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1、正方体“异面点”截面的作法问题高二十班史威、冯心怡【引言】：用平面去截一个几何体，所截出的面，就叫截面。可以想象，类似于用刀去切(截)几何体, 把几何体分成两部分，刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状，截面是一个平面图形。在医学诊断上，有一种与“截几何体”类似的仪器和方法，它是通过 X射线扫过人体的患病器官，然后通过计算机处理相关测量数据，重建人体断层图象，并作出诊断，这就是是“CT影像诊断技 术”一一在医学史上具有划时代意义。可见，数学知识对于生活何等重要。在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题而已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题的一个方法，也是
2、深化理解空间点线面关系的一个很好的途径.本文通过举例引申出过正方体异面的点(以下简称为“异面点”)作截面的几种常见方法【正文】：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面此平面与 几何体表面的交集(交线)叫做截线.此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点.而对于“异面点”做图方法大致可分为两类：平面作图法和空间向量法。下面笔者将对于这两类方法进行介绍。一、平面作图法：1. 方法(交线法).该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点 即可连结成截线，从而求得截面.2. 作截线与截点的主要根据有：确 定- 平面的条件.(2) 如果两个不重合的平面有一个公共点，
3、那么它们相交于过此点的一条直线.(3) 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(4) 如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条 直线就和交线平行.(5) 如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.3作图的的主要思想方法有：(1) 若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面 的截线。(2) 若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。(3) 若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。(4) 若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点
4、，则按平行ARB平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质， 可得截面与平面的交线。(5) 若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平 面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内，则可通过辅 助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来 解决。4具体题目分析：已知：P、Q、R三点分别在直四棱柱 AC1的棱CC1、 A1D1和AB上，试画出过 P、Q、R三点的截面.万法一：(1) 先过R、P两点作辅助平面。 过点R作R1R/ BB1 交A1B1于R1,则面CRR1C1为所作的辅助平面。(2) 在面CRR1C1内延长 R1C1,交RP的延长线于 M。(3) 在面A1B1C1D1内，连接 M
5、Q，交C1D1于点S, 延长MQ交B1A1的延长线于点 T。(4) 连接TR交AA1于点N,延长TR交B1B于点K, 再连接KP交BC于点L。(5) 连接 RL、PS QN。则多边形QNRLPS为所求。方法二：(1) 先过 Q 作 QE/ AA1,联结 RE、QR(2) 联结AC交RE于0点(3) 过0作FO/ QE,交QR于F点(4) 联结PF并延长，交AA1于G(5) 联结GQ并延长，交DD1于J(6) 联结JP,交C1D1于H,延长线交DC延长线于K(7) 联结KR,交BC于I(8) 联结 RGQHPC则多边形RGQHPC为所求方法三：(1) 过Q作辅助平面 QGHL平行于 ADD1A1
6、(2) 联结RC1,交GH于K,联结 RP。(3) 过K作KI/ CC1交RP于I,这点便是 RP与辅助 平面的交点。(4) 联结QI并延长交平面 CDD1C1于M,过F、E分别作QI的平行线，交BC AA1于E、F(5) 联结PM交C1D1于J(6) 联结 JREQFP则多边形JREQFP所求二、空间向量法：接下来让我们从解析几何的角度来思考：如图的M、N、P三点所构成的平面在正六面体ABCD-ABiCiDi上的截面是怎么样的首先，以点A为坐标原点，AB为x轴正方向，AD为y轴正方向，AAi为z轴正方向可得 A(0,0,0)。设：P(x1, yi,0),M (0, y2,z2), N(X3,
7、0,z3)先看该平面在面ABCD CDC D上的截面 如右图，作平面MQPS/面AiBiCiDi 设直线NP与平面MQPS交于点H直线NP在y z面内的射影直线为y (z Z3)()；Z3直线NP在x z面内的射影直线为X3 xix xizZ3且面MQPS上所有点在z轴坐标均为z2,X3 xiZ3 Z2HZ2 xi,yi,Z2Z3Z3又 平面MQPS/平面ABCD过点P作PK/HM交CD于K,联结MK(x3 Z2)yi y2 Z3贝H kPK kMH(X3 xi) Z2 xi Z3又 P(xi, yi)直线PK : yy1 (xx1)(x3 Z2)yi y2 z3(x3 x1) z2 x1 z
8、3y2 y1KX1,y2,0(X3 Z2)y1 y2 Z3(x3 x1) z2 x1 z3则MK、PK即为两条截线。BATCIFABJEP再看面 NMP在平面CCBB、ABBA上的截 面。如右图，过点 N作平面 NJGI平行于平面 CCBB。联结MP,设点E为直线MP与平面 NJGI的交点。直线MP在y x面内的射影直线为2y1 y2y y2 x -x1直线MP在z x面内的射影直线为z (x X1)()X1且平面NJGI上的所有点的x轴左边为X3x3z2E x3, y2(y1 y2), (x1 x3)x1x1作 PF/NE直线NE在y z面内的射影直线为Z2(X1 X3) Z3 X1z z3
9、 yy2 X1 X3(y1 y2)Z2(X1 X3) Z3 X1kPFkNEy2 X1 X3(y1 y2)又 P在y z面的射影为(y1,0)z面的射影为 0,( y1)X3) Z3 X1y2 X1 X3(y y2)Z3 X1 Z2(X1 X3)则 F X1,o,y1 y2 X1 X3(y y2)联结NF、PF所得即面NMP在平面CCBB、ABBA上的截线。最后，我们来看面NMP在平面ABC D、ADDA上的截线。 作 MT/NE直线NE在z y面内的射影直线kNEy2 X1 X31y2)z2(x1 X3) z3 X1又 M在y z面(z2, y2)T在z y面的射影为 z3, y2 ( z2) * X1Z2(X1贝打在空间为 0,( z2)y2 X1 X3(y1 y2), z3 Z2(X1 X3) Z3 X1得到NT、MT就是面NMP在平面 ABCD、AD DA上的截线。TC综上，如图就是平面MNP在正六面体上的 截线【总结】：截面问题是立体几何中的典型问题之一本文就对于给定三个“异面点”来作正方体的截面的方法进行了一定的探究。但是只介绍了“异面点”在棱上的例子，对于在“异面点” 在面上的问题，只要将面上的点通过做辅助平面的方法转化到棱上，再通过本文介绍的方法即可解出，同学们可以试试哦！
正方体“异面点”截面的作法问题
