代数基本定理的几种证明

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1、2014-3050-021本科毕业论文（设计）代数基本定理的几种证明学生姓名：黄容学号：1050501021系院：数学系专业：数学与应用数学指导教师：覃跃海讲师提交日期：2014年4月27日毕业论文基本要求1毕业论文的撰写应结合专业学习 ,选取具有创新价值和实践意 义的论题 .2论文篇幅一般为理科以 3000至 5000字为宜.3论文应观点明确 ,中心突出,论据充分,数据可靠 ,层次分明,逻辑 清楚,文字流畅 ,结构严谨 .4论文字体规范按广东第二师范学院本科生毕业论文管理办 法（试行）和“论文样板”执行 .5论文应书写工整 ,标点正确,用微机打印后 ,装订成册.本科毕业论文（设计）诚信声明本

2、人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计） , 是本人在指导 老师的指导下 ,独立进行研究工作所取得的成果 , 成果不存在知识产 权争议 , 除文中已经注明引用的内容外 , 本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果 . 对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体均已在文中以明确方式标明 . 本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担 .学生签名：时间： 年 月 日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东第二师范学院关于收集、保存、 使用学位论文的规定 , 即：1. 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2. 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版 ,并提供目录检索与阅览服务

3、, 在校园网上提供服务；3. 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定 .学生签名：摘要代数基本定理是代数学上一个重要的定理 , 甚至在整个数学上都起着基础作 用.最早在 1629年由荷兰数学家吉拉尔在他的论著 代数新发现 提出, 然而没 有给出证明 .1637 年迪卡儿也都提出这个定理 , 但同样没有给出证明 .一直到一百 年多后, 于 1746 年达朗贝尔才给出第一个证明 . 到十八世纪后半叶 ,欧拉等人也 给出一些证明 ,然而这些证明都不够严格 , 都先是假设了一些条件 , 然后才得出证 明.直到 1799 年高斯才给出了第一个实质的证明 . 在二十世纪以前

4、该定理对于代 数学都是起着核心的作用， 因为代数学所研究的对象都是建立在复数域上的 , 因 此也就之称为代数基本定理 .然而直到现在该定理却还是没有纯代数证法 , 用纯 代数证明该定理却是十分困难的 , 很多人相信根本不存在纯代数的证法 . 不过后 来随着复变理论的发展 ,该定理已成为其他一些定理的推论了 , 用复函数理论可 以很完美的证明了 . 现在据说也已经有了两百多种证法 .虽然前人已做了很多研究 , 但从多方面知识总结这些证明还是很有意义的 .本 论文基于多项式、柯西积分定理、儒歇定理、刘维尔定理、最大模定理和最小模 定理这几个方面介绍了代数基本定理的几种证法 . 关键词 ： 代数基本

5、定理；多项式；柯西积分定理；儒歇定理；刘维尔定理AbstractFundamental Theorem of Algebra is one of the important theorem of algebra, and even in the whole of mathematics plays a fundamental role. First in 1629 by the Dutch mathematician Girard in his treatise Algebra newly discovered put forward, but he did not give proof. I

6、n 1637, Descartes are also raised this theorem without proof. Been to more than a hundred years later, Jean le Rond dAlembert was given the first proof in 1746. Until 1799 Gauss was given the first real proof in the twentieth century before the theorem of algebra for all plays a central role, becaus

7、e the object being studied algebra are built on complex field, so its called the fundamental Theorem of Algebra. However, until now the theorem is no purely algebraic proofs, many people believe that it does not exist. With the development of complex variable theory, this theorem has become a coroll

8、ary of some other theorem, and with a complex function theory can be proved perfectly. Now said to have already had more than two hundred kinds of proofs.Although the fundamental theorem of algebra predecessorshave done a lot of research. Summarize these methods still makes sense. This paper based o

9、n polynomial, Cauchy integral theorem, Rochestheorem, Lowville Theorem, the maximum modulus theorem and the minimum modulus theorem.Key Words ： Fundamental Theorem of Algebra; Polynomial; Cauchy integral theorem; Rochetsheorem; Lowville Theorem目录摘 要 I Abstract II1. 引言 - 1 -2.1. 利用多项式证明 - 2 -2.1.1. 引

10、理 - 2 -2.1.2. 利用多项式证明代数基本定理 - 2 -2.2. 利用柯西积分定理证明 - 3 -2.2.1. 柯西积分定理 - 3 -2.2.2. 利用柯西积分定理证明代数基本定理 - 4 -2.3. 利用刘维尔定理证明 - 5 -2.3.1. 刘维尔定理 - 5 -2.3.2. 利用刘维尔定理证明代数基本定理 - 6 -2.4. 利用儒歇定理证明 - 7 -2.4.1. 儒歇定理 - 7 -2.4.2. 利用儒歇定理证明代数基本定理 - 7 -2.5. 利用最大模定理证明 - 8 -2.5.1. 最大模定理 - 8 -2.5.2. 利用最大模定理证明代数基本定理 - 9 -2.6

11、. 利用最小模定理证明 - 10 -2.6.1. 最小模定理 - 10 -2.6.2. 利用最小模定理证明代数基本定理 - 10 -3. 总结 - 11 -参考文献 - 12 -致谢 .-12-代数基本定理的几种证明1. 引言一元一次方程只有一个实数根 , 而在复数域内有两个根 , 那么一元 N 次方程在复数 域上会不会有N个根？另外，在积分运算中部分分式法也有与这样的问题，所有实系数多 项式是不是都可以分解成一次因式的乘积或者分解成实系数的一次因式和二次因式的 乘积？上述这些问题关键在于证明代数基本定理 .根据钟玉泉编写的复变函数论 , 代数基本定理的具体描述为：任何 n 次多项式 方程在复

12、数域中至少有一个根 .根据该定理我们可以直接得到一个结果 ,在复数域内对 于所有n次多项式方程有且只有n个根.可见证明代数基本定理意义十分重要.这个定理最早在 1629年由荷兰数学家吉拉德在他的论著代数新发现中提出， 但没有得到证明。后来笛卡儿，欧拉和麦克劳林也提到了这个定理，但没有证明。直到 1746 年，达朗贝尔第一个证明了这个定理，但还是有缺点。拉格朗日于 1772 年再一次 证明了这个定理。但这些证明都不够严格，都是假定了一个先决条件是给定才证明的。 人们通常认为这个定理最早是由高斯给出的，其基本思路如下：设f (z)为n次实系数多项式,记z x iy(x,y 为实数),因为f(x i

13、y) u(x,y) iv(x,y) 0,即u(x,y) 0与v(x,y) O,u(x,y) 0与v(x, y) 0分别表示Oxy坐标平面上两条曲线与C2,通过对曲线作定性研究,这两条曲线必然有一个交点Zoa bi ,从而有u(a,b) v(a,b) 0,即f (a bi) 0,所以Zo便是代数方程的一个根，得证.通常认为这是代数基本定理第一个严格的证明.不过就现代的标准来看其证明仍然是不够严格的 .而现在,据说已有两百多种证法 .接下来,我们讨论的是代数基本定理的证明 .2. 代数基本定理的证明2.1. 利用多项式证明2.1.1. 引理在这里先介绍一条引理 . 设是实系数多项式 ,nn 1f(

14、x) anx an 1x0且x C ,C为复数域)nn 1anxan 1xa1x a0(an 0),则a1x a0 0的充要条件是：nanxmn m1an 1xa1xma0x0,m 0. 2引理显然成立 , 下面证明代数基本定理 .2.1.2. 利用多项式证明代数基本定理nn 1f(x) anxn an 1xn 1a1x a0(an 0)是实数域上的n次多项式，则f(x)在复数域上至少有一根.证明：如果x=0是f(x)的根,则定理得证.如果x=0不是f(x)的根,则必有ao工0,因此只需要证明方程nanxan 1xn1a1xa0 0(1)关于 x 有非零解。由引理可得,当xm 0时，方程(1)

15、n mn m1anxn man 1xn m 11a1xa0xm 0(m N)2)等价 . 对方程( 2)中分别另m=0,1,2, ，n-1.可得如下方程组：ndxn 1ax0n 1n 20axaoXn 11Xa1x a002n 12n 2anXan iX2n 22n 3anXan iXnanX an(3)2n(anX12n 2an 1Xnaxn 1ax02n 22n 3n 1n 20anXan 1XaxaxnnanXan 1X1a1xa。02n12n 2nn 10anXan 1Xaxax2n 22n 3n 1n 20anXan 1XaxaxInnanXan 1X1a1Xa0(4)这是关于变量1

16、, X, X2,X2n 1的齐次线性方程组,其系数行列式是（2n）*（2n）阶行列式.因当x工0时,方程组（3）和方程（1）同解,又方程组（3）可写成:anan 1a1a。0000anan 1a1a。00000anan 10a1a。0,anan 1a1a。000anan 1a1a。00000anan 1a1a。故（4）有非零解,又1,0, ,0不是（4）的解,所以（4）有异于1,0,，0的解,因此方程（1）有非零解.即f（x）在C上至少有一非零根定理得证.2.2. 利用柯西积分定理证明2.2.1. 柯西积分定理设C是z平面上单连通区域D内的任意一条周线，函数f（z）在D内解析，则cf(z)dz

17、0.这便是柯西积分定理.在附加假设“ fD内连续”的条件下黎曼得到了一个简单的证明：令z x iy,f(z) u(x, y) iv(x, y),f(z)dzudx vdy i vdx udyCC而f在D内连续，导致Ux,Uy,Vx,Vy在D内连续,并适合C.-R.方程:Ux=Vy,Uy= Vx.由格林定理,udx vdy 0, vdx udyCC0,故得f(z)dz0.2.2.2. 利用柯西积分定理证明代数基本定理任何次数n=1的复系数多项式f (z) agzn azn 1an(ag 0)在复系数域中至少有一个根.证明：(反证法)设多项式f(z) azn czn1an(a 0)R0Cr：z R

18、.若f(z没有零点，则器在整个复平面上解析所以对任意充分大的由柯西积分定理得：f (z)f(z)dz0,从而limR1 f (z)2 i cr f(z)dz(*)f (z)n 1/八n 2nanz(n 1)an yza1nrTHanz an 1zaiz a0nana1ana。an1 (n 1)其中(z)为整个复平面上的解析函数因此当R 时,(Z)dzCRmax(z)0.所以Rm1 dz1,CRnlim -R 2 idzCR zCR(Z)ZdzlimRn dz2 z与(*)比较得：n=0这与已知条件n 1矛盾定理得证.2.3.利用刘维尔定理证明2.3.1. 刘维尔定理定义：在整个复平面上解析的函

19、数称为整函数.如多项式，ez,cos z及sin z都是整函 数.而刘伟尔定理便是：有界函数f(z)必为常数这是一个非局部性命题，也是模有界定理，其逆也真，即：常数是有界整函数；此定理 的逆否定理为：非常数的整函数必无界.证明：设f (z)是有界整函数,即M (0,),使得z C,|f(z) M所以ZoC,(0,), f(z)在 zz Zo上解析f (Zo) M/令,可见z0 C , f (z0) 0,从而f(z)在C上恒等于常数2.32 利用刘维尔定理证明代数基本定理设p(z) azn azn 1an(a 0),是z平面上一 n次多项式，则在z平面上p(z)至少有一个零点.1 证明：反证法.

20、假设p(z)在z平面上没有零点.而p(z)在z平面上是解析的,则p(z)在z平面上也必解析.1下面证明丄在z平面上有界.由于p(z)lim p( z)lim zn(a。aannzzzz1 lim0,z p(z)存在足够大的正数R,使当|z|R时,|1|1.p(z)又因丄 在闭圆|z| R上连续,故可设p(z)1| M (正常数) p(z)从而,在z平面上,1| M 1,p(z)也就是说，在z平面上止解析并且有界-由刘伟尔定理可知需必为常数,即p(z)定是常数.这与假设矛盾了 .因此定理得证.24利用儒歇定理证明241 .儒歇定理设C是一条周线,f(z)符合以下的条件：(1) f(z)在C的内部

21、除可能有极点外是解析的；(2) f(z)在 C上解析且不为0.则有二 77 dz N(f,c) p(f,c).2 ic f(z)其中N( f,c)表示f(z)在C内部零点与极点的个数.儒歇定理：设c是一条周线，函数f(z)及满足条件：(1) 他们在c的内部解析，且连续到c;(2) 在c上，f(z) |( z)则函数f(z)与 f (z)(z)在c的内部有同样多零点(n级算作n个).即N(f ,c)N(f,c).52.4.2. 利用儒歇定理证明代数基本定理其中一个(计接下来利用儒歇定理证明代数基本定理 ，这个证明和其它证明方法比较， 优点是不仅证明了多项式至少有一个零点并且指出零点的个数和多项式

22、的次数相等 算重数).任一 n次方程nn 1an zan 忆az a 0有且只有n个根.证明：令f (z) an zn(z) an 1Zn 1 cz ao(an 0,n N)当z在充分大的圆周C: |z|=R上时,例如取aianan,1 ,max则有an 1 I(aian Rf(z)Rn1anai R a)Rn1由儒歇定理可知,在圆|z|R内方程n 1 an iZaizao(an 0, n N)与方程anzn 0有相同个数的根，而annZ0在|z|R内有一个n重根z=0.因此原n次方程在|z|R内有n个根.另外在圆周|z|=R上,或者在圆周的外部，任取一点Z。，则ZoR0R ,于是nn 1a

23、n z an 1 zn 1 an iz0nanz0R01(R01(an Rananaiznan 2z0n 1an 1 R0aian R0a2n)0an 2a。2ai z ar0 2an)Ra。也就是说方程在圆周|z|=R上及其外部都没有根.因此n次方程nn 1an z an 1 zaiza0有且只有n个根.2.5.利用最大模定理证明2.5.1. 最大模定理复变函数论中，最大模定理是有关函数值的模的一个很有用的定理 ，若函数f是一 个全纯函数则它的模f|在其定义域内部不可能取到局部最大值.可具体表示为：设f在 复平面C上连通开区域D内解析,并且恒不为常数，则在区域D内|f|于任意点都取不到最大值

24、.2.52利用最大模定理证明代数基本定理还是用反证法.假设Pn(z) azn BiZn 1 an在复平面C上没有零点，即R(z)0,则f(z)1Pn(z)在C平面上解析,显然当且R充分大时,有Pn(z)aonR (aoRaian n zz电)邑RnRn2因此,在z R上并且R充分大时,有f(z)Pn(z)2ao Rn由最大模原理，有max f (z)ao RnR,并且我们可以得到:1|a|anPn(0)|f(0)|2Rn,我们知道a00,而这对于R取充分大显然不成立，所以假设不成立，也就是说方程在C内至少有一个根.定理得证.26 利用最小模定理证明261.最小模定理f(z)是区域D内不恒为常数

25、的解析函数,若在D内有Zo使得f (Zq)0,则 f(z)在 D内的最小值不可能是f (z0).2.6.2.利用最小模定理证明代数基本定理nn 1Pn(z)aoZ31Zan因为Pn(0)an,取正数aan,则有P (0) a(1)另外Pn(z)azn 1 旦azn彳b1 az1zanaz其中取正数R,使得当z R时有:且从而在|z|=R上有:Pi(z)naznbia。1, ,n,bibnn zn ca0 z 2a(2)由R在D z： zR上连续且不为常数,因此由(1)(2)可得Pn(z)在D内部取得最小模m min pz) , z R,因此由最小模原理可知，Pn(z)在D内至少存在一个零点.最

26、大模原理和最小模原理对代数基本定理证明的证明方法都是很相似的，关键是要找到f (z)在区域D内能达到最大值或最小值的某一点，找到这一点所要解决的问题就很容易可以解决了3总结用纯代数的方法是很难证明代数基本定理的，很多科学家都认为这种证明并不存在 而直到现在，该定理也还没有纯代数方法的证明.这是因为数学知识还不够的缘故.而当 复变函数和拓扑学发展后，其证明就简单多了 由此可见，数学知识要不断积累，这在解 决问题中十分重要.参考文献1 钟玉泉 . 复变函数论 M. 第四版 . 北京:高等教育出版社 , 2013.2 王海坤，朱琳.多项式的重 根判 别式和代数 基本定 理的 简证J. 数学的实 践与

27、 认识 2009(11).3 叶婷婷 ， 马红权 . 代数基本定理六种不同的证明方法 J. 牡丹江大学学报 ， 2012(1).4 崔冬玲 . Liouville 定理的证明及其应用 J. 皖西学院学报 ，2007(2).5 叶天竹 . 关于代数基本定理的二种证明方法 J. 成都教育学院学报 ， 2005(3).6 林蓉.最大模原理的不同形式及若干推论 J. 三明学院学报 ， 2009(2).7 袁邢华 . 最大模原理及其应用 J. 高师理科学刊 ， 2011(5).,从论文的选题、 开题报告,据我所知 , 覃老师工作繁忙还要抽出休息时间来指导我的论文,值论文提交之际,我衷心地感激他致谢本论文是在覃跃海老师的精心指导和关怀下完成的到论文的撰写和修改 ,都给予了我很多意见以及帮助还有 ,在整篇论文查找资料、开始撰写期间,我的几个较好的同班同学都很乐于与我交流她们写论文的心得,从而让我感受到一篇好的论文需要倾注的心血和汗水是不可小觑的 .