第24章_圆_导学案

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1、石柱县西沱初级中学校 初三数学教研组 24.1.1 圆学习目标1了解圆的两种定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关概念.2了解圆是圆周而非圆面，理解等圆、等弧的概念.学习重点：了解圆的两种定义，理解弦、弧等相关概念学习难点：理解等圆、等弧的概念。学习过程一自主学习1为什么车轮要做成圆形的？2你是怎样画圆的？根据画圆的不同方法，你能描述一下形成圆的过程吗？二探索新知1圆的两种定义：动态：在一个平面内，线段OA绕着它 旋转一周， 形成的图形叫做圆。静态：圆心为O、半径为r的圆可以看作是 .例如：半径是3cm的圆可以看作 . 确定一个圆有两个要素，一是_，二是_，_确定圆的位置，_确定圆的大小._相等的

2、圆叫等圆，_相同的圆叫同心圆.2圆中相关概念如图1：_叫做圆心，_叫做半径，以O为圆心的圆记做_. 连接圆上任意两点的线段叫做 ；过圆心的弦叫做 ；圆中最长的弦是_； 圆上任意两点之间的部分叫做_，弧AB记做_；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做_；比半圆长的弧叫做_，比半圆短的弧叫做_. 能够重合的圆叫做_；能够重合的弧叫做_.三。应用新知例1 判断正误：弦是直径.（ ） 过圆心的线段是直径.（ ）半圆是最长的弧.（ ） 等弧是长度相等的弧.（ ）例2 如图，已知CD是O的直径，EOD=78，AE交O于点B，且AB=OC，求A的度数.四发现总结1确定圆的条件是_和_,其中

3、圆心定_，半径定_。2在解决圆中的有关证明和计算时，经常要用_来提供线段相等的条件，所以圆中常见辅助线之一是_.五巩固提高如图所示，已知在O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP上以及O上，并且POM=45，求AB的长.六学习感悟 24.1.2 垂直于弦的直径学习目标1理解圆的轴对称性，了解拱高、弦心距等概念；2使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。学习重点：“垂径定理”及其应用 学习难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。学习过程一自主学习同学们能不能找到图1这个圆的圆心？拿出手中的圆形纸片试一试.问题：在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两

4、个半圆_.刚才的实验你说明什么？由此你能得到什么结论？圆是_，_是它的对称抽.二.探索新知1.垂径定理思考：如图2，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足E.这个图形是对称图形吗？你能发现图中有哪些相等的线段和弧？你能用几何方法证明这些结论吗？你能用一句话概括上述命题吗？垂径定理：（文字表述）_.（符号语言）_，_；_，_，_.2垂径定理的推论思考：（将上述垂径定理的题设和结论稍作调整）如上图，若直径CD平分弦AB则：直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？为什么？如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？垂径定理的推论：（文字表述）平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且_.（符号语言）_，_；_，

5、_，_.3观察下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？你能得出相关的结论吗？结论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：_、_、_、_、_ ，那么五个条件中满足任何其中两个条件都能推出其他三个结论.三应用新知例1 完成课本问题中，求出赵州桥的主桥拱的半径。 例2 如图，AB为O的直径，CD为弦，过C、D分别作CNCD、DMCD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由四发现总结1垂径定理的推论中要注意哪个附加条件？为什么？2在圆中，线段的有关计算经常要运用垂径定理，过_作_作为辅助线，形成基本图形_(简要画出来)，构造_三角形，利用_定理建立方程模型，将圆中_、_、_等相关

6、量联系起来。这几个量之间有哪些转化方式？五课堂检测 1如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm。则直尺的宽是_。2P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_，最长弦长为_3如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则O的半径是 六学习感悟24.1.3弧、弦、圆心角 学习目标1理解圆的旋转不变性。掌握圆心角的概念，学会辨别圆心角。 2掌握以及弧、弦、圆心角之间的相等关系并能运用这些关系解决有关证明、计算问题. 学习重点：圆心角、

7、弦、弧之间的相等关系.学习难点：运用圆心角、弦、弧之间的相等关系解决有关证明、计算问题.学习过程一自主学习 1圆是轴对称图形，对称轴是_，有_条；圆是中心对称图形，对称中心是_.将一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的圆_，圆具有_性.2如图1，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在_的角叫做圆心角 3如图2，在O中，AOB=AO B ，将AO B 绕着圆心O旋转到AOB，有哪些量能相等？图1 图2 二探索新知上面观察得到的结论，你能用圆的相关知识来说明理由吗？思考：上述的结论还成立吗？ 因此，我们可以得到下面的定理：_.同样，还可以得到： 在_中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_，所对

8、的弦也_在_中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_，所对的弧也_. 由上面定理我们不难得到：在同圆或等圆中，_、_、_三组量中，只要有一组量相等，其余的两个量也相等.三应用新知例1 根据如图，在O中，AB、CD是两条弦，（1）如果AB=CD，那么_，_。（2）如果AB = CD ，那么_，_。（3）如果AOB=COD，那么_，_。（4）AB=CD，OEAB，OFCD，垂足分别为E、F则OE_OF.证明你的结论.四发现总结 1在圆心角的性质中定理中，为什么要说“同圆或等圆”？能不能去掉？2证明圆中弧、弦、圆心角相等通常可以依据_定理，通过证明本量中以外的量相等的来实现. 五巩固提高1如图1和

9、图2，MN是O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，APM=CPM（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由（2）若交点P在O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由 （图1） （图2）六课堂检测1下列说法正确的有（ ）相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；长度相等的弧是等弧； 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧AB与CD关系是（ ） A.AB = 2 CD B.AB 2 CD C.AB r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，请你们结合直线和圆位置关系中

10、的等价关系和刚才五种情况的讨论，并完成上表最后一栏.两圆的位置关系图 形公共点个数公共点名称思考：半径相等的两个圆的位置关系有几种？O1和O2的半径分别为3cm和4cm，两圆圆心距O1O2（1）当O1O2=8cm时，两圆_； （2）当O1O2=7cm时，两圆_；（3）当O1O2=5cm时，两圆_； （4）当O1O2=1cm时，两圆_；（5）当O1O2=0.5cm时，两圆_；（6）当O1和O2重合，两圆_；三应用新知例1 如上图，O的半径为5cm，点P是O外一点，OP=8cm，以P为圆心作一个圆与O外切，这个圆的半径应是多少？以P为圆心作一个圆与O内切呢？ 例2 如图，已知O1和O2相交于A、B

11、，点O1在O2上，AC是O1的直径，直线CB与O2相交于点D，连AD.（1）求证：AD是O2的直径；（2）求证：DA=DC.四发现总结1判断两圆的位置关系只需比较三个量的大小关系，这三个量是_、_、_.2解两圆的问题时，通常添作的辅助线有哪些？五巩固提高1如图所示，点A坐标为（0，3），A的半径为1，点B在x轴上 （1）若点B坐标为（4，0），B半径为3，试判断A与B位置关系； （2）若B过M（2，0）且与A相切，求B点坐标六课堂检测1已知O1与O2相切，O1的半径为3 cm，O2的半径为2 cm，则O1O2的长是（ ）A1 cm B5 cm C1 cm或5 cm D0.5cm或2.5cm2已

12、知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A外离 B内切 C相交 D外切3已知O1与O2的半径分别为R，r(Rr)，圆心距为d，且两圆相交，判定关于x的一元二次方程x22（dR）x+r2=0根的情况为( )A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定24.3 正多边形和圆学习目标1了解正多边形和圆的有关概念.2掌握正多边形的半径、边长、中心角、边心距之间的等量关系，并了解化归思想.3能应用正多边形和圆的知识画正多边形.学习重点：正多边形中心、半径、中心角、弦心距、边长之间的关系学习难点：探索正多边形中心、半径、中心角、弦心距、边长之间

13、的关系学习过程一自主学习1_和_都相等的多边形是正多边形。2只要把一个圆分成 的弧，就可以作出这个圆的 ，这个圆就是这个正多边形的 。（以正五边形为例说明）如图，把O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE，请你证明，它是正五边形 3正多边形的_叫做正多边形的中心；_叫做正多边形的半径；正多边形每一边_叫做正多边形的中心角；_到_的距离叫做正多边形的边心距.二探索新知1正五边形的中心角的度数是_；正五边形的一个内角的度数是_；正五边形的一个外角是_2正六边形的中心角的度数是_；正六边形的一个内角的度数是_；正六边形的一个外角是_3正n边形的一个内角的度数是_；中心角的度数是_，正多

14、边形的中心角_它的一个外角的.4如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？ 方法一、用量角器作一个等于 的圆心角.方法二、正方形、正三角形、正六边形、正十二边形等特殊正多边形的作法.三应用新知例1 有一个亭子（如图），它的地基是半径为4cm的正六边形，求地基的周长和面积。(结果保留小数点后一位，1.732)四发现总结1正n边形的每一个内角的度数是_；中心角的度数是_，正多边形的中心角等于它的一个_.正多边形的中心角与它的一个外角_.2正n边形相关量的计算，常把正n边形分成_个全等的等腰三角形，这个等腰三角形底边是_，腰是_，高是_.通过作正n边形的_(等腰三角形的高)构造直角三角形，利用_定理等知识

15、来进行相关量的计算.五巩固提高： 分别计算半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距和面积。并求出它们边长的比值. 六课堂检测1边长为4的正三角形，则它的半径是_，边心距是_，中心角是_.2若一个正多边形每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是_.3有一个边长为3cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全覆盖住这个图形，那么这张纸片的最小半径是_.4如图1，正三角形ABC内接于O，AD是O的正十二边形的一边，连接CD，若CD=12，则O的半径是_.5下列说法：各边相等的圆内接多边形是正多边形；各内角相等的圆内接多边形是正多边形；正多边形的中心角等于它的一个外角；正多边形既是

16、中心对称图形又是轴对称图形。其中正确的个数是：（ ） A1个 B2个 C3个 D4个6如图2，正五边形ABCDE是O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论：BAC=36；PB=PC；四边形APDE是菱形；AP=2BP.其正确的有（ ） A B C D 图1 图27图，M、N分别是O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，正n边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.（1）图（1）中，求MON的度数；（2）图（2）中，MON的度数是_；图（3）中，MON的度数是_；（3）试探究图MON的度数与正n边形边数的n的关系_.24.4弧长与扇形面积

17、学习目标1利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式的过程2掌握弧长和扇形面积公式并解决实际问题学习重点：利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式学习难点：探索弧长和扇形面积的计算公式学习过程一自主学习1请你写出圆的周长计算公式： ；并求半径为3cm的圆的周长： .2思考并完成：圆的周长可以看作_度的圆心角所对的弧那么将圆360等分，这个这360条半径将圆分割成 条等弧，每个等弧的圆心角等于 1的圆心角所对的弧长是_ 45的圆心角所对的弧长是_ 90的圆心角所对的弧长是_ n的圆心角所对的弧长是_由此得到n的圆心角所对的弧长是_3认识概念： 是扇形.写出半径为R的圆的面积公式

18、 _半径为3的圆的面积 4思考完成：若将360的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成_个小扇形，每个小扇形的圆心角等于_，则1的圆心角所对扇形的面积是_，n的圆心角所对的扇形的面积是_. 如果扇形的半径为R，弧长为.那么，扇形面积等于 ；由此,得到扇形面积计算公式: S扇形 . 二探索新知1在半径为24的圆中，60的圆心角所对的弧长l= ；275的圆心角所对的弧长是2.5，则此弧所在圆的半径为 3若扇形的圆心角n为50，半径为R=1，则这个扇形的面积，S扇= ;4若扇形的圆心角n为60, 面积为,则这个扇形的半径R= ;5若扇形的半径R=3, S扇形3,则这个扇形的圆心角n的度数为

19、;6若扇形的半径R=2,弧长，则这个扇形的面积，S扇= 三应用新知例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度” （图中虚线部分分的长度）再下料，试计算如图所示的管道的展直长度.例2 如图水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水的部分的面积（结果保留小数点后两位）.四发现总结1.在你得到的半径为R的圆中，n圆心角所对的弧长计算公式 中，n的意义是什么？哪些量决定了弧长？2.写出扇形面积的推导过程.五巩固提高矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示

20、），求顶点A所经过的路线长六课堂检测1已知O的半径OA=6，AOB=90，则AOB所对的弧AB的长为 .2圆心角为120的扇形的弧长为20，它的面积为 .3如图，三角板ABC中，ACB=90, B=30，BC=6三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为 4. 如图，PA，PB切O于A，B两点，若APB=60，O的半径为3，求阴影部分的面积APBO（第4题图）（第3题图）24.4弧长和扇形面积（2）学习目标1了解圆锥的有关概念和基本特征.2理解圆锥侧面积计算公式，并能计算圆锥的侧面积和全面积.学习重点：探索圆锥侧面积和全面积的的计算公

21、式以及应用它解决生活中的一些实际问题.学习难点：应用圆锥侧面积和全面积的的计算公式解决生活中的一些实际问题.学习过程一自主学习1写出弧长的计算公式_，扇形面积的计算公式为_和_(指明其中字母的含义).2.圆柱的侧面展开图是_，若圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为_，全面积可以表示为S全=_.3.圆锥的高是_，圆锥是由一个_和一个_围成的，连接_和底面_的线段叫母线。如果圆锥的底面半径是r，母线长为，高为h，则它们满足的关系式为_.4如图所示，A是圆锥底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A，要使A点所走路径最短，你认为该怎么做？ 二探索新知将一个圆锥的模型沿着母线剪开，

22、观察圆锥的侧面展开图（如图所示）：圆锥的侧面展开图是_。设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，如图所示，则这个扇形的半径为_，扇形的弧长为_，因此圆锥的侧面积为_，圆锥的全面积为_思考并填写： 如果圆锥的母线长是，底面半径是r，其侧面展开后的扇形的圆心角的度数是_. 如果圆锥侧面展开后的扇形圆心角的度数是n，母线长是，则圆锥的底面半径是_.如果圆锥侧面展开后的扇形圆心角的度数是n，底面半径是r，则圆锥的母线长是_.三应用新知例1 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2,高为3.5m（顶端到底部的高度），外围高1.5m（下面圆柱的高）的蒙古包.那么至少需要用多少平方米的毛毡?(结果取整数).例2 已知扇形的圆心角为120，面积为300cm2 （1）求扇形的弧长； （2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？四课堂检测1一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）A.1 B. C. D.2