用分析法的应用【方法点睛【方法点睛】分析法的特点与思路分析法的特点与思路分析法的特点和思路是分析法的特点和思路是“执果索因执果索因”，即从，即从“未知未知”看看“需需知知”，逐步靠拢，逐

14、步靠拢“已知已知”或本身已经成立的定理、性质或已经或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等证明成立的结论等. .通常采用通常采用“欲证欲证只需证只需证已知已知”的格的格式，在表达中要注意叙述形式的规范式，在表达中要注意叙述形式的规范. . 【例【例2 2】(2012(2012南通模拟南通模拟) )已知已知m0,a,bR,m0,a,bR,求证：求证：【解题指南【解题指南】利用分析法利用分析法, ,去分母后移项作差，最后变形可证去分母后移项作差，最后变形可证. .【规范解答【规范解答】m0,1+m0.m0,1+m0.所以要证原不等式成立，所以要证原不等式成立，只需证明只需证明(a+mb)(

15、a+mb)2 2(1+m)(a(1+m)(a2 2+mb+mb2 2),),即证即证m(am(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)0,)0,即证即证(a-b)(a-b)2 20,0,而而(a-b)(a-b)2 200显然成立，故原不等式得证显然成立，故原不等式得证. .222ambamb().1m1m【反思【反思感悟感悟】1.1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件反推，逐步寻找使结论成立的充分条件. .正确把握转化方向是使正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键问题顺利获解的关键 2.2.在实际解题时在实际解题时,

16、,对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价即通过分析法找出某个与结论等价( (或充分或充分) )的中间结论，然后的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证【变式训练【变式训练】已知已知a,b(0,+),a,b(0,+),求证：求证：【证明【证明】因为因为a,b(0,+)a,b(0,+)，要证原不等式成立，要证原不等式成立, ,只需证只需证 6 6 6 6, ,即证即证(a(a3 3+b+b3 3) )2 2(a(a2 2+b+b2 2) )3 3, ,即证即证

17、a a6 6+2a+2a3 3b b3 3+b+b6 6aa6 6+3a+3a4 4b b2 2+3a+3a2 2b b4 4+b+b6 6. .只需证只需证2a2a3 3b b3 33a3a4 4b b2 2+3a+3a2 2b b4 4. .因为因为a,b(0,+),a,b(0,+),所以即证所以即证2ab3(a2ab2ab)6ab2ab成立成立, ,以上步骤步步可逆以上步骤步步可逆, ,所以所以11332232abab.1333ab1222ab11332232abab. 综合法、分析法的综合应用综合法、分析法的综合应用【方法点睛【方法点睛】综合法与分析法的应用技巧综合法与分析法的应用技巧

18、综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写. .这一点这一点在立体几何中应用最为明显，同时，在三角、解析几何中也大在立体几何中应用最为明显，同时，在三角、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题. .【提醒【提醒】综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每

19、的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件步寻找的是充分条件. .【例【例3 3】如图，四边形】如图，四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，PBPB平面平面ABCDABCD，MAMA平面平面ABCDABCD，PB=AB=2MA.PB=AB=2MA.求证：求证：(1)(1)平面平面AMDAMD平面平面BPCBPC；(2)(2)平面平面PMDPMD平面平面PBD.PBD.【解题指南【解题指南】(1)(1)欲证平面欲证平面AMDAMD平面平面BPCBPC，只需证，只需证AMPBAMPB，ADBCADBC从而得从而得AMAM平面平面PBC,ADPBC,AD平面平面PB

20、CPBC，从而得证，从而得证. .(2)(2)欲证平面欲证平面PMDPMD平面平面PBDPBD，只需连结，只需连结ACAC交交BDBD于于E E，取，取PDPD中点为中点为F F，连结连结MFMF、EFEF，即证，即证AEAE平面平面PBD,PBD,而而AEAE与与MFMF又平行从而得证又平行从而得证. .【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为PBPB平面平面ABCDABCD，MAMA平面平面ABCDABCD，所以，所以PBMA.PBMA.因为因为PBPB平面平面BPCBPC，MAMA平面平面PBCPBC，所以所以MAMA平面平面BPC.BPC.同理，同理，DADA平面平面BPC.BPC.

21、又又MAMA平面平面AMDAMD，ADAD平面平面AMD,MAAD=AAMD,MAAD=A，所以平面所以平面AMDAMD平面平面BPC.BPC.PMDBFAEC(2)(2)连结连结ACAC，设，设ACBD=E,ACBD=E,取取PDPD中点中点F F，连结，连结EFEF，MF.MF.因为四边形因为四边形ABCDABCD为正方形，所以为正方形，所以E E为为BDBD的中点的中点. .因为因为F F为为PDPD中点，所以中点，所以EF PB.EF PB.又又AM PBAM PB，所以四边形，所以四边形AEFMAEFM为平行四边形为平行四边形, ,所以所以MFAE.MFAE.因为因为PBPB平面平面

22、ABCDABCD，所以，所以PBAE,PBAE,又因为又因为ABCDABCD是正方形，所以是正方形，所以AEBDAEBD，所以，所以AEAE平面平面PBDPBD，又因为又因为MFAEMFAE，所以，所以MFMF平面平面PBDPBD，又因为又因为MFMF平面平面PMDPMD，所以平面，所以平面PMDPMD平面平面PBD. PBD. 1212【互动探究【互动探究】在本例中条件不变的情况下，如何证明平面在本例中条件不变的情况下，如何证明平面PDCPDC平面平面MADMAD？【证明【证明】MAMA平面平面ABCDABCD，MADCMADC，又又ABCDABCD是正方形，是正方形，DCADDCAD，又又

23、ADMA=A,DCADMA=A,DC平面平面MADMAD，又又DCDC平面平面PDCPDC，平面平面PDCPDC平面平面MAD.MAD.【反思【反思感悟感悟】利用分析法分析结论成立的充分条件，探究面利用分析法分析结论成立的充分条件，探究面面平行需具备的条件，面面垂直所要具备的条件，找到条件后，面平行需具备的条件，面面垂直所要具备的条件，找到条件后，再用综合法书写证明过程再用综合法书写证明过程. .这是此类问题的常规解法，需要灵活这是此类问题的常规解法，需要灵活掌握掌握. .【变式备选【变式备选】ABCABC的三个内角的三个内角A A，B B，C C成等差数列，三条边为成等差数列，三条边为a a

24、、b b、c,c,求证：求证：(a+b)(a+b)-1-1+(b+c)+(b+c)-1-1=3(a+b+c)=3(a+b+c)-1-1. .【证明【证明】ABCABC三个内角三个内角A A，B B，C C成等差数列，成等差数列，B=60B=60, ,由余弦定理，有由余弦定理，有b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacos60-2cacos60, ,得得c c2 2+a+a2 2=ac+b=ac+b2 2，两边同加上两边同加上ab+bcab+bc，得，得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),两边同除以两边同除以(a+b)(b

25、+c)(a+b)(b+c)，得，得 =1,=1,( +1)+( +1)=3, =3,( +1)+( +1)=3, =3,即即 (a+b)(a+b)-1-1+(b+c)+(b+c)-1-1=3(a+b+c)=3(a+b+c)-1-1. .caabbccababcabcabcabbc113.abbcabc 反证法的应用反证法的应用【方法点睛【方法点睛】 1.1.反证法的解题原则反证法的解题原则反证法的原理是反证法的原理是“正难则反正难则反”，即如果正面证明有困难时，或，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以

26、考虑用反证法用反证法. .2.2.反证法中常见词语的否定形式反证法中常见词语的否定形式原词原词否定形式否定形式至多有至多有n n个个( (即即xnxn，nNnN* *) ) 至少有至少有n+1n+1个个( (即即xn xn xn+1, nNxn+1, nN* *) )至少有至少有n n个个( (即即xn,nNxn,nN* *) )至多有至多有n-1n-1个个( (即即xnx0,-30,且且(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2+(z-1)+(z-1)2 20,0,a+b+c0,a+b+c0,这与这与a+b+c0a+b+c0矛盾矛盾. .因此因此a,b,ca,b,c中至少有一个

27、大于中至少有一个大于0.0.236【反思【反思感悟感悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：盾可以是：与已知条件矛盾，与已知条件矛盾，与假设矛盾，与假设矛盾，与定义、公与定义、公理、定理矛盾，理、定理矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器. .【变式训练【变式训练】在在ABCABC中，中，AA，BB，CC的对边分别为的对边分别为a,b,ca,b,c，若若a,b,ca,b,c三边的倒数成等差数列，求证：三

28、边的倒数成等差数列，求证：B90B90. .【证明【证明】假设假设B90Ba,bba,bc.c. , , , ,相加得相加得 + + = ,+ + = ,这与这与 + = + = 矛盾矛盾. .故故B90B90不成立不成立. .因此因此B90B90. .1a1a1b1b1c1c1b1b2b1a1c2b【变式备选【变式备选】已知已知a-1,a-1,求证三个方程：求证三个方程：x x2 2+4ax-4a+3=0,x+4ax-4a+3=0,x2 2+(a-1)x+a+(a-1)x+a2 2=0,=0,x x2 2+2ax-2a=0+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数根中至少有一个方程有实数根.

29、.【解析【解析】假设三个方程都没有实数根，则假设三个方程都没有实数根，则- a-1.- a0,0,要分两种情要分两种情况分析，可证况分析，可证. .2222ab(cd )【规范解答【规范解答】(1)(1)当当ac+bd0ac+bd0时，时， 0,0,2 2分分故不等式显然成立，此时故不等式显然成立，此时a=b=c=d=0a=b=c=d=0时等号成立时等号成立. .4 4分分(2)(2)当当ac+bdac+bd00时，要证原不等式成立，只需证时，要证原不等式成立，只需证(ac+bd)(ac+bd)2 2(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2),),6 6分分即证即证a a2

30、 2c c2 2+2abcd+b+2abcd+b2 2d d2 2aa2 2c c2 2+a+a2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2. .8 8分分即证即证2abcda2abcda2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2, ,即即0(bc-ad)0(bc-ad)2 2. .1010分分a,b,c,dRa,b,c,dR, ,上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为bcbc=ad.=ad.由由(1)(2)(1)(2)知原命题成立知原命题成立. .1414分分2222ab(cd )【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过

31、阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示和备考建议： 失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)不去分类，而是直接平方作差判断不去分类，而是直接平方作差判断. .(2)(2)在平方作差变形时运算失误或对等号成立在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说明不到位而失分的条件说明不到位而失分. . 备备考考建建议议 解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注分，在备考时要高度关注: :(1)(1)对常用三种不等

32、式的证明方法：综合法、对常用三种不等式的证明方法：综合法、分析法、反证法的解题过程与推理形式理解不到位分析法、反证法的解题过程与推理形式理解不到位. .(2)(2)用反证法证题时反设错误用反证法证题时反设错误. .(3)(3)已知条件较多，表达不清，逻辑混乱已知条件较多，表达不清，逻辑混乱. .另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法. . 1.(20121.(2012常州模拟常州模拟) )用反证法证明用反证法证明“若若abab, ,则则a a3 3bb3 3”,”,假设假设的内容是的内容是_._.【解析【解析】由反证法的定义由反证法的定义, ,应否定结论应否定结论, ,即即a a3 3bb3 3. .答案：答案：a a3 3by,xy,求证求证: :2x+ 2y+2 .2x+ 2y+2 .【证明【证明】x0,y0,x-y0,x0,y0,x-y0,2x+ -2y=2(x-y)+2x+ -2y=2(x-y)+=2(x-y)+ 2 =2(x-y)+ 2 等号当且仅当等号当且仅当x-yx-y= = 时取得时取得, ,2x+ -2y2 ,2x+ -2y2 ,2x+ 2y+2 .2x+ 2y+2 .221x2xyy2221x2xyy21xy1xy222221x2xyy221x2xyy22