2018年高考理科数学第一轮复习教案8对数与对数函数

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1、第六节对数与对数函数对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换 底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数；了解对数在简化运算中的作用.(2) 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图 象通过的特殊点.(3) 知道对数函数是一类重要的函数模型.了解指数函数 y= ax与对数函数 y= logax 互为反函数(a0,且 az1).抓主干知识点一 对数及对数运算1. 对数的定义一般地，如果 ax= N(a0,且 az1),那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 x= loga_N，其中 a 叫作对数的底数,N 叫作真数.2. 对数的性质(1) lOga1 = 0

2、, lOgaa= 1.(2) alogaN= N, logaaN= N.(3) 负数和零没有对数.3. 对数的运算性质如果 a0,且 az1, M 0, N0，那么(1)loga(MN)= logaM + logaN.M(2) logaN =lOgaM - logaN.(3) logaMn= nlogaM(n R).换底公式 logab = |Oggmb(a0 且 az1, b0, m0,且 1).必记结论1. 指数式与对数式互化：ax= N? x= logaN.2. 对数运算的一些结论：nn1logamb = mlogab.logab logba= 1.logab logbC l ogcd

3、= logad.易误提醒在运算性质 logaMn= nlogaM 中，易忽视 M0.自测练习1._(2015 临川一中模拟)计算；lg 击 Tg 8f 詔-2 =_ .解析：本题考查指数和对数的运算性质.由题意知原式=(lg 5-3-lg 23)2炮-1=(-3lg 5-3lg 2)2x2=9X2=18.答案：182._lg 竽lg 8 舟+ lg 7 5=.1 2 1 1解析：原式=lg 4 + 2lg 2 lg 7 lg 8 + lg 7 + lg 5 = 2lg 2 + (lg21+ lg 5) - 2lg 2= 1答案：1知识点二对数函数定义、图象与性质定义函数 y = logax(a

4、0,且 1)叫作对数函数图象a10aK=1 Iq尸bg性质定义域：(0,+X)值域：R当 x= 1 时，y= 0,即过定点(1Q当 0 x1时， y (0,十*)当 0 x1 时，y(X,0)在(0,+X)上为增函 数在(0, +X)上为减 函数易误提醒解决与对数函数有关的问题时易漏两点：(1) 函数的定义域.(2) 对数底数的取值范围.必记结论1.底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a 1 还是 0vav1,在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.2.对数函数 y= logax（a0,且 1）的图象过定点（1,0），且过1点（a，1），；， 1 函数图象只在第一、四象

5、限.自测练习3. 已知 a0,az1,函数 y= ax与 y= logx）的图象可能是（）解析：函数 y= loga（ x）的图象与 y= logax 的图象关于 y 轴对称，符合条件的只有 B.答案：B4._ 函数 y= logax（a0,且 a 1）在2,4上的最大值与最小值的差 是 1,则 a 的值为 .解析：（1）当 a 1 时，函数 y= logax 在2,4上是增函数，所以loga44 loga2= 1, 即卩 loga2= 1,所以 a = 2.当 0vav1 时，函数 y= logax 在2,4上是减函数，所以 loga21由(1)(2)知 a= 2 或 a=72loga11，

6、所以 a=1答案：2 或1考点一对数式的化简与求值 I 就怨帛1. （2015 内江三模）lg5题组训练）1 000 83=（）B - iC-罟D. 4解析： lg51 0008|=332 317lg105（23）3 = 54=5答案：B2.：log2324log23+4+ log23=（）A . 2B. 2 2log23C. 2D. 2log23 2解析：|og232 4log23+4=log2322= 2 log23,又 log2=log23，两者相加即为 B.答案：B3. （2015 高考浙江卷）若 a = log43,则 2a+ 2a=_ .解析：原式=2log43+ 2 log43=

7、：3+13=3.答案：于对数运算的一般思路(1) 首先利用幕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕研考KAdf3IAMANJIU -碎考点研究運的形式，使幕的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.(2) 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幕的运算.考点二对数函数图象及应用|典题悟法空 f (1)(2016 福州模拟)函数 y= lg |x- 1|的图象是()lg(x 1), x 1,解析因为 y= lg |x 1|=llg(1x), xv1.当 x= 1 时，函数无意义，故排除 B、D.又当 x= 2 或 0 时，y= 0,所以

8、 A 项符合题意.答案A1当 0vx 1 时不满足条件，当 0vav1 时，画出两个函数C. (1,2)D. ( 2, 2)11m m1在 0, 2 上的图象，可知，f 运 Vg 运 J,即 2vloga2,则 a，所以 a 的取值范围为際 1)1法二：.0 x 2，1V4x 4x 1,1 1Qvav1,排除选项 C, D; 取 a= 2，x= 2，11 1则有 42= 2, log2 2=1,显然 4xvlogax 不成立，排除选项 A.答案B应用对数型函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在 求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用

9、数形结合思 想.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题， 利用数形结合法求解.演练冲关r|ig x|,0vx 10,且 f(a) = f(b) = f(c)，贝 S abc 的取值范围是()A . (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D. (20,24)解析：作出 f(x)的大致图象，不妨设 avbvc,因为 a, b, c 互不相等，且 f(a) = f(b) = f(c)，由函数若 a, b, c 互不相等,的图象可知 10vcv12,且|lg a|= |lg b|,因为 a b,所以 lg a= lg b, 可得 ab= 1,所以 abc= cqi0,12).答

10、案：C考点三对数函数性质及应用|典题悟法空工，已知函数 f(x)= loga(x + 1) loga(1 x), a0 且 a 1.(1) 求 f(x)的定义域；判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当 a 1 时，求使 f(x)0 的 x 的解集.解(1)要使函数 f(x)有意义，x+ 1 0,贝卩解得一 1vXV1.1 x 0,故所求函数 f(x)的定义域为(一 1,1).(2) 由(1)知 f(x)的定义域为(一 1,1),且 f( x) = loga( x+ 1) loga(1 + X)=一 loga(x+ 1) loga(1 x) = 一 f(X),故 f(X)为奇函数.(3) 因

11、为当 a 1 时，f(x)在定义域(1,1)内是增函数，x+ 1 所以 f(x) 0? 1,解得 Ovxv1.1 x所以使 f(x)0 的 x 的解集是(0,1).利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一 是定义域；二是底数与 1 的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函 数复合而成的.(演练冲关2.已知函数 f(x) = loga(8 ax)(a0,1),若 f(x) 1 在区间1,2上恒成立，求实数 a 的取值范围.解：当 a 1 时，f(x) = loga(8 ax)在1,2上是减函数，由 f(x) 1 恒成立，

12、则 f(x)min= loga(8 2a) 1,8解之得 1vav3.若 Ovav1 时，f(x)在 xq1,2上是增函数，由 f(x) 1 恒成立，则 f(x)min= loga(8 a) 1，且 8 2a0，a4，且 av4，故不存在.综上可知，实数 a 的取值范围是；1, 3)C 思想方法系列|5.插值法比较幕、对数大小【典例】(1)设 a = 0.50.5， b= 0.30.5， c= log0.30.2，贝卩 a， b，c的大小关系是()(3)已知函数 y= f(x)的图象关于 y 轴对称，且当 x (汽 0)时,f(x) + xf (x)v0 成立，a = (20.2) f(20.

13、2), b = (Iogn3) f(logn3) , c(Iog39) f(log39)，则 a, b, c 的大小关系是()思路点拨(1)利用幕函数 y= x0.5和对数函数 y= logo.3x 的单调性，结合中间值比较 a, b, c 的大小;化成同底的指数式， 只需比较 Iog23.4、 Iog43.6、 一 Iog30.3= logs10的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较;先判断函数Mx) = xf(x)的单调性，再根据 20.2, logn3, logs9 的大小关系求解.解析(1)根据幕函数 y= x0.5的单调性，可得 0.30.5v0.50.5v10.5= 1,即

14、bvav1；根据对数函数 y = logo.sx 的单调性,可得 Iog.30.2log.30.3= 1, 即卩 c 1.；-Io-1A.cvbvaB.avbvcC.bvavcD.avcvb已知 a= 5log23.4,b= 5Iog43.6, c=点隔 0.3,则(A . abcB. bacC . acbD . cabA . bacB . cabC . c b aD . acb所以 bvavc.10og30.3= 5 log30.3= 5log3y.法一：在同一坐标系中分别作出函数 y= log2x, y = log3x, y= log4x的图象，如图所示.由图象知:10log23.4 lo

15、g33 log43.6.、ioio法二:Jogs log33= 1,且三v3.4,10log?3vlog33.4vlog23.4.og43.6vlog44=1,g 号 1,10og43.6vlog3亍10Iog23.4log3 log43.6.10由于 y= 5x为增函数，二 5log23.4 5log3 5log43.6.因为函数 y= f(x)关于 y 轴对称,所以函数 y=xf(x)为奇函数.因为xf(x) =f(x)+xf(x),且当 xqx,0)时，xf(x) =f(x)+xf(x)v0,尸530.35log43.6,故 acb.即 5log23.4贝 y 函数 y=xf(x)在(x

16、,0)上单调递减；因为 y= xf(x)为奇函数，所以当 xqo,+x)时，函数 y= xf(x)单调递减.因为 1v20.2V2,0vlogn3 1, logs9= 2,所以 0 logn3 2O.2a c,选 A.答案(1)C (2)C(3)A方法点评(1)比较幕、对数的大小可以利用数形结合和引入中 间量利用函数单调性两种方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幕函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0 或 1.跟踪练习设 ab0, a + b= 1 且 x= &b, y=log - + bJ ab,1

17、z= logb a,则 x, y, z 的大小关系是（）A . y x zB. z y xC. y z xD. x yb0, a + b= 1,可得 0 b11iTb（1 门a2a 1,所以 x=才 1,y = log + b ab= log 玩 J1 1ab= 1,0z= logb alogb= 1,贝 S y z 0 时，g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 xv0 时 g(x)的图象，最后由函数 g(x)的图象 向上整体平移一个单位即得 f(x)的图象，结合图象知选 A.答案：A2. 设 a= 30.5, b= 0.53, c= log.53,则 a, b, c

18、的大小关系为()A.bvcvaB.bvavcC.cvbvaD.cvavb解析：因为 a= 30.530= 1,0vb= 0.53v0.50= 1,c= log.53vlog.51 = 0,所以 cv0vbv1va,故选 C.答案：C3. (2015 郑州二检)若正数 a, b 满足 2+ log2a= 3+ log3b= g (a1 1+ b),则 a+b 的值为()C. 108D.72解析：设 2+ log2a = 3+ log3b= log6(a + b) = k,可得 a= 2k_2, b11 a + b 6k=3_，a+b=6,所以 1+ b=石=23沪=108.所以选 C.答案：C4

19、. (2015 长春质检)已知函数 f(x)= loga|x|在(0, +乂)上单调递增， 则()A.f(3)vf(-2)vf(1)B.f(1)vf(-2)vf(3)C.f(-2)vf(1)vf(3)D.f(3)vf(1)vf(-2)解析：因为 f(x)= loga|x|在(0, +乂)上单调递增，所以 a 1, f(1)Vf(2)vf(3).又函数 f(x)= loga|x|为偶函数，所以 f(2)= f(-2),所以 f(1)vf(- 2)vf(3).答案：B(2 )5.已知函数 f(x) = log2+1 是奇函数，则使 f(x)v0 的 x 的 1, logaa2+1又 loga2av

20、0,2a1,a1实数 a 的取值范围是 2 1;答案：扌，1x2+ 18.(2015 成都摸底)关于函数 f(x) = lg，有下列结论:ZV以1+ x2)2=1,1 + x所以 t = 1,贝 y f(x)= log2V0,1 x1 + x 01 x即1+ x-V1，解得解析：lg 2 + lg 5 + 2+0,0vav1.1函数 f(x)的定义域是(0,+乂 );2函数 f(x)是奇函数；3函数 f(x)的最小值为 lg 2;4当 x 0 时，函数 f(x)是增函数.其中正确结论的序号是 _(写出所有你认为正确的结论的序号).X2+ 1解析：函数 f(x)= lg 的定义域为(0,+x)，

21、其为非奇非偶函x2+ 1 数，即得正确，不正确；由 f(x)= lg=1=lg 2,得正确；函数 u = x+ x 在 x6(0,1)时为减函数，在 x1，+ZV乂)时为增函数，函数 y= lg u 为增函数，所以函数 f(x)在 xqo,1)时为减函数，在 xq1，+乂)时为增函数，即得命题不正确.故应填.答案：9. 设 f(x)= loga(1 + x) + loga(3-x)(a0, aM1),且 f(1) = 2.(1) 求 a 的值及 f(x)的定义域；(2) 求 f(x)在区间 0, 2 上的最大值.解：(1)丁(1)= 2,/loga4= 2(a0, aM1),*a= 2.1+x

22、0,XX 由得 xq1,3),13x0,函数 f(x)的定义域为(一 1,3).(2)f(x) = log2(1 + x)+ log2(3 - x)= log2(1 + x)(3- x) = log2-(x- 1)2+ 4,当 xq1,1时，f(x)是增函数;当 x 6(1,3)时，f(x)是减函数,-31函数 f(x)在 0, 2 上的最大值是 f(1)= log24= 2.10.已知 f(x)= logax(a0 且 1),如果对于任意的 x 3, 2 都有|f(x)|0, |f(2)|总成立.则 y= |f(x)|的图象如图.“ | 要使 x, 2 时恒有|f(x)| 1,1I11只需

23、3 丿1,即一 1Wloga31,即 logaa-1a,得 0va 1 时,百)I-|f(2)|=- loga13-loga2=- loga11f| 0,故1当 a 1 时，得 a-13;综上所述，a 的取值范围是；0, 3 匕 3,+x）.B 组高考题型专练1. （2014 高考福建卷）若函数 y= logax（a0,且 1）的图象如图解析： 由 y= logax 的图象可知 loga3= 1,所以 a = 3对于选项 A: y= 3-x=即 为减函数，A 错误；对于选项 B: y=x3,显然满足条件； 对于选项 C:y =（-x）3=-x3在 R 上为减函数，C 错误；对于选项 D:y=

24、log3（ x）,当 x= 3 时，y= 1, D 错误.故选 B.答案：B2. （2014 高考山东卷）已知函数 y= loga（x + c）（a, c 为常数，其中a0, az1）的图象如图，贝卩下列结论成立的是（）A . a1, c1B.a1,0vcv1解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0vav1.又当 x= 0 时，y0,艮卩 logac0,所以 0vcv1.C.0vav1,c1D.0vav1,0vcv1答案：D3.（2015 髙考北京卷）如图，函数 f（x）的图象为折线ACB,则不等式 f（x） log2（x+ 1）的解集是（ ）A.x|1vx0B.x|1x1C.x|1vx1D.x|1vxlog2(x+1)的解集是x| 1vx 2,所以三个数中最大的数是 log25.答案：log25解析: