利用导数研究函数的极值上课用

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1、用函数的导数判断函数单调性的法则：用函数的导数判断函数单调性的法则：1如果在区间如果在区间(a，b)内，内， ，则，则f(x)在在此区间是增函数，此区间是增函数，(a，b)为为f(x)的的单调增区间单调增区间；2如果在区间如果在区间(a，b)内，内， ，则，则f(x)在在此区间是减函数，此区间是减函数，(a，b)为为f(x)的的单调减区间单调减区间；3.如果恒有如果恒有 ，则，则 是是?。)(xf0)(xf0)(/xf0)(/xf什么条件？为增（减）函数的是函数或、)()0(0)(4/xfxf充分不必要条件充分不必要条件2.2.求函数单调性的一般步骤求函数单调性的一般步骤求函数的定义域求函数的

2、定义域;求函数的导数求函数的导数 f/（x）; 解不等式解不等式 f/（x）0 得得f(x)的单调的单调递增递增区间区间; 解不等式解不等式 f/（x）0).0)( xf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf 例例3求函数求函数y=x42x2+5在区间在区间2，2上的上的最大值与最小值最大值与最小值当当x=2时，函数有最大值时，函数有最大值13， 当当x=1时，函数有最小值时，函数有最小值4 1.函数函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又既有极大值，又有极小值，则有极小值，则a的取值范围为的取值范围为 .21aa 或或2.函数函数f(

3、x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3在区间（在区间（-2，,2）上既有极大值，又有极小值，则上既有极大值，又有极小值，则a的取值范围的取值范围为为 .156a3、已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极值处有极值为为10,求求 a、b的值的值.极值逆用极值逆用a=4,b=-11.1、下图是导函数、下图是导函数 的图象的图象, 在标记的点中在标记的点中, 在哪一在哪一点处点处(1)导函数导函数 有极大值有极大值?(2)导函数导函数 有极小值有极小值?(3)函数函数 有极大值有极大值?(4)函数函数 有极小值有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy )(xf

4、y 2xx 1xx 4 xx 或或3xx 5xx （2 2）函数函数cosyxx的导函数的导函数( )fx在区间在区间 ，上的图象大致是（上的图象大致是（ ） A3函数函数f(x)=x 的极值情况是的极值情况是( ) (A) 当当x=1时取极小值时取极小值2，但无极大值，但无极大值 (B) 当当x=1时取极大值时取极大值2，但无极小值，但无极小值 (C) 当当x=1时取极小值时取极小值2，当，当x=1时取时取极大值极大值2 (D) 当当x=1时取极大值时取极大值2，当，当x=1时取时取极小值极小值21xD 4.（2006年天津卷年天津卷)函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间( )f x导

5、函数导函数 在在 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则函数在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 ( )fx ( , )a b( , )a b( , )a b( )f x(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 abxy)(xfyO abxy)(xfyO练习练习:求函数求函数 的极值的极值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y 因此因此,当当x=1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=-1时有极小值时有极小值,

6、并且并且,y极小值极小值=- 3.5、已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1, 求求a、b的值的值. (2)若若 ,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜图象上的任意一点的切线斜 率为率为k,试讨论试讨论k-1成立的充要条件成立的充要条件 . 1 , 0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4, a=6.023)(2 axxxf由于当由于当x0时时, 故当故当x=0时时,f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10对一切对一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x所以所以,a1是是k-1成立的充要条件成立的充要条件.