决胜2011系列第一季:高考数学创新题的必杀技之思维迁移能力培养
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1、高考数学创新题的必杀技之思维迁移篇褂梦迪古今之成大事业、大学问者,必经过三种之境界:“昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽 天涯路”,此第一境界也;“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴”,此第二境界也;“众里 寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”,此第三境界也.王国维早就说在高中写儿个帖子,但由J犯懒,一直没动弹。最近,在北京一模结束后,好多 学生都问我,说在高考的巧场上,怎么处理第8题、第11题和第20题得后几问。卜-而我就 就这个问题,谈一下我的看法,希垫对大家有所帮助!一、积极备战,不要提前说再见!首先,耍明确的-点是不耍过早的放弃!因为在高考考场的PK不仅仅是在知识的层面 上,更重要的PK
2、是在心态上!冇很多同学都认为:我只耍把前面简单地做好,后面的直接 放弃就町以了。首先这个想法本身并没有错,但是在实战的时候,这样的想法势必会让你对 前面的简单题给了,了很人的希望!如果做得顺于还好,但是一口仃小题K住,后果将不堪设 想!就好像仃很多人英语学的不是特别好,就把希望齐托在理科上,结采总是会因为过度紧 张而出现成绩不稳定,大起大落等等,其至会导致最后的惨败。所以,在准备二模的过程中,对于创新题的处理,在心态一定要积极备战,不要提前 说再见!二、发散之前先迁移,基本功是关键!有很女同学都都把创新题型的处理定位在发散性思维上,认为只有撒开了想才能解决创 新题,这可能也是很多同学解不出创新
3、题的主要原因。在这甲我翹说的是:在发散之前首先要做的事悄是思维的迁移I比如以前冇没冇见过 类似的题冃,在庞杂题I I中仃没有学过的一些信息,题H屮所表达的含义和平时学的知识冇 什么牵连,而往往这些东術都会成为做题的切入点。而刚才说的儿种迁移的过程也正是我们 思维迁移的二种境界:题目的迁移,知识点的迁移和能力的迁移!为然,能做出这些迁移 的前提是我们必须得仃超强的肚木功,对做过的题目一定要进行总结。所以,在最厉冲刺的 阶段,学校的练习是非常非常朿要的,在高考的路上是没仃捷径的!卜面让我们通过最近考得儿道题M來看一看这三种迁移应该如何川用!思维迁移的第一个境界:题冃的迁移;难度:能力耍求:耍对做过
4、的经典题目仃很探刻的了解!【题目重现】:(浙江金华十校联考)如图,直线1丄平Illi a ,垂足为0。已知长方体ABCD ABfDM,AA5, AB = 6, A】D = 8。该长方体符介以卜条件的自由运动:(2) Ael, (2) Cea.则C,、 O两点间的最大距离为。以上是金华i模的谥后一道填空题,很多北京的考生在京到这道题时,都没仃思路,不 知该如何卜手。同志们,卜而我们让來思考这样一个问题:在平时的训练中,我们有没冇见 过这样的题冃,说“题中有两个动点.其中一个在线上动,另一个在面上动”呢?【题冃迁移儿已知正方体AECD-的棱长为2,长为2的线段MN的一个端点M在棱DD】上运动,另-
5、端点N在正方形ABCD内运动,则MN屮点轨迹与正方体ABCD- ABD的表而所用成的较小的几何体的体积为这道题我想人家应该都不陌生吧.它曾经也在海淀的模拟题屮出现过,咱们在一轮复习的时候专门处理过这一类的问题:解题的关键在于定值的转化!具体过程如卜:MN的长度是定值AOMN是直饬三角形VMN边上的中线DT是定值DT的长廢祭定值VT的轨迹是球的一部分/终得到了 MN屮点轨迹与正方体AECD-AUGDi的农面所用成的较小的儿何体1 4 1为一个半径为1的球的体积的一,即= 兀.3 = 一兀.88 36那卜面让我们回到金华的这道题目,题目中也提到了“A点在1上动,C点在a I:动“,把数据代入,不难
6、发现:AC的反度山为10!这和我们刚才的拿到题IHX神似啊! J沉很容易就想到了:我们盂耍做出AC的中点T,连接OT和CT,发现OT的长度恒为5,而由勾股定理也不难得出CT长度为5近,如卜图。而当OT和CT共线时,OC将取到 最人值:5 + 5近。这时町能勺的同学就会问了 OT和CT 一泄叮以共线吗?这时候就是我们盂要发散的时候了 !题U中的难点是长方体ABCD-AB,CD,是可以运动的,不好把握,但卩|们可是在 物理中学过相对运动的人,能不能让长方体不动,让而动呢?我们來看一卜:A,通过观察不难发现:如果长方体固定,只要我们过OC做出一个平而,使得这个平而和OA 垂直,这个平面就是Q。而木身
7、OA丄OC,这个平面一定是存在的!反思:题忖做完了,通过対比,我们发现以上两道題冃是如此的相似,金华的模拟题只不 过就是把我们的练习题换了一身衣服出处来了!所以,在冲剌阶段一定要对常见的題型进 行整理,一定婆把原因搞清楚,题型的迁移就一定能做到!思维迁移的第二个境界:知识点的迁移:难度:能力耍求:要对课本的概念、定义要冇深刻的了解【题目重现】:(2011海淀一模)如图,线段AB=8.点C在线段AB上,且AC =2, P为线段CB上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后巫介J点D 设CP =x , CPD的面积为f(x).则f(x)的定义域为:f(x)的零点是.一、以上足海淀-模的垠后一道填
8、空题,其实今年海淀和西城的-模题还是比较平隐的,没 冇特别夸张的题目.这道题当然可以用正余弦定理通过解三角形做。但是通过观察,我们发现題屮只需耍我们求f(x)的定义域和f*(x)的零点,而f(x)的 定义域实实就是ACPD成工的条件,这个用三角形的两边之和人第三边,直接就能搞定:2 + x 6 - x* 2 + 6- x X解之得:2 x2在求解的过程中,我们发现:CP + PD = 6!看到它后你想到了什么?【知识点迁移】:椭圆是平面上到两点距离之和为定值(该定值大于两点间距离)的点的集合!那么,当我们发现CP+PD = 6,也就是说,点P到点D和C的距离Z和为6。不难 得到:点P的轨迹应该
9、是以C、D为焦点的椭圆,尽管这样的椭圆有无数个,但是由丁5和 C都是固定的.即椭圆的大小永远都是不变的,如卜图:这个秘密和我们的问题何什么联系呢?我们耍求的是f(x)的冬I也就是f (x) =0的山, 也就是ACPD而积最人时的X的取值。但问题又出现了:椭圆是在运动的,在什么情况下,ACPD会取到最大值呢?我们好像刚处理过这样的问题!这也就是我们所说的能力迁移!思维迁移的第三个境界:知识点的迁移:难度:能力耍求:对技刃和知识的积累耍何很高的耍求在做金华一模那道题的时候,我们处理运动的长方体ABCD-ABf D,时,思路是:将 运动的长方体固定,让可以控制的面动起来!这样的思路能在这里用吗?让我
10、们把椭圆固定下来,也就相当J:点P在运动了!显然,当P运动到上端点时而积 最人,此时PC = PD,我们不难得出:x=3这就是咱们思维迁移的三种境界!就像引言中王国维说的一样,任何事情都在于坚持, 很多时候当我们在无数次的无奈、彷徨甚至是失败的阴影中走出来的时候,你会发现最漂 亮的解法原来就在我们身边.瑕后让我们來做-个练习题吧,看看人家能不能迁移出放完美的解法!【补允练习】:正方体ABCD - AB C D的棱长为2,点P在底面ABCD上,APAC *的面积恒为一 个常数,问点P的轨迹有可能是:A 圆的一部分 B.椭圆的一部分C.状曲线的一部分 D.抛物线的一部分你做出來了吗?这道题应该是把帕们的儿种迁移做了一个综合,我们來一起分析一下!首先,“APAC,的而积恒为一个常数”题中只给了这一个条件, 应该怎么去应用呢?我们显然耍进行“定值的转化”:由APAC,的面 枳固定,我们不难得出:点P到AC,的距离是固定的!再做迁移:到 条直线距离为定值的点的轨迹是什么呢?应该是一个圆柱的侧面! 而点P又在底而ABCD上,那它的轨迹是什么呢?现在问题的难点 是:我们得到的恻柱的侧面是倾斜放置的,白什么想法? “把它放正, 让面倾斜”,答案就出來了,原來就是用一个半面斜着去切一个関柱 的侧而,问轨迹是什么?显然是椭圆!答案:选B
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