近世代数练习试题试题库完整

《近世代数练习试题试题库完整》由会员分享，可在线阅读，更多相关《近世代数练习试题试题库完整（31页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、专业资料 1第一章基础知识1 判断题：1.1设A与B都是非空集合，那么 A 一 B = ；xx 人且乂B?。()1.2 AX B = B X A ()1.3只要f是A到A的映射，那么必有唯一的逆映射fo ()1.4如果是A到A的映射,则(a)=a 。()1.5集合A到B的可逆映射- -定是 A到B的双射。()1.6设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。()1.7在整数集Z上，定义“ ： a b=ab(a,b Z)，则“ ”是Z的一个二元运算。()1.8整数的整除关系是Z的一个等价关系。()2 填空题：2.1 若 A=0,1,贝U MA= o2.2 设 A = 1 ,

2、2 , B = a , b，贝U AX B =。2.3 设=1,2,3 B=a,b, 则 B=。2.4 设 A=1,2,贝U A/=o2.5 设集合，则有 B A=o2.6如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f 一1f a丨=o2.7设A = a1, a2, -a8,则A上不同的二元运算共有个。2.8设A、B是集合，| A | = | B | = 3,则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。2.9设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有 个.2.10设A=a,b,c，贝U A到A的映射共有 个.2.11设A=a,b,c,d,e，则A的一一变换共有个.2.1

3、2集合A的元间的关系叫做等价关系，如果适合下列三个条件：2.13设A = a, b, c ,那么A的所有不同的等价关系的个数为 o2.14设是集合 A的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：a , b 1是两个等价类。则 4bLo2.15设集合 A有一个分类，其中A与Aj是A的两个类，如果 A = Aj ,那么AS =o2.16设A = 1,2, 3, 4, 5, 6,规定A的等价关系如下：ab= 2|a-b，那么A的所有不同的等价类是 o2.17设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，是M上的合同关系，则由给出M的所有不同的等价类的个数是 。2.18在数域F上的所有n阶方阵的集合 Mn (

4、F)中，规定等价关系 ： A 秩(A)=秩(B) ，则这个等价关系决定的等价类有 个。2.19设Moo(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合，在Moo(F)中规定等价关系如下： A吐 秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有 个。2.20若M=有理数域上的所有3级方阵,A,B M,定义Afc秩(A)=秩(B),贝U由”确定的等价类有个。3 证明题：3.1设 是集合A至U B的一个映射，对于a,b A ,规定关系“ ”： ab= (aH (b) 证明：“”是a的一个等价关系.3.2在复数集C中规定关系“”：abu|a冃b| 证明：“”是c的一个等价关系.3.3在n阶矩阵的集合Mn(

5、F)中规定关系“”：AB= | A冃B| .证明：“”是 Mn(F)的一个等价关系.3.4设“”是集合A的一个关系，且满足：(1)对任意乳A，有aa ； (2)对任 意a,b,cA，若ab,ac,就有bc.证明：“”是a的一个等价关系.3.5设g是一个群，在g中规定关系“”：abu存在于，使得b = g_lag 证 明：“”是G的一个等价关系.第二章群论1 判断题： 2.1群的定义.1.1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:(A) G对于这个乘法运算都是封闭的；(B) -a,b,cG，都有(ab)c=a(bc)成立；(C) 存在G,使得- aG,都有ea=a成立；(D) - aG,都存在

6、aG 使得aa=e成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。()1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:A) G对于这个乘法运算是封闭的；B）一 a,b,c - G,都有（ab） c=a（bc）成立；C） 存在er G,使得一 a G,都有aer=a成立；JJD）_ a G 都存在a G,使得a a=er成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。（）1.3设G是一个非空集合，在G中定义了一个代数运算，称为乘法,如果（1）G对乘法运算 是封闭的（2）G对乘法适合结合律（3）G对乘法适合消去律，则G构成群。（）1.4设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法，如果（1）. G对乘法运算

7、是封闭的；（2）.乘法适合结合律与消去律，则G对所给的乘法构成一个群。（）1.5实数集R关于数的乘法成群。（）1.6若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶，则|a|。（）1.7 若 |a|=2,|b|=7,ab=ba, 贝U |ab|=14。1.8设Q为有理数集，在 Q上定义二元运算”，a b=a+b+ab（ a, b Q,则（Q,）构成一个群。（） 2.2变换群、置换群、循环群1.9 一个集合上的全体变换作成一个变换群。（）1.10 一个集合A的所有变换作成一个变换群G.（）1.11集合A的所有的变换作成一个变换群。（）1.12素数阶群都是交换群。（）1.13 p （ p为质数）阶群 G是

8、循环群.（）1.14素数阶的群G一定是循环群.（）1.15 3次对称群S3是循环群。（）1.16任意群都同构于一个变换群.（）1.17有限群都同构于一个置换群。（）1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。（）1.19在5次对称群 足中，（15）（234）的阶是6.（）1.20在4次对称群 9中，（12） （ 324）的阶为6。（）1.21 在 S5 中，（12）（345）的阶是 3。（）1.22任意有限群都与一个交换群同构。（）1.23因为22阶群是交换群，所以6阶群也为交换群。（)1.246阶群是交换群。（）。1.25A 於辟()4阶群定是乂换群。1.26A 於辟()4阶群定是循环群。1.

9、27循环群定是交换群。()1.28 设 G是群，a, b G, |a|=2, |b|=3,贝U |ab|=6。（）1.29 14阶交换群一定是循环群。（）1.30如果循环群G = a中生成元a的阶是无限的，贝V G与整数加群同构。（）1.31有理数加群Q是循环群。（）1.32若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。（） 2.3子群、不变子群。1.33若H是群G的一个非空子集，且 一 a,b H都有ab H成立，则H是G的一个子 群。（）1.34若H是群G的一个非空有限子集，且一 a,b，H都有ab H成立，则H是G的一个子群。（）1.35循环群的子群也是循环群。（）1.36如果群G

10、的子群H是循环群，那么 G也是循环群。（）1.37 一个阶是11的群只有两个子群。（）1.38有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。（）1.39设G是一个n阶群，m|n，则G中一定有m阶子群存在。（）1.40若G是60阶群，则G有14阶子群。（）1.41设G是60阶群，贝U G有40阶子群。（）1.42阶为100的群一定含25阶元。（）1.43阶为100的群一定含25阶子群。（）1.44阶为81的群G中，一定含有3阶元。（）1.45设H是群G的一个非空子集，则H G= H旧=H。（）1.46设H是群G的一个非空子集，则H Mu HH二H。（）1.47群G的子群H是不变子群的充要条件为飞 G,

11、hH;g Hg H。（）1.48群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等.（）1.49指数为2的子群不是不变子群。（）1.50 若 NlH,H=G 贝U NlG （）1.51若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群，则N是G的不变子群。（）1.52 设HG,KWG,贝U HKCG （）1.53 若NNHG那么 NHG。（） 2.4商群、群的同态定理。1.54群之间的同态关系是等价关系。（）1.55循环群的商群是循环群。（）1.56设f: G G是群G到群G的同态满射，a G,则a与f 的阶相同。（）佃设G是有限群，* G则即匸冒1.58若，是群G到G的同态满射，N是G的一个不变

12、子群，则(N是G的不变子群，且% 三(2。()1.59设f是群G到群G的同态映射，G 贝U f(H) 丄 G。()1.60设f是群G到群G的同态映射，H G 贝U f(H) w G。()1.61若是群G到的一个同态满射,N是G的一个不变子群，则(N)是的不变子群，且。1.62若是群G到的同态满射，是的一个不变子群,()表示N的原象，则()是G不变子群， 且=。()11.63 设 G和 G 都是群，G 三 G，NG，n= ( N)，则G，且 G/ N = G/ N。( )2 填空题：2 一 1 22.1 在群 G 中，a, b G a = e , a ba = b ，则 |b| = 。2.2 在

13、交换群 G中，a, b G, |a| = 8 , |b| = 3 ，则 |a 2 b | = 。2.3设a是群G的元，a的阶为6，则a的阶为。2.4设a是群G中的一个8阶元，则a的阶为。2.5 设 G是交换群，a、b G，|a|=5, |b|=7，贝V |ab|=。2.6群AG中有个1阶元。2.7 在S5中，4阶元的个数为 。2.8 在S4中，3阶元的个数为 。2.9 设G 为群，aG，若 a T2，则 a =。2.10设群G=e，a1，a2，an-1，运算为乘法，e为G的单位元，则a=.2 _2.11若a，b是交换群G中的5阶元和7阶元，则ab的阶为。2.12 在整数加群 Z中，Q =。2.

14、13 10阶交换群G的所有子群的个数是 。2.14阶数最小的非交换群的阶数是。一个有限非可换群至少含有个元素.2.20已知2 31 254丿为足上的元素，则 2.21给出一个5-循环置换禦=(31425)，那么二O2.15任意群G疋冋构于G的一个。2.16n次对称群Sn的阶是。2 3 45 67892.179-置换分解为互不相交的循环之积是54 3 96 1827丿2.18n阶有限群G 一定置换群。2.19每一个有限群都与一个群同构。2i2.22 在 4 次对称群 9 中，(134) (312)=.2.23 在 4 次对称群 9 中，(24) (231) = , (4321) =,(132)的

15、阶为。2.24 在 6 次对称群 S 中,(1235)(36)= 。.12.25 (2431)=。2.26设群G的元a的阶是n,则a的阶是.n2.27设群G中元素a的阶为m，如果a =e，那么m与n存在整除关系为 。42.28已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于。2.29设G =(a)为循环群，那么(1)若a的阶为无限，则G同构于 ，( 2)若a的阶为n,则G同构于。2.30若群G是一个6阶循环群，则G与(模6剩余类同构)同构。2.31设G = a是循环群，则G与模n的剩余类加群同构的充要条件是O2.32整数加群(Z,+)的两个生成元是_+1和-1。2.33整数加群Z有个生成元2.34

16、整数加群(Z, +)的生成元是。2.35无限循环群G=(a)的生成元为_a的逆。2.36无限循环群G中能作为G的生成元的元素共有 个。2.37若G=(a)是一个无限循环的乘法群，则G的另一个生成元是 a的逆元。2.38剩余类加群Z共有_4个元可作为它的生成元。2.39 16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为 _8。2.40模10剩余类加群(Z,+)中能作为Z的生成元的元素有 。2.41设G = a是12阶循环群，则 G的生成元是 。2.42设G是一个pm阶群，其中p是一个素数，m是一个正整数，则 G的真子群的一切可能的阶数是 。2.43设G是p阶群，(p是素数)，则G的生成元有 个.2

17、.44剩余类加群Z12有个生成元.2.45设H是群G的非空子集，则H是G的子群的充要条件是 。2.46设G=( a)是6阶循环群，则 G的子群有。2.47 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=的在G中的指数是。2.48设A11 A2为群G的子群，则A,A2是群G的子群的充分必要条件为 。2.49设H是群G的子群，a,b e G，则Ha = Hb二。2.50在3次对称群 S中，H= (1)，(12)是S3的一个子群，则 H (23) =.在3次对称群S3中，H= ( 1),( 23)，则S3对H的右陪集分解式是 S3的子群H =(1 )(123 )(132卩的一切右陪

18、集 3G=(a)是 21 阶群，Hh (a ).则G:H= 。凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个 同构。设G是群，N是G的非空子集，则 NA G的充要条件是 _ 5H = ，贝H G/H =贝 y=。廿(S)匸6阶循环群有 个子群设G是由a生成的30阶循环群，3设G=是10阶群，H= (a ),设: A-； A, S A，则16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为 设: A A, a w A，则3( (a) =。模10的剩余类加群Z10的生成元为 。15设a是群G中的一个6阶元，则a的阶为。一个6阶的非交换群 G中的非单位元的阶一定是 。剩余类加群

19、(Zj2,+)中能作为它的生成元的元素有 。10 -1设 G是群，a, b G, |a|=12, 则 |ba b | = 。设G是一个20阶的交换群，a G, |a|=2, 贝U G/也H 式1在整数加群Z中，H兰Z,，贝V H =。在整数加群Z中，H二c 4 a则G： H =。2.512.522.532.542.552.562.572.582.592.602.612.622.632.642.652.662.672.682.692.702.712.722.732.742.752.762.772.782.79在12阶循环群G中，G= H=，则word完美格式在4次对称群 S4中，S= (123)

20、 ,则=，在 S5 中，坊=(235)(13)(24),贝V =21阶群G中，7阶子群的个数为 设，商群人中的单位元是_Z24/=Z8,贝 U a=在 Z24 中，H 兰 Z 24,H = ,/H在整数加群Z中，H=-Z, H 一彳3则a =设G，Ga分别为m n阶循环群，贝y GG的充要条件是 Z4到Z2的所有同态映射是 。2.80 在整数加群 Z 中， + + = 。2.81在同构的意义下，6阶群有种。2.82设G是模4的剩余类加群，那么 Aut（G）=。2.83设G是正有理数作成的乘法群，a G,a= 2n卫（p, q为奇数，n为整数），令：qn，是6到（Z, +）的同态映射，贝U Ke

21、r =。2.84设G, H是两个阶互素的有限群，则G到H的同态映射f为。2.85 在环 R=4Z= 4k|k Z中，（8） =。2.86 在整数加群 Z中，S= 22,3 1贝V =。2.87设群G中元素a的阶为m，如果an = e，那么m与n存在整除关系为 。2.88设G是一个n阶交换群，a是G的一个m（ m乞n）阶元，则商群 G a的阶等 于。2.897、一个非正方形的长方形S的对称群是。13、平面上的正方形的对称群是 。3.2成一个群.3.33.4证明：匚关于矩阵72.设a, b 是群G的两个元素，满足 aba=ba2b, a证明题: 3.1令GAA为n阶正交矩阵 1证明，G对于矩阵的普

22、通乘法作在一个群. 设G是整数集，规定运算：a二b=a，b4, _a,bG 证明：G对运算二作 方程 一-在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群=1, b7=1，则b= 。的乘法构成群3.5 全体可逆的阶方阵的集合 J丄、亠（一 ）关于矩阵的乘法构成一个非交换群这个群的单位元是单位矩阵，每个元素（即可逆矩阵）丄 的逆元是 二的逆矩阵工.3.6设R为实数集，PL RhO，令浪 RxTaxpx- R，将r的所有这样的变换构成一个集合G =f（a,b） , R,a =，试证明：对于变换普通的乘法,G作成一个群。3.7 证明：若群G的每个元素都满足方程 X2二e，贝y G是一个Abel群（交换群）3.

23、8 设G是一个群，证明：G是交换群的充分必要条件是，对任意a,L G，都有2 2 2(ab) a b .3.9证明：在群G中，a与a有相同的阶.3.10证明：在群G中，a与bab有相同的阶.3.11证明：在n阶群G中每个元都满足 xn=e.3.12设为群二证明：】与b有相同的阶.3.13证明：在群 G中，ab与ba有相同的阶.3.14设匚为群二二八证明：广，：注门，二:.；：有相同的阶3.15设为到的同构映射，：_：证明：丫 r 与.有相同的阶3.16设为群，八一，的阶为,上证明：:! n3.17设一一一，“的阶为：，证明】的阶是-；，其中一 。3.18证明：循环群是交换群3.19证明：有限群

24、中阶数大于 2的元的个数必是偶数3.20证明：任意偶数阶群必含有阶为2的元素3.21设为素数证明：“中每一个非零元都是生成元m3.22设G是一个群，aG .若a的阶是正整数n.证明：对 Z，a =e=n|m .3.23设G是一个交换群，m是固定的正整数令 H =a G丨畀=e.证明：日是G的一个子群.3.24假定“和丨是一个群G的两个元，并且出二晁,又假定的阶是卞，丨的阶是 ,通-，证明：的阶是节朮。3.25设HH2是群G的子群证明： H, H2也是G的一个子群.3.26设G是一个群，令C珂G|ax=xa，G.证明：c是g的一个子群.3.27设 G 是一个群，S 是 G 的一个非空子集.令C(

25、S)珂a G I ax 二 xa， * S.证明：c( s)是 G的一个子群.3.28若群G的阶是素数p,则G是一个循环群，试证之.3.29证明：循环群的子群也是循环群.3.30若群G与群G同态，且G是循环群，证明： G也是循环群.m3.31证明：阶为p的群(p是素数)一定包含有一个阶为p的子群.3.32设H, K是群G的不变子群，证明：HK也是G的不变子群。3.33设H, K是群G的不变子群，且 H K =e 证明：-h H , -k K，都有 hk = kh 3.34设H, K是群G的不变子群，证明： H K也是G的不变子群。3.35设H是群G的子群，N是G的不变子群。证明：HN是G的子群

26、.n3.36设G是一个n阶有限群证明：G的每一个元素都满足方程 x =e 3.37设G是一个群，C二2 G |ax = xa,G是g的中心，证明：C是G的一个不变子群.3.38设C是群G的中心，即C =aG | ax = xa, -G.且商群 C是循环群.证明：G交换群.3.39若G是循环群，H是G的一个子群证明： 也是循环群.3.40设G是一个群，令：x * x，x，G 证明：是g到G的同构映射的充分必要条件是：G是一个交换群.3.41设H是群G的子群，令2(H)=x|x - G, xH=Hx,证明N(H)是G的子群.3.42设G是群，令C=x|x - G, -y G, xy=yx,证明C是

27、G的正规子群。3.43设G=(a)是一无限循环群，证明 G的生成元只有两个。3.44设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群，且 I除单位元之外不含有限阶元素。3.45取定群G的元u,在G中定义新的o”： aob=au b. a.b G证明(G, o)是群.3.46证明循环群的子群也是循环群。3.47设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群No23.48若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程 x =e的解，证明G是一个 交换群。3.49若G是一个循环群,N是G的一个子群，证明也是一个循环群.3.50证明阶是素数的群一定是循环群。3.51设G是一个43阶

28、的有限群，证明G的子群只有单位元群及 G本身。3.52证明：群G为交换群=f : X x(x，G)为G到G的一个同构映射。二乙3.53设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明 ：:：a 一 。3.54设G是群，f : AG aT a2,( aG)证明f是群G的自同态二G是交换群。3.55 设 G=( a, b) |a, bR,在 G 上定义 “”(a, b) ： (c,d (ac,a b)证明(G, J构成一个群。k3.56 设 G 是有限交换群，f: Gy G,f(g)=g ( 一 g G)证明 f Aut(G) (k,|G|)=1 。3.57 设 G是 100 阶的有限交

29、换群，f: G 、G, f(g)=g 49( 一 g，G),证明 f Aut(G)。3.58设A乞G,B乞G如果存在a, b - G,使得Aa=Bb,则A=B3.59设G是交换群，m是固定的整数，令 H= a|a乏G, a =e,证明H兰G3.60 设 H G,令 C(H)= g|g G, 一 h H,gh=hg ,证明 Q(H)空 G。3.61设G是非空有限集合，“ ”是G的一个二元运算，“ ”适合结合律及左、右消去 律，证明：(G, J构成一个群，当 G是无限集时呢？3.62设G是2000阶的交换群，H-G,|H|=200，证明： H是一个循环群。3.63证明：无限循环群的生成元的个数只有

30、两个。反之，一个循环群G的生成元只有两个，则G是否一定同构于Z ?3.64设G是一个循环群，|G| =3,4,G的生成元的个数为 2，证明G二Z。3.65设G是有限群，H空G, aG,证明存在最小正整数 m,使am H,且m| a。3.66设G是奇阶群，则对任意g G,存在唯一元x，G,使g=x2。3.67证明：整数加群 Z与偶数加群2Z同构。3.68 设 H兰G, g 是 G的一个固定元素，gHg-1= ghg-1|= H (1)证明：gHg-1 兰 G。(2) 证明：h三gHg 。_Ta 2b、3.69设g=E+bJ2 |a,b Q,H|a,bQ , g对复数的加法构成群，H乙ba丿J对矩

31、阵的加法也构成群，证明：G=Ho3.70设H是群G的非空子集，且H中元的阶都有限，证明：HG= H H。3.71 设 N G, |G/N|=10, gG, |g|=12, 证明：g 2 N。3.72 设 G是群，a, b G, ab=ba,|a|=m, |b|=n, n = e.证明：|ab|=m, n (m, n是m, n的最小公倍数)。3.73设二是一个n次置换，集合 X= 1,2, 3,n ，在X中，规定关系“ ”为k| = R Z,使匚r(k)=l.证明：”是X上的一个等价关系。3.74 设 K= (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)证明： 点 S。13.

32、75设G是群，HG,规定关系“” a b = abH , pb G 证明：是 g的 一个等价关系，且 a所在的等价类a=Ha。3.76证明：15阶群至多含有一个5阶子群。3.77设H乞G,若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明H G20043.78 设 N G, G:N=2004,证明：对G ,恒有 x - N。3.79 设 N G, G:N=4, 证明：存在 M- G,且G:M=2。3.80 设 H,屮 G, H c N = 3 a 匸 H ,b 匸 N,1 a2,| b 匸 3 证明：师|=6。3.81设H - G,证明：H G：= - a,b三G,如果由ab三H = ba三H 。

33、3.823.83群G的非平凡子群N称为G的极小子群，如果不存在子群B使得e B N ,证 明：整数加群Z没有极小子群。3.84如果G是循环群，证明：G是交换群(其中C(G)是群G的中心)。/C(G)3.85证明：6阶交换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。3.86证明：在一个有单位元的环 R中，全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。3.87设H, K G,则对任意a, b G,则Ha，Kb=或HaKb是K的一个右陪集，该结果能否推广？3.88设是群.证明：如果对任意的 y 有：；：一，则-是交换群.3.89证明：在群中，如果” =；,贝打=；.3.90设亠为加群.证明：任给 -,匸，

34、有二十.3.91证明：一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。3.92设群一的子群 匸在 二中的指数为2.证明：= 二一，；二3.93设 二为群，三是的子群.证明：一中每个元素属于且属于三的一个左陪集.3.94设-是群，三 是的子群， 二.贝卩二一丨；1 / -是一的子群.3.95设是群，-是的非空子集.证明：一中与一中每个元素都可交换的元素全 体= =是匕的子群.3.96 设-; .I -： -!.证明：丄是.的子群3.97 设亠是交换群.二是一个固定的正整数.耳皿=证明：耳曲与Em都是G的子群.3.98 证明：* ；- 山：丨-1 “3.99设是群，证明：的中心:._是

35、 匚的正规子群.3.100 设是群,：=, A C,证明：.3.101 设一是群,三和：分别是一的子群和正规子群.证明：】 J是三的正规子群；（2） 是一的子群.3.102 设I为一的中心.证明：如果匸匚是循环群,则是交换群.3.103 设一为群,对任意的-,称-r-为h；的换位子，一的所有换位子生成的子群叫做 -的换位子群,记作丄二I.证明：（1） 厂是=的正规子群；（2）商群 6W：是交换群；（3）若:L-,且八为交换群，则 一是 ；的子群.注: 一是 由所有换位子的可能乘积所组成的集合.3.104 设与二为群，为二到二的同态映射.二 _ W.证明：当且仅当对任意的-：,有 出一h .3.

36、105 设 匕与二为群，为到二的同态映射.-W,:-.证明:：_：耳3.106 设 为到】的同态映射，-I三为的子群.证明：3.107设G与G分别为 啊阶与n阶循环群.证明：G 2 J当且仅当九毗.3.108设 比尺都是群 G的正规子群.证明:G/HK3.109设群G在集合K上的作用是传递的.证明：如果T?是G的正规子群，则丄在 二的作用下的每个轨道有同样多的元素.3.110 设群一作用在集合亠上，：厂 4 证明： 如果存在】 匸，使得U = g,则 Sg = g%g-i.3.111 设匸为大于1的正整数.令.证明：；二;关于剩余类的乘法构成一个交换群.3.112 设群G与群G同态，N是G的一

37、个不变子群，N是N的逆象，证明G N =G N 。3.113 证明：设G是群，如果对任意的 X，G，有x =e，则G是交换群。3.114 证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3.115 设a、b是群G的元素，a的阶为2，b的阶为3,且ab=ba,证明ab的阶是6.3.116 G卡，H二“）。那么日是S3 的一个子群。3.117 一个群G的一个不空有限子集 H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：a,b H = ab H;3.118 设人是所有阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.,是所有行列式等于1的阶矩阵所组成的集合贝U二-1匚是的子群.3.119 群一的任何两个子群

38、的交集也是亠的子群3.120 设 三为的子群贝U三在中左陪集的个数与右陪集的个数相同3.121 有限群 匚的任一元素的阶都是群 匚的阶数的因子3.122 设二与二为群，是一与的同构映射，贝U （1）如果为的单位元，则为 G的单位元； 任给G, a ）为了S丿的逆元，即计）=（衣）3.123 如果 匚是交换群，则匚的每个子群 三都是一的正规子群3.124 设 G = GLR），则恥g.3.125 群一的任何两个正规子群的交还是 一的正规子群3.126 设一与 匚是群，是一到匚的同态映射（1）如果是的单位元，则是的单位元； （2）对于任意的 - ；.，；-：-J是卜刖在：一中的逆 元即-I：/：3

39、.127 设 二与】是群，是到】的满同态如果 三是匚的正规子群，则 门是 】的正规子群3.128设-是循环群，G与-；同态，证明是循环群。3.129设G是群，a G，令 Cg (a)=x|x G , xa = ax，证明：C3 (a)w G3.130设 G G ,H G , H= x |x G ,f ( x) H 。证明：H/Kerf 也 H 3.131设G是群，u是G的一个固定兀，定义“o”: aob = a u 2 b(a, b G),证明(G, o)构成一个群3.132 设 G是群，HW G 令 2( H)= x | x Q xH = Hx .Cg ( H) = x| xQ-h H,hx

40、= xh . 证明：(1) N( H) G (2)Cg ( H)A Ng ( H)3.133 设 G 与 G 是两个群，f : G G ,K = Kerf , H W G，令 H = x|xG,f(x) H ，证明：H R，x ax b,x R，将R的所有这样的变换构成一个集合G = f(a,b) X齐R,a =试证明：对于变换普通 的乘法，G作成一个群。3.136 设G=Mn(Q)=有理数域上所有n阶可逆矩阵, H = A|A G,|A|=1证明：H是G的不变子群.3.137 整环Z中的单位有 。3.138 环Z6的全部零因子是 。3.139 若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那

41、么R是一个域当且仅当I是3.140 整数环Z的理想有个.3.141 整数环Z的商域是.3.142 除环的理想共有 个。3.143 剩余类环Z5的零因子个数等于 .3.144 在整数环Z中，由 2, 3生成的理想是 .3.145 剩余类环Z7的可逆元有 个.3.146 设Zu是整数模11的剩余类环，则 Zu的特征是 .3.147 剩余类环Zn是域二n是.3.148 设Z7 =0 , 1 , 2, 3 , 4, 5 , 6是整数模7的剩余类环，在U x中,在整数环Z中,叽3.1493.1503.1513.1523.1533.154(5x-4)(3x+2)=.Z 24中的所有可逆元是： 剩余类环Z6

42、的子环S= : 0 , : 2: , : 4 ，则S的单位元是模8的剩余类环Zs的子环有 个.除环的理想共有个.剩余类环Z6的子环S= : 0: , : 2: , : 4 ，贝U S的单位元是3.155在 (1)验证 R是矩阵lo c 丿JAo 0 丿J2 v 2 环Z 的一个子环。(2)证明I是R的一个理想。3.200 证明：模m的剩余类环Zm的每个子环都是理想.3.2023.203证明数域F = a + b 7 |a , b Q的自同构群是一个 2阶循环群.3.204在多项式环 Zx中，证明：(1) (3, x) = 3a 0+ atx+ an/|a i Z. ( 2)Zx/(3,x)含3

43、个兀素.3.205在整数环Z中,a, b Z,证明(a, b)是Z的极大理想的充要条件是a, b的最大公因数是一个素数。3.206ba,c丿b,2x0x Z验证R对矩阵的加法和乘法构成环。(2) 证明I是R的一个理想。3.207 在整数环Z中，p, q 是不同的素数，证明(p)(q)=(pq), (p,q)=Z3.208 若Q是有理数域，证明(x)是Qx的极大理想。3.209设R = Jm|m, n w Z, (n, p) = 1.p是质数？证明(R,+,)是整环(+,是数的加 J法与乘法)3.210 设A是实数域 R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。证明o oo o a1,b1,c

44、 R 是A的一个左理想。o 。丿 ,3.211 证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。3.212 证明(3，x)是Zx的一个极大理想。3.213 证明环R的两个理想的交集仍是R的一个理想。3.214 设I是一个主理想环，a, b I, d 是a是与b的一个最大公因子,证明(a, b)=(d)。3.215 在整数环Z中，证明Z/ (p)是域=p为质数(素数)。3.216 在多项式环 ZX中,证明(5,X)不是主理想。3.217 设R是一有单位元的交换环，且R只有平凡理想，证明R是域。3.218 设Z是整数环，x是Z上的未定元，证明Zx的生成理想。3.219 (3,x)= 3a

45、0 a/川anx | aiZ,0_ n Z,并且剩余类环ZX =0 , 1 , 2。(3,x)3.220 证明(5,x)不是Zx的主理想。3.221 证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。3.222 设F22是有理数域上的二阶方阵环，证明F22只有零理想和单位理想，但F22不是一个除环。23.223 设R为环，如果每个元素 a，R都满足a=a,证明R为交换环。3.224 环R中元素a称作幕零的，是指存在正整数m使得a=0,证明：当R为交换环时，两个幕零元素之和，两个幕零元素之积都为幕零元素。1 03.225 设R和R都是含单位元的环，R R , f是R到R的满同态，证明：(1)f

46、(1 r)= Ir ; ( 2)如果a是R的单位，则f(a)是R的单位。S 0、3.226 设A =I x, y R证明：A是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位x y 丿J元的环。3.227 证明：一个具有素数个元素的环是交换环。3.228 设R是一个有单位元1R的无零因子环，证明：如果ab=1R则ba=1R3.229 设R是交换环，X是R的非空子集，令Ann (X)，r|r，R, rx=0, xX 证 明：Ann(X)是R的理想。3.230 设R是环，I , J是R的两个理想，令R|XJ,JX 卩，证明： l:J是R的理想。3.231 设 zL2l- 巾、224 Z】l =(.2)证明：Z

47、2 j 是域。3.232 设R是有单位元的交换环，I是R的真理想，证明：如果 R的每个不在I中的 元素都可逆，则I是R的唯一的极大理想。3.233 在Zx中，证明(7 x)不是Zx的一个主理想。3.234 设I和J是环R的理想，且满足l+J=R, I n J= 0证明：R丨二J。3.235 设f: R R为环的同态。如果 R是除环，求证f是零同态或f是单同态(零同态是指g: R R, x 0,xR)。3.236 设f ：R S是环的满同态。K=Kerf ,P是R的素理想，且P二K,则f (P)是S 的素理想。3.237 设f: R S是环的满同态，Q是 S的素理想，证明： f(Q)二ala，R

48、, f(a)Q :是 R 的素理想。mmn n3.238 设D为整环，m和n为互素的正整数，a, b D如果a =b , a =b求证a=b。3.239 证明：Zx不是主理想整环。3.240 设R为交换环，R=R,则R的每个极大理想都是素理想。3.241设Rx是实数域R上的一元多项式环，取x2+1 RxC为复数域。3.242 设S是环R的子环，I是R的理想，且IS,证明：(1) S是的子环。 (2)若S是R的理想，则 SI 是 RI 的理想。3.243 设f是环R到环R的满同态，A为R的理想，证明： f(A) =R 二 A Kerf =R。3.244 设f是群 G到群G的满同态，N是 G的正规

49、子群，证明： f(N)二G = N Kerf =G。3.245 设R是欧氏环，I是R的一个素理想，证明：I是R的一个极大理想。3.246 设f是环R的满自同态，R只有有限个理想，证明f是R的一个自同构。3.247 证明集合，r v I = J: 一- 关于通常数的加法与乘法构成域.3.248证明：由所有形如的矩阵组成的集合-关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环，试确定这个环的所有零因子3.249 证明：一个具有素数个元素的环是交换环3.250 设三是环 1.是的单位元证明：对任意的；二,=一二3.251 设 三是环 证明：对任意的-, 有 a(& c) = ac； (b c)a = ba

50、ca.3.252 设_!是有单位元1二的环(匸一)，且是无零因子环 吒 厂 证明：如果丄z二证明匚- I为环,3.253 设为加群,定义 三的乘法为 并求出 三的所有子环与理想3.254 设集合3.255 设三是交换环,二是Anil(X) = W R证明F为上7二的子环的非空子集 令 门。证明:心臥Q是匸的理想.3.256 设I是无零因子环,是的子环证明：当一-1有单位元时,一的单位元就是 “的单位元.3.257 设一为三的子环,是的理想,且二- 证明： :是的子环；(2)女口 是H的理想,贝厂；是匚；的理想.3.258 设 匸，：为环同态.证明(1)如果是的理想,贝y -；是_!的理想.(2

51、)如果是三的理想,且满,则 I：是 的理想.3.259 设和丿为 M的理想,且满足 一讥,-加1.证明：R阻3.3.260 设?：为环的满同态,和分别是【和的理想.证明：如果 11 = -7,且 1- - - A 贝y有环同构:二亠、.3.261证明：一-是欧几里德环.3.262设是个正整数.证明丨二；是一个域.3.263设丄是素特征匚的域证明：对中任意元二和，有3.264 设F是一阶的有限域，将F看成O上的线性空间对任意的定义 F上的变换 匕匚如下：.- - n-验证：A &是线性空间 F的线性变换.3.265 设I1和I 2为环R的两个理想，试证I112 和 h 12 - a b a 三 h,b 三 12都是R的理想。1证明：R中的非零元不是可逆元就是3.266 设R是有限可交换的环且含有单位元 零因子。3.267F = 所有实数a+bJ3 , ( a,b是有理数)。证明，F对于普通加法和乘法来说是一个域。3.2683.269R是由所有复数a bi ( a,b Z )所作成的环，证明 R