数学建模章绍辉版第四章作业

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1、第四章作业第二题：针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml的为醉酒驾车。下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。1、问题假设大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设3D（1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为；在任意时刻，酒精从吸收室吸收进2中心室的速率（吸收室在单位时

2、间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为k1；（2） 中心室的容积V保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0;在任意时亥L酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为k2;（3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设匕和卜2都是常量，与饮酒量无关。2、符号说明酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克；酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升；t时刻（小时）；x（t）在时刻t吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）；D。两瓶酒的酒精量（毫克）；c（t）在时刻t吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；C2（t）

3、在时刻t中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；V中心室的容积（百毫升）；ki酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数）；k2酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数）；k3在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体积，即3D。/2V；而在较长时间内（2小时内）喝下三瓶酒的假设下就特指3D。/4V.3、模型建立和求解（1）酒是在很短时间内喝的:记喝酒时刻为t 0 （小时），设c（0） 0,可用C2（t）印3kik2kite 1来计算3D2V 155.79.fzero 函数和血液中的酒精含量，此时ki、k2为假设中所示的常数，而k3卜面用MATL

4、AB程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fminbnd函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。MATLAB?序如下：k1=;k2=;k3=;c=(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);f=c-20;g=(t)c(t)-80;h=(t)-c(t);t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12),t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12)t3,c3=fminbnd(h,0,24)fplot(c,0,20,k)holdonplot(0,20,20,20,k,0,20,

5、80,80,k)holdoffxlabel(时刻t(小时)，从开始喝酒算起)ylabel(血液中的酒精含量(mg/100ml)title(短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程)gtext(,20)gtext(,20)gtext(,80)gtext(,80)gtext(,)运行结果如下：t1=t2=t3=c3=所绘图形如下：短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程(1.307,122.25)/1量含精酒的中液血(0.38052,80) (4.1125,80)(11.589,20)(0.06891,20)468101214161820时刻t(小时)，从开始喝酒算起结果分析:

6、所以，当t0.06891,0.38052)(4.1125,11.589时，20c(t)80,属饮酒驾车。当t0.38052,4.1125时，属醉酒驾驶；当t1.307时，血液中的酒精含量最高为毫克/百毫升。(2)酒是在2小时内喝的：可假设三瓶啤酒是在2小时内匀速喝的.同样记喝酒时刻为t0(小时)，设c(0)0,则吸收室的酒精量x1(t)满足分段的初值问题dx1,3D。小、八八八k1X1,X1(0)0,0t2dt4dX13D02k1、-k1X1,X2(2)-(1e),t2dt4kl解得3-D0(1ek1t)0t24kiXi(t)4-D0(e2k11)ek1tt24于是中心室内的酒精含量C2（t）

7、满足分段的初值问题dc2dtdc2dt解得k2c2k3(1e klt)k2c2k7e k1tC2(0)0,0 t 2c2(2)k8,t2c2(t)k4e k1tk5e k2tk60 t2k10e k2tkge k1tt2其中3D0卜3卜水4k32klk3小 , ， k4 ， k5, k6 = 1 , k7k3(e1)4Vk1k?k?k2% k4e 2k1k5e 2k2k6, k9-7, Kk8e2k2%e2(k2k1k2k1)因为 k1 2.0079 , k2 0.1855 以及 D0/V 103.86 ,所以k377.896,k442.743,k5462.66,k6419.92k74243.

8、1,k8101.43,k92328.3,k10207.82下面用 MATLAB程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzerofminbnd函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。函数和MATLAB?序如下：k1=;k2=;k3=;k4=;k5=;k6=;k9=;k10=;c1=(t)(k4.* exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t=0&t2);f1=(t)c1(t)-20;g1=(t)c1(t)-80;h1=(t)-c1(t);t1(1)=fzero(f1,1);t1(2)=fzero(f1,12),t2(1)=fzero

9、(g1,1);t2(2)=fzero(g1,12),t3,c3=fminbnd(h1,0,20)fplot(c1,0,20,k)holdonplot(0,20,20,20,k,0,20,80,80,k)holdoffxlabel(时刻t(小时)，从开始喝酒算起)ylabel(血液中的酒精含量(mg/100ml)title(短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程)gtext(,20)gtext(,20)gtext(,80)gtext(,80)gtext(,)运行结果如下：t1=t2=t3=c3=所绘图形如下:短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程(2.6328,115.7

10、4)l量含精酒的中液血o o o o nV 0 8 6 4 2(1.6366,80)(5.1412,80)(0.62321,20)(12.62,20)12002468101214161820时刻t(小时)，从开始喝酒算起结果分析：所以，当t0.62321,1.6366)(5.1412,12.62时，20c(t)80,属饮酒驾车。当t1.6366,5.1412时，属醉酒驾驶；当t2.6328时，血液中的酒精含量最高，为毫克/百毫升.下面用图形比较两种不同假设下血液中酒精含量的变化过程。MATLAB?序如下：k1=;k2=;k3=;k4=;k5=;k6=;k9=;k10=;C=(t)(k1.*k3

11、)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);c1=(t)(k4.*exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t=0&t2);plot(0:20,c(0:20),k,0:20,c1(0:20),k2c1(2),.k)xlabel(时刻t(小时)，从开始喝酒算起)ylabel(血液中的酒精含量(mg/100ml)title(短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程)legend(很短时间内喝三瓶啤酒,两小时内匀速喝下三瓶啤酒,函数的分段点)所绘图形如下：短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程很短时间内喝三瓶啤酒两 小时内

12、匀速喝下三瓶啤 酒函数的分段点140120100806002468101214161820时刻t (小时)，从开始喝酒算起40200第四题：研究将鹿群放入草场后，草和鹿两个种群的相互作用，草的生长服从Logistic规律,年固有增长率，最大密度为3000个密度单位，在草最茂盛时，每只鹿每年吃掉个密度单位的草，若没有草，鹿群的年死亡率高达，而在草最茂盛的时候草对鹿的死亡的补偿率为。1、建立差分方程组模型，比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的两种草场的情况下，草和鹿两个种群的数量演变过程。(1)符号说明：xk第k年草场的密度单位yk第k年草场上鹿的数量r草场上草的年固有增长率a由于

13、捕食导致的草的密度单位减少的速度大小d如果没有草，鹿群的年死亡率b草对鹿群死亡的补偿率N草的最大密度单位(2)模型的建立与求解:基于以上假设，由于草的生长服从Logistic模型，建立差分方程组模型如下所示:xk 1yk iXkrxk(1停节,bXkykykdykN令 xk 1 xkx, yk iyk y ,与上述方程组联立得到平衡点为印0,0)、P(N,0)、P2(dN rN (b d)ab以下用MATLAB；现差分方程组模型。MATLA翼序如下：n=20;r=;a=;b=;d=;N=3000;t=1:n+1;x1(1)=1000;y1(1)=100;fork=1:nx1(k+1)=x1(k

14、)+r*x1(k)*(1-x1(k)/N)-a*x1(k)*y1(k)/Ny1(k+1)=y1(k)-d*y1(k)+b*x1(k)*y1(k)/Nendsubplot(221),plot(t,x1,k”t,y1,kv),axis(-1,21,0,3000),xlabel(第k年),ylabel(数量),gtext(草密度),gtext(鹿数量),title(草和鹿随时间的演变);subplot(2,2,2),plot(x1,y1,ko),axis(1000,3000,0,1000),xlabel(草密度),ylabel(鹿数量),title(相平面图);x2(1)=3000;y2(1)=10

15、0;fork=1:nx2(k+1)=x2(k)+r*x2(k)*(1-x2(k)/N)-a*x2(k)*y2(k)/Ny2(k+1)=y2(k)-d*y2(k)+b*x2(k)*y2(k)/Nend鹿数量 ),subplot(223),plot(t,x2,k”t,y2,kv),axis(-1,21,0,3000),xlabel(第k年),ylabel(数量),gtext(草密度),gtext(title(草和鹿随时间的演变);subplot(2,2,4),plot(x2,y2,ko),axis(1000,3000,0,1000),xlabel(草密度),ylabel(鹿数量),title(相平

16、面图);运行结果如下：x1=Columns1through810001480Columns9through161550Columns17through21y1=Columns1through810060Columns9through16Columns17through21x2=Columns1through83000284025702149Columns9through1616981907Columns17through21y2=Columns1through8100160Columns9through16Columns17through21所绘图像如下：草和鹿随时间的演变30001000o

17、O o O o O2 1密度量数鹿相平面图1500200025003000草密度相平面图OO5量数鹿o o O o o O o o O3 2 1OV000101500200025003000草密度由图像中可以看出p2(dN,rN(bd)为渐进稳定的平衡点。bab2、建立常微分方程组模型，重做以上问题记草和鹿在第t年的数量分别记为x x(t)和 yy(t),其余的符号假设与(1)相同,建立常微分方程组模型为: dx出dy1出rx(1dy_x) axy N N bxyN令 rx(1 )N箸0且dykbxyN0 ,得到常微分方程组的临界点为P(N,0)、p2(dN rN(b d),以下运用数值解，方

18、向场和特征线等技巧，用 b abP0(0,0)、matlab 绘制常微分方程组的解曲线图，并加以分析。为了消去方程中的参数t,将两式相除，得到：之一Ndy1bxydxrx(Nx)axy当将100头鹿放入密度为1000与密度为3000的草场中，初始值分别为x(0)1000,y(0)100与x(0)3000，y(0)100.利用matlab实现上述过程的源程序与运行结果如下：函数m文件：functiondx=fun(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-x(1)/3000)*x(1)*x(2)/3000;dx(2)=*x(2)+*x(1)*x(2)/3000;主程序：t1

19、,x1=ode45(fun,0:20,1000100);t1,x1subplot(2,2,1)plot(t1,x1(:,1),.-k,t1,x1(:,2),.-k),gridonaxis(02003000)title(草和鹿随时间的演变(x_0=1000)gtext(草密度),gtext(鹿数量)xlabel(第k年),ylabel(数量)subplot(2,2,2)plot(x1(:,1),x1(:,2),.-k),gridonaxis(100030000800)title(相平面图(x_0=1000)xlabel(草密度),ylabel(鹿数量)t2,x2=ode45(fun,0:20,3

20、000100);t2,x2subplot(2,2,3)plot(t2,x2(:,1),.-k,t2,x2(:,2),.-k),gridonaxis(02003000)title(草和鹿随时间的演变(x_0=3000)gtext(草密度),gtext(鹿数量)xlabel(第k年),ylabel(数量)subplot(2,2,4)plot(x2(:,1),x2(:,2),.-k),gridonaxis(100030000800)title(相平面图(x_0=3000)xlabel(草密度),ylabel(鹿数量)所绘图像如下：OO 4 量数鹿相平面图(x0=1000 ) 8006002000 1

21、0001500200025003000400草密度相平面图(x0=3000 )80060020001000150020002500草密度3000通过图像发现该常微分方程组的平衡点p2(dN,rN(bd)是渐进稳定的，而babP0(0,0)、P(N,0)不是渐进稳定的平衡点。草与鹿群的数量演变过程如下表所示:x(0)1000x(0)3000x(0)1000x(0)3000t草密度鹿数量草密度鹿数量t草密度鹿数量草密度鹿数量0100010030001001111222024131694575314170941517395161824617718819920103、说明以上两个模型的解的联系和区别差分方程相当于取步长h1时用欧拉方法计算微分方程组的数值解。