理解是学生学好数学的关键

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1、理解是学生学好数学的关键（江苏省如皋中学 冒建生 226500）美国国家研究理事会（NRC）于2003年发布了学习与理解的研究报告，指出：成功的学习是一种理解性学习，学习项目应当围绕着概念的深度理解而组织，课程与教学设计应当遵循理解性的学习原则. 我国普通高中数学课程标准的实施建议中也指出：“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿于高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解.”无疑，理解性学习能使数学学习过程处于良性循环状态：有意义地利用原有知识进行新知识的学习，不仅能较容易地理解、记忆和应用新知识，而且也使旧知识得到应用而达到复习、巩固的效果；理解性学习还

2、可以让数学的概念和原理，建立起广泛的、紧密的联系，增强学习者的知识迁移能力，从而提高他们的数学思维能力和创新能力.显然，理解已经成为课程与教学的核心要求，而且对于理解的认识，已经深深的融汇了我们对于知识与学习的新的认识，“为理解而教”促使我们从多个角度来把握学生对知识的理解状况，从而组织起更为有效的教学实践活动.本文就以笔者听过的一堂课椭圆标准方程的推导（比赛课）的三个片断为例，谈谈在上述问题上的思考和认识.1课堂引入的提问起点在哪里，才能关照学生现有的知识基础和理解水平教学片断一课堂引入老师提出了4个问题.师：解析几何这门学科研究问题的基本思想是什么？（提问1）生1:数形结合.师：基于上述研

3、究思想，解析几何这门学科主要的两大任务是什么？（提问2）(见学生有困难,教师提示如下)师:在数学2中，我们是如何解决直线或圆的有关问题的？师：解析几何这门学科主要有两大任务：一是建立曲线的方程；二是用方程来研究曲线的几何性质.师：你是如何理解“直线（圆）的方程”的？（提问3）生3：它是一个变量的等式.师（追问）：除此之外，直线（圆）上的点与方程的解之间还要满足什么样的对应关系呢？生3：一方面，直线（圆）上的点的坐标都是方程的解；另一方面，方程的解为坐标的点都在直线（圆）上.师：我们是如何建立圆的方程的？（提问4）生4：（略）师：该过程可以概括为：（1）建立平面直角坐标系；（2）设曲线上任一点的

4、坐标为；（3）写出动点所满足的条件；（4）将动点的坐标代入上述关系式；（5）化简整理，得曲线方程.大家知道，本课的核心内容是椭圆的标准方程，它的基础是椭圆概念，解决由“形”到“数”的问题，“形 ”是“数”的“固着点”. 在目前的中学数学教学中，学生获得这两个概念的方式是不同的.椭圆的教学一般用“概念同化”方式，而椭圆的标准方程教学运用“概念形成”方式.概念的同化属于接受性学习，刚开始学习椭圆时，学生对椭圆概念的理解还处于经验性理解阶段：一方面，学生刚刚涉入解析几何的“深水区”，椭圆的概念比起“直线、圆”的概念要复杂得多，概念中有不少的关键词如：平面上、动点、距离、定值等，又有限制条件“常数大于

5、两个定点之间的距离”；另一方面，椭圆与最相近的“圆”还是有实质性差异的，学生学习这个概念在原有的知识结构中少有同化点，根据皮亚杰的认知发展理论，学生学习椭圆的概念，主要依靠建立新的认知结构，来顺应“椭圆”的知识. 处于经验性理解阶段的椭圆概念，具有不稳定性、模糊性和易错性，而这个概念是本堂课学习“椭圆的标准方程”的直接基础，为什么不把这么重要的基础概念椭圆作为课堂引入的提问对象呢？有人认为，这种课堂引入是传统的复习提问，过时了，学生复述概念不见得对学生理解知识有什么帮助，比赛课的提问设计要有所“创新”和与众不同，这样才“容易吸引评委的眼球”，受到大家的“好评”.首先，传统的针对数学学习的核心概

6、念和主题的提问是必要的. 通过提问可以推动学生围绕核心概念和主题建立起合理的知识结构，促进他们课后有效的复习和记忆. 记忆，是人们学习知识的主要心理现象之一，没有记忆，一切理解将化为泡影. 语言学习都强调记忆，数学是科学的语言，同样需要记忆，只有良好的数学记忆，才能获得对数学知识、方法、思想的深刻理解，诚如张奠宙教授总结的中国数学教学四个特征之一：记忆通向理解以至形成直觉.2004年，著名物理学家杨振宁在清华大学讲授物理学的基础课，9月17日文汇报对此进行报道，其中有句话是：“对于基本概念的理解要变为直觉”.当日，张奠宙教授发e-mail给杨先生问此话是否表达了他的原意.并在信中说“这句话，我

7、们以为非常重要，是对熟能生巧教育古训的注解，西方的教育强调理解，很对. 东方的教育强调基础，那么基础与理解的关系如何？这句话是一个解答. 理解与直觉的关系在基本概念的部分有联系.”当天，杨振宁先生就有回复说：“关于变为直觉的那段摘引是正确的”.对于基本概念的理解为什么要变为直觉？因为需要节省思维空间，直觉就是不假思考，由直接感受而获得的思维材料.当进行科学思考或学习新知识的时候，要把思考的对象集中于人类（学习者）尚未知晓的部分，把那些已经熟知的常识和真理，都变成不需要占有太多思维空间的直觉，这是世界大家治学、科研的经验之谈，相信不少人也有同样的感受.当然，要将学生对椭圆概念的理解提高到直觉的水

8、平，有一个从量变到质变的过程，这个过程应落实于学生课后的复习巩固中，也应该体现在教师的课堂提问检查中.有教学经验的老师都知道，在刚学完椭圆定义时的课堂提问中，学生回答椭圆概念出现不准确、不完整、不熟练的现象是比较普遍的.实践证明，教师有针对性的提问，让学生用自己的语言复述，可以发现学生对椭圆概念理解的不良状况，从而为推导椭圆的标准方程教学进行决策；同时通过对椭圆概念的精致性复述，使相关刺激信息得到组织，从而使椭圆概念在更深层次上获得加工，并逐步转入长时记忆.其次，对于课堂提问1，执教者是想通过回忆或传授“数形结合”的策略，以期对学生学习本课内容提供帮助.然而，研究表明：尽管人们可以学习策略性行

9、为，但不能自动地将所学策略用于新的情境或领域，即是说，一般地传授一些问题解决的策略对学生并没有多大的帮助，因为他们实际上是知道这些策略，但是，不会将这些策略运用到新的情境，而不会用的原因是他们缺乏使用这些策略所需要的特定领域的知识. 事实上，假设学生只知道椭圆的定义，对推导椭圆标准方程的过程一无所知，学生不知道建立什么坐标系方程才是最简洁的，还要寻求化简的策略；加上运算求解的过程较为复杂（方程平方后等式两边字母多、项数多、次数高）；之前也没有可供参考的直接经验，老师即使把“数形结合”的观念喊破了嗓子也无济于事.因此，提问1完全没有必要作为课堂引入的提问，要让学生体会“数形结合”的思想，可以留到

10、课尾让学生来“回顾反思”，即采用“先做再说”方法处理较为妥帖.对于提问2，它不能导致学生有效的思维活动，学生刚学完解析几何初步，对解析几何核心内容一无所知，怎么可能站在很高的角度来理解和认识这门学科的思想精髓呢？难怪老师提问后还是由自己回答了，这就说明教师的提问应符合学生现有的认知发展水平：要注意学生已经具备了那些相应的知识，学生的知识和能力已经获得了怎样的发展，课堂提问必需建立在学习者已有认知基础上，向学生提出他们力所不及的问题是无效的提问.对于提问3，无论是直线（圆）方程的概念，还是曲线的方程概念，都具有一定的抽象性，教材的处理是恰当的，考虑到曲线的方程概念对本堂课影响不大，待学生学完所有

11、的圆锥曲线后，再来把两个概念进行比较，把“直线（圆）方程”拓展为“曲线的方程”，这种做法符合陈重穆教授的数学教学32字诀中“先做后说”的要求：许多数学内容是在操作中慢慢领会的，通过先做后说，以及再说再做，学生才能不断地加深对数学知识、方法的理解.再次，问题4是本堂课推导椭圆的标准方程应遵循的步骤，必须保留. 这样，课堂引入提出两个问题：（1）椭圆的定义是什么？你认为哪一点要特别注意？（2）我们是如何建立圆的方程的？这样的引入设计既简洁明快，节省时间，又紧扣主题和核心概念，显得十分紧凑、有效；也符合学生现有的认知基础和理解力. 2 教师如何发挥主导作用，才能使学生深化对数学方法、策略的理解教学片

12、断二师：我们建系设点之后，接下来做什么？生5：将点的坐标代入关系式：中，得：.师：可以把它作为椭圆的标准方程吗？生6：太复杂了，用起来不方便.师：怎么办？众生：化简.师：如何化简？请大家试试看，待会儿请同学上来用实物投影展示自己的成果.(78分钟后，教师挑选了两名学生上台展示)生7：我是直接平方的（边投影边讲解，略），最终得：.师：你真了不起，如此复杂的运算在这么短的时间内完成了.生8.我直接平方后发现运算太困难了，所以就先移项后平方（边投影边讲解），最终结果也是.师：如果说学生7的意志力值得敬佩，那么学生8的理性态度值得欣赏.接着，老师带领学生转入另一种标准方程的讨论.师：要想确定方程：是所

13、求的方程，我们还有什么工作要做？生9：一是验证椭圆上的任一点的坐标都是方程的解，二是验证方程的解为坐标的点都在椭圆上.师：说得好，这个工作留给大家课后去完成.本节课的教学重点和难点都在于推导椭圆的标准方程，在建立直角坐标系后，得到方程：.面对这样复杂的代数式，对于为什么要化简及如何化简，教师没有恰当的、深入的指导或提示；当老师挑选出两位学生展示他们各自推出的结论后，没有对学生的表现给出方法或策略方面实质性的评价；更没有对已有的方法提出改进或优化的思路，使学生的学习停留在表面化的、经验性的阶段. 特别地，在推导出椭圆的标准方程：后，把验证满足上述方程的解为坐标的点都在椭圆上的任务，用“这个工作留

14、给大家课后完成”的一句话打发了事，教师的启发、指导学生提高学习和理解水平的作用没有得到充分的发挥.这种课堂设计让笔者想起了在中国网站上看到的一段论述：在建构主义的课堂中，重点从教师转到了学生，课堂不再是向被动的学生灌输知识的地方，学生不再是空的容器等着被灌输.在建构主义（教学）模式中，要使学生主动参与到自己的学习过程中，教师的作用更多的是促进者，他们指导、调停、鼓动和帮助学生发展与评估自己的理解和学习. 教师的最大任务就是提好问题.把教师的最大任务定格为“就是提好问题”，这种观念的实质是只注意了学生的主动参与，而忽视或削弱了教师的主导作用.我国传统的“教学相长”的理念，并不主张“学生中心”或“

15、教师中心”的西方二分法的观念，而是积极倡导教与学的平衡、和谐，这种思想体现在数学教学过程中，既要有教师控制课程进展和启发、讲解的一面，也要有学生丰富多样的探究、实践活动的一面.新的课程理念绝不是否认教师在课堂上的主导作用.事实上，教师应该在领会教材及解决数学问题等方面胜过学生，他（她）应该知道学生初学时想不到的和想不深的地方，他应该掌握每段知识学习的规律，还应该有帮助学生克服困难、纠正错误和提高理解层次的各种方法、策略.笔者以为，对上述问题作如下的改进效果似乎好一些.（1）为什么要化简方程：？师：根据圆的定义，圆上的动点满足：，两边平方后得：,尽管的几何意义明显一些，可人们为什么将称为圆的标准

16、方程？设计目的：启发学生思考“为什么要化简”，得出化简的目标是将无理式转化为有理式.这样，学生在明确的“目标”指引下开展化简的探究活动.（2）如何化简？根据学生的不同情况，教师有必要进行更有针对性的指导，如对于班级基础差、计算存在较大困难的学生，可以为他们设计“小步子、小弯子”的学习策略：师：圆的方程的化简，因为只有一个根式，只要一次平方就转化为有理式；而含有两个无理式，那么，如何去除根式？这样可以启发学生说出两种方案，并进行比较和选择：方案一：直接把方程两边直接平方:,方案二：方程移项后两边同时平方，即方程：两边同时平方：.学生边观察、边心算就能够对两种方案的优劣作出判断.教学比赛课前，老师

17、一般会布置学生预习，学生对推导过程和结论是预知的，即便如此，要求学生合上书本，自行化简、推导椭圆的有理式方程，部分学生还是表现出一定的困难，这是因为运算求解的过程较为复杂，之前也没有可供参考的直接经验，教师应视情况给予适当的提示. 在上述演算过程中，“不只是自主学习之后的知识简单回忆和模仿，也包含着新的知识与方法对原有知识结构强力分化、整合的过程；这个过程尽管是“幼儿扶墙式”的学步，但是，它是学习者在学习道路上迈出的必要且致用的一步.”对于基础较好的，又有课前预习作支撑的学生，老师可以对推导和化简过程提出更高的要求.师：上述推导椭圆方程的过程是否可以改进？让学生针对的特点进行联想，猜想更为简洁

18、、有效的化简策略. 方案三：（换元法）令，则可以转化为：，这样转化为方案一或二来化简就容易多了.如用方案一，方程两边同时平方得：，方程两边再平方得：，将代入可得有理方程：. “复杂的运算”变得较为简单，这正是方案一的优化. 方案四：（引参法）联想三个量构成等差数列，令，以上两式相加、减得：，由代入：即可.这个方法可看作方案二的改进.（3）如何处理问题：验证方程：的解为坐标的点在椭圆上？笔者认为，刚进入圆锥曲线学习阶段，老师要控制好学习的难度.对于基础较差的班级学生，可以不提这种要求；而对于基础较好班级的学生作一定的提示为好：方法一：比如采用的是方案二化简的，就是要证明化简的每一步是可逆的，这样

19、问题转化为在条件：下，证明：即可（为什么？）.方法二：在条件下，分别化简代数式：，即可验证（为什么？）.教师也可视班情作更细、更明确的提示.有人认为，在数学教学中多提问题，可以增加学生的动力和压力，激发学生的学习兴趣.这种压力或难度，就是所谓的“悬念”.在实际教学中，它与学习动机的关系是复杂的.斯根普（R.Skemp）经过自己的实验后提出：“智力的反省活动最容易被悬念所抑制”.他认为，问题的关键是压力要适当. 实际上，学生对上述验证的必要性不是完全理解的，加上对复杂的化简过程可逆性证明知之甚少，因此，学生课后完成验证的任务，不知从何处下手，其难度是可想而知的. 老师如果不给于提示或帮助会出现斯

20、根普预见的可能情形：“进步的努力可能会造成恶性循环.学生的成绩越差，他们的尝试就越难，因而成绩更差.而这些正是由于不断增加的悬念所引起的.”3 课堂小结如何引领学生开展富有价值的反思活动，发展学生对概念的理解教学片断三（课堂小结，老师独白.）师：在本节课的学习中，相信同学们会有以下一些体会与感悟：（1）对于解析几何的认识更加清楚了，它是用代数方法来解决几何问题的一门科学；（2）椭圆是美的，方程是美的，方程的化简过程是美的；（3）同学们在学习过程中不仅发挥了自己的聪明才智，而且表现出了坚韧的意志力，值得欣赏.波利亚(G.Plya)指出：（老师）不仅要教给学生知识，并且要教给他们“才智”、思维方式

21、和有条不紊的工作习惯.因此，让学生学习领悟解决问题的方法、策略是重要的.“反思是人类思维的核心和动力”，要求学生反思，是指他们参与了学习实践活动后“脱身”出来，作为“旁观者”来看待自己刚才做了什么，反思自己怎样发现问题的？解决问题的过程中运用了那些思考方法？所用的数学思想、方法是否恰当、有效？解题过程是否可以改进或优化？有那些值得汲取的经验和教训？有哪些重要概念和结论需要进一步理解和记忆的？等.在一堂课临近结束的时候进行课堂小结，让学生回顾探究的历程，梳理所学知识，领悟数学方法、策略，这有利于学生深化对学习内容的理解，形成知识的网络结构；有利于培养学生反思的学习习惯；如果能为学生搭建自主反思、

22、相互交流的平台，更有利于培养学生的数学思维能力和语言表达能力.而本堂的小结全由老师“说了算”，学生没有开展富有价值的反思活动，失去了发展概念理解、提升能力的机会.笔者建议，可以启发学生从以下几个方面进行课堂小结：（1） 化简策略（i）“逐步逼近”的策略：在代数式的化简变形过程中，如果不能一下子达到化简目标，可以设法寻求中间步骤，逐步向目标靠近，徐利治先生称之为“逐步逼近”的策略.如：为了将含有两个无理式的椭圆方程化简，我们通过第一次平方去除了一个无理式，整理后再平方，最终把原式化成了有理式. 为了优化化简过程，我们运用了“换元法”、“引参法”.（ii）“类比”的策略：通过观察与，并将它们进行比

23、较，发现两个代数式结构具有相似性，可以推知，这两个代数式化简的结果也必然类似.这样，省去了焦点在轴上的椭圆标准方程的推导过程，在运算上利用类比“不战而胜”，让我们感受到了一种“惬意”.（2） 椭圆与直线、圆方程的统一性（i）直线的截距式与椭圆标准方程：可以用统一的形式：来表示；（ii）椭圆两种标准方程的统一形式是：.（iii）圆的方程：与椭圆标准方程：可以用统一的形式：来表示.上述反思活动，可以培养学生的抽象、概括能力，同时使学生对椭圆标准方程的理解和记忆找到了“固着点”.（3） 椭圆“形”与“数”的等价性“形”：“数”：“数”：.明确“形”与“数”的等价性，在表述上拉近了椭圆与标准方程之间的距离,为学生理解椭圆标准方程和体会解析法的思想精髓创造了条件，也为学生理解“曲线的方程”概念埋下了伏笔.以上陋见，不揣深浅，望专家、同行批评、指正.参考文献：1 曹才翰 章建跃数学教育心理学M 北京师范大学出版社2007,82 冒建生 探索发现法、讲授法有机结合的实践与认识J 数学通报 2013,13 冒建生 活动单导学模式之慎用J 中学数学月刊 2014,26