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1、绝密启用前2013 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第 I 卷（选择题）和第 n卷（非选择题）两部分，共 6 页考试时间 120 分钟.满 分 150分.答题前，考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第I卷答题卡和第 n 卷答题纸规定的位置.参考公式：样本数据X-I, x2,xn的标准差2球的面积公式S 4 R2注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.2 .第 I 卷只有选择题一道大题.、选择题：本大题共 12 小题，每小题 一项是符合题目要求的.4
2、.设为等比数列如的前n项和，832350则t（A）(X2x)2n(X x)2其中x为样本平均数第I5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有11 复数一12ii（i是虚数单位）31A .B. 222.已知R是实数集，Mx21 , Nx的虚部是(B )C.3D.1y y Jx 1 1,则NCRM(D)A.(1,2)B.0,2C.D.1,23.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是(B)A.1B.2C.3D.4A.5B.8C.8D. 155.已知函数f(x)sin(2x的值是(D)-)，若存在a(0,)，使得f (x a) f (xa)恒成立，则
3、aA.B. 一C.-D.-63426.已知m、n表示直线，,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为(B )(1)m,n,n m,贝 V(2),m,n,则 nm(3)m,m,则/(4)m,n,mn,则A. (1 )、(2)B .(3)、( 4)C. (2)、 (3)D. (2)、 (4)_|AB|3OB 2OC,则等于7.已知平面 上不共线的四点O,A,B,C，若OA：(B)|BC|A.1B.2C. 3D.48.已知三角形ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为2，则这个三角形的周长是(D)A.18B. 21C. 24D. 159.函数f(x)lgx 丄的零点所在的区间是(B)x
4、A.0,1B.1,10C.10,100D.(100,)10.过直线y x上一点P引圆x(C)23、2、.10A.B.C.D. 222211.已知函数f (x)2x ax 2b若a,b都是区间0,4内的数，则使f(1)0成立的概率是(C)3135A.B.-c.D.-448822y 6x 70的切线，则切线长的最小值为FM FN 0，则a的值为(B)1692516A.B.C.D.9595双曲线 xA2/9-yA2/16=1,右焦点 F(5.0) , A1(-3,0) , A2(3,0)设 P(x,y) M (a,m),N(a,n) P,A1,M 三点共线，m/(a+3)=y/(x+3) m=y(a
5、+3)/(x+3) P,A2,N 三点共线，n/(a-3)=y/(x-3)n=y(a-3)/(x-3) xA2/9-yA2/16=1(xA2-9)/9=yA2/16yA2/(xA2-9)=16/9FM 向量=(a-5,y(a+3)/(x+3)FN 向量=(a-5,y(a-3)/(x-3)FM 向量*FN 向量=(a-5)A2+yA2(aA2-9)/(xA2-9)=(a-5)A2+16(aA2-9)/912.已知双曲线的标准方程为2y161,F为其右焦点，A1, A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A, A2的任意一点，直线A1P, A2P与直线x a分别交于两点M ,N,若13.如图所示的
6、程序框图输出的结果为214.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球Ti上下底的中心， 0 是 FH 中点。则:AB = 2 AE = V 3, A 第 14 题/图 0F= 1/2 0A = Vt AF2+OF2 ) = 4( 19/12 )球的表面积=4n( 19/12 )= 19n /3疋19.89675(面积单位)向左转|向右转215. 地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为R (lg E 11.4) 2011 年 3 月 11 日，日3本东海岸发生了 9.0 级特大地震，2008 年中国汶川的地震级别为8.0 级，那么 2011 年地震3的
7、能量是 2008 年地震能量的 _10三_ 倍.16. 给出下列命题：a1a1已知a,b都是正数，且，则a b；b1b2已知f (x)是f(x)的导函数，若x R,f(x) 0，贝y f(1) f(2)定成立；3命题“x R，使得x22x1 0”的否定是真命题；4“x 1,且 y T是“x y 2”的充要条件.其中正确命题的序号是_ .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分 12 分)已知向量a (1,cos)与 b ( 3 sincos, y)共线，且有函数y f (x).2 2 22(I)若f
8、(x)1，求cos( 2x)的值；3(n)在ABC中，角A, B,C,的对边分别是a, b, c，且满足2acosC c 2b，求函数的表面积为193F,H 是如图。13.如图所示的程序框图输出的结果为2f (B)的取值范围解：(I)：a与b共线x .cos. 1_23s inXcos-2 2xx2xy .3s in cos cos 2 2 21.f(x) sin(x 6)16 分(n)已知2acosC c 2b由正弦定理得：.cosA-，.在ABC中 /A -8分23/A.0 BJ B510 分33 66 6.1sin(B -)1,1f (B)3262函数f (B)的取值范围为(1,-122
9、18.(本小题满分12 分)已知等差数列an的前n项和为Sn,公差 d0,且 S3S550,玄1,玄4,玄13成等比数列(I )求数列an的通项公式；(n)设bnan是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列bn的前n项和Tn解：(I)依题意得324 53a12d 5a1d 5022分3d)2a1(a112d)解得a13，4分d2ana1(n 1)d3 2(n1) 2n 1,即 an2n1. 6 分.311八sin x22(1cosx)sin(x)3 分6 2，即sin(x-)14分62另法：取BC的中点为O，连结AO，则AO BC，又CD平面ABC,(n )bnan3n 1,bnan3n
10、1(2n1) 3n 17分3Tn3 3 5 327 33(2n1) 3n 1(2n 1) 3n9 分Tnn 3n12 分19.(本小题满分 12 分)已知四棱锥A BCDE，其中AB BC/CD,F为AD的中点(I )求证：EF/面ABC;(n)求证：面ADE 面 ACD；AC BE 1, CD 2,CD 面 ABCBE(III)求四棱锥A BCDE的体积.解：(I )取 AC 中点 G 连结 FG BG, F,G 分别是 AD,AC 的中点1 FG/ CD 且 FG=DC=1 .2-BE/ CD FG 与 BE 平行且相等 EF/BG.2 分-EF/面ABC4 分(n)/ ABC 为等边三角
11、形 BG 丄AC又 T DC 丄面 ABC,BG 面 ABC DC 丄 BGBG 垂直于面 ADC 的两条相交直线 AC,DCBG 丄面 ADC. 6 分/ EF/ BGEF 丄面 ADC/ EF 面 ADE,.面 ADE 丄面 ADC .(川)连结 EC 该四棱锥分为两个三棱锥E- ABC 和 E- ADC .VABCDEVEABCVE ACD1212 分B CDAO,BCCD C,AO平面BCDE,- AO为VA BCDE的高，一3(1 2) 13VABCDE13.3.3AO -,SBCDEJ -22232 2420.(本小题满分 12 分)时间x(秒)51015203040深度y(微米)
12、61010131617现确定的研究方案是：先从这6 组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验.(I )求选取的 2 组数据恰好不相邻的概率；(n)若选取的是第 2 组和第 5 组数据，根据其它 4 组数据，求得y关于x的线性回归方4139程? x，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误1326差均不超过 2 微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是 否可靠.解：(I)设 6 组数据的编号分别为123,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A,从 6组数据中选取 2 组数据共有 15 种情况：(1,2 ) (
13、1,3 ) (1,4 ) (1,5 ) (1,6 ) (2,3 ) (2,4 ) (2,5 )(2,6 ) (3,4 ) ( 3,5 ) ( 3,6 ) (4,5 ) (4,6 ) ( 5,6 )，其中事件 A 包含的基本事件有 10 种. 3 分10所以P(A)2所以选取的2 组数据恰好不相邻的概率是- 6 分1533(n)当x 10时，?4_10139219|21910 | :2；9分132626 264139379|379当x 30时，?307 I16| : 2;132626 26所以，该研究所得到的回归方程是可靠的.12 分21.(本小题满分 12 分)ax b已知函数f(x)2在点(
14、1, f( 1)的切线方程为x y 30.x 1(I)求函数f(x)的解析式;在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据:(n)设g(x) In x，求证：g(x) f(x)在x 1,)上恒成立.解: (I)将x1代入切线方程得y2- f( 1)ba2，化简得b a4.2 分11f ( 1)2a2(b a) 2bb14 分442解得：a2,b22x 2 f (x)26 分x212x 2(n)由已知得Inx 在1,)上恒成立x 1化简得(x21)l nx 2x 2即x2ln xln x 2x 20在1,)上恒成立.8 分设h(x)x21n x ln x 2x 2,
15、/ x 112xln x 0, x2，即h (x)0.10 分xh(x)在1,)上单调递增，h(x) h(1) 0g(x)f (x)在x 1,)上恒成立.12 分22.(本小题满分 14 分)实轴长为4J3的椭圆的中心在原点， 其焦点丁2在x轴上.抛物线的顶点在原点0,对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且AF1AF2，AF1F2的面积为3.(n)过点A作直线1分别与抛物线和椭圆交于解(1)设椭圆方程为2x2a占1 (a b 0),b2m2n 4c2由题意知m n4、32mn6解得c29,b21293.(I )求椭圆和抛物线的标准方程；B,C,若AC 2AB，求直线I的斜率k.2 2椭
16、圆的方程为 14分123TAc 3，目A 1,代入椭圆的方程得XA2、.2,将点 A 坐标代入得抛物线方程为x28y.6 分得x28kx 16.2k 8x12 2 8k10联立直线与椭圆的方程y2xk(x 2 一 2)4y212得(1 4k2)x2(8k 16、.2k2)x 32k216 ._2k_ 2cG 162k8k- X22 221 4k122x1X22(8k 2、2低水二泳1 4k2、22 k整理得：(16k4、2)(1 )01 4k4242.k，所以直线l的斜率为4414 分(2)设直线l的方程为y 1k(x2.2),B(x“ y1), C(x2, y2)由AC 2AB得x22、 .2化简得2x1x22 . 22(x12 .2)，联立直线与抛物线的方程1 k(x 2.2)8y
2013年高考数学全国卷1(完整试题+答案+解析)
