八种经典线性规划例题最全总结(经典)

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1、线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性 目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。、求线性目标函数的取值范围x空2I例1、 若x、y满足约束条件 y岂2 ，则z=x+2y 的取值范围是 （）Ix y -2A、2,6 B、2 ,5C、3,6D、( 3,5解：如图，作出可行域，作直线I : x+2y = 0，将I向右上方平移，过点A （ 2,0 ）时，有最小值 2，过点B （ 2,2 ）时，有最大值6，故选Ay、JBy =22*%AO7x + yx=2/ =2、求可行域的面积2x y -6 _0I例2、不等式组 x，y-3

2、乞0表示的平面区域的面积为（）八2A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域， ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足凶+ |y| 2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） D、 14 个A、9 个 B、10 个C、 13 个解：|x|+ |y| 0）x _3取得最小值的最优解有无数个，则a的值为A、 一 3 B、 3 C、 一 1 D、 1解：如图，作出可行域，作直线I : x+ay = 0,要使目标函数z=x+ay （a0）取得最小值的最优解 有无数个，则将I向右上方平移后与直线x+y = 5重合，故

3、a=1 ,选D五、求非线性目标函数的最值l2x y - 2 _0I 例5、已知x、y满足以下约束条件 x -2y 4 _0 ，则z=x 2+y2的最大值和最小值分别是（）3x - y - 3 空 0A、 13 , 1C、13 ,45B、13, 2D、币,二152 2解：如图，作出可行域,x +y是点（x , y）到原点的距离的平方，故最大值为点 A （ 2, 3 ）到原点的距离的平方，即|AO| 2=13，最小值为原点到直线2x + y 2=0的距离的平方，-2= 0六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x y + m| v 3表示的平面区域包含点（0,0 ）和（一1,1 ），则m的取值

4、范围是 （）A、( -3,6) B、( 0,6 ) C、( 0,3 ) D、( -3,3)解 : |2x y + m| v 3 等价于 2x 一 y m 30、2x-y+ m-3c0由右图可知m 33 ,故0 v mv 3,选Cm -3 咗 0七、比值问题第4页共5页第5页共5页当目标函数形如Z =红？时,可把z看作是动点P(x, y)与定点Q(b, a)连线的斜率，这样目标函数的最值就转 x b化为PQ连线斜率的最值。x y + 2 1,贝U y的取值范围是().x+ y 70, b0)取得最大12,2 3/23、2a 3b 13 zb a、 1325 皿” “即 4a+6b=12,即 2a

5、+3b=6,而一+ =(+ )=+(+)工一 + 2= 故选 Aa b a b 66 a b 66 【命题立意】：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的23平面区域，并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答a bx丄044. (2009年安徽理7)若不等式组+ 3 4所表示的平面区域被直线y = kx + 分为面积相等的两部分，则k x 3 y 433x y _ 4的值是第7页共5页734(A)( B)( C)-373解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分(D)ABC由 fx+3y =4

6、得 A( 1, 1),又 B(0, 4), C( 0,3x y =41 44S AB (4 二)灯亡, 设 y=kx 与 3x + y= 4 的2 331 2交点为D,则由SBCD S ABC 知x结231 47 g,k选 Ao2 335=k 125.(2008年山东理12)设二元一次不等式组使函数y =ax(a d, a)的图象过区域1D，yD =2 2A-*x4y=kx+ x 2y-19 0,x-y8 0,所表示的平面区域为 M ,2x + y 14 0M的a的取值范围是(A. 1,3B. 2, 10 C . 2,9 D.卜10，解：C,区域M是三条直线相交构成的三角形(如图)显然a 1,

7、 只需研究过(1 ,、(3,8)两种情a1 _9且 a3 _8 即 2 _ a _ 9.2x - y 2 _0i y6.(2010 年安徽理13)设x, y满足约束条件0,b 0 )的最大值为8,贝U a+b的最小值为 【答案】4【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是1(0,0),(0, 2),(,0),(1,4),易见目标函数在(1,4)取最大值8 ,2所以8二ab *4= ab =4,所以，在a二b=2时是等号成立。所以 a b的最小值为4.【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区域端点的值是目标函数 取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入

8、得ab = 4 ,要想求a b的最小值，显然要利用基本不等式7.( 2010 年陕西理14)铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如F表:ab(万吨)c (百万兀)A50%13B70%0. 56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO?的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为 （百万元）.【解析】 设铁矿石A购买了 x万吨，铁矿石 B购买了 y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则由题设知，本题即50%x +70%y K1.95x +7y 319x+05y 兰 22x+y 兰 4求实数x,y满足约束条件y _ ，即八 （*）时，z = 3x 6y的最小值作不等式组（*）1xK01xK0八0八01 1对应的平面区域，如图阴影部分所示.现让直线z=3x 6y，即y x z平移分析即知，当直线经过点P时,2 65x + 7y =19z取得最小值又解方程组丿得点P坐标为（1,2）.故Zmin =3x1+6x2 = 15.2x + y = 4第9页共5页