高三数学小题立体几何练习

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1、考点五 立体几何选择题： 1、棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A. B.4 C. D.32、如图，已知平面=，.是直线上的两点，是平面内的两点，且，.是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（ ） （B） （C） （D）3、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）A B C D4、从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若,则球的体积为（ ）A.B. C. D.5、已知正四面体ABCD，动点P在ABC内，且点P到平面BC

2、D的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为A椭圆的一部分B双曲线的一部分C抛物线的一部分D一条线段6、已知正方体，记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为推荐精选, 过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是A. B. C. D. 7、将边长为2的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球表面积为A. B. C. D. 8、已知三棱锥中，A、B、C三点在以O为球心的球面上， 若，三棱锥的体积为，则球O的表面积为（ ）A. B. C. D. 9、已知三棱锥中，平面平面，,则三棱锥的外接球的大圆面积为（） A B C D10、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体

3、的三视图，则该多面体的体积为A48 B32 C16 D二、填空题：11、若三棱锥P-ABC的最长的棱，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 12、如图，在三棱锥D-ABC中，已知AB=2，设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为 推荐精选13、已知P,A,B,C是球O球面上的四点，是正三角形，三棱锥的体积为，且,则球O的表面积为_14、已知平面截一球面得圆,过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面的半径为5,圆的面积为,则圆N的面积为_.15、在正三棱锥SABC中，AB，M是SC的中点，AMSB，则正三棱锥SABC外接球的球心到平面ABC的距离为_16、一个空心球玩具里面

4、设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是 参考答案BADCA DCBAD 11、 12、2 13、16 14、 15、 16、163如图，直线l平面，垂足为O，已知在直角三角形ABC中，BC1，AC2，AB该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1），（2）则B、O两点间的最大距离为推荐精选6、已知底面为正方形的四棱锥，各侧棱长都为，底面面积为16，以为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥相交部分的体积是（ ）A B C. D 答案C1、a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂

5、直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】试题分析：由题意，是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由，又AC圆锥底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆于点D，如图所示，连结DE，则DEBD，连结AD，等腰ABD中， ,当直线AB与a成60角时，故，又在中，过点B作BFDE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知 ,为等边三角形，即AB与b成60角，正确，错误.由最小角定理

6、可知正确；推荐精选很明显，可以满足平面ABC直线a，直线与所成的最大角为90，错误.正确的说法为.1如图，在长方体中， ，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的_当时， 平面；当时， 平面；的最大值为；的最小值为.2如图所示，在四边形中，,将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是 （1）；（2）；（3）与平面所成的角为；（4）四面体的体积为3如图所示，在确定的四面体中，截面平行于对棱和.推荐精选(1)若，则截面与侧面垂直；(2)当截面四边形面积取得最大值时，为中点；(3)截面四边形的周长有最小值；(4)若，则在四面体内存在一点到四面体六条棱的中点的距离相等.上述说

7、法正确的是 4如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形的面积不改变；棱始终与水面平行；当时，是定值其中正确说法是 5如图所示，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上任意一点，F为底面A1C1（除C1外）上一点，已知F在底面AC上的射影为H，若再增加一个条件，就能得到CHAD，现给出以下条件：EFB1C1；F在B1D1上；EF平面AB1C1D；直线FH和FE在平面AB1C1D的射影为同一条直线其中一定能成为增加条件的是_（把你认为正确的都填上）推荐精选6如图所示，在

8、正方体中， 、分别是棱、的中点， 的顶点在棱与棱上运动.有以下四个命题：平面；平面平面；在底面上的射影图形的面积为定值；在侧面上的射影图形是三角形其中正确命题的序号是_7点E、F、G分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC、B1C1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是_(写出所有真命题的编号)以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；过点F、D1、G的截面是正方形；点P在直线FG上运动时，总有APDE；点Q在直线BC1上运动时，三棱锥AD1QC的体积是定值；点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段推荐精选8正方

9、体的棱长为， 为的中点， 为线段的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的序号是_.当时， 的面积为； 当时， 为六边形；当时， 与的交点满足； 当时， 为等腰梯形；当时， 为四边形.9在正方体中（如图），已知点在直线上运动，则下列四个命题：d三棱锥的体积不变；直线与平面所成的角的大小不变；二面角的大小不变；是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线其中真命题的编号是_（写出所有真命题的编号）10已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，将其沿对角线BD折起，得到四面体A-BCD，如图所示，给出下列结论：四面体A-BCD体积的最大值为725；四面体A-BCD外接球的表面积恒为

10、定值；若E、F分别为棱AC、BD的中点，则恒有EFAC且EFBD； 当二面角A-BD-C为直二面角时，直线AB、CD所成角的余弦值为1625；当二面角A-BD-C的大小为60时，棱AC的长为145推荐精选其中正确的结论有_(请写出所有正确结论的序号)11如图，在正方体中，棱长为1 ，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的_ 当时， 平面； 当时， 平面； 的最大值为； 的最小值为.12如图，矩形中， ， 为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则在翻折过程中：是定值；点在某个球面上运动；存在某个位置，使；存在某个位置，使平面.其中正确的命题是_.答案1【解析】以为坐标原点建立空

11、间直角坐标系，则推荐精选,设,.对于，当，即，解得， ，设平面的法向量为，则由，解得，由于，所以平面成立.对于，当时，即，解得，由可知平面成立.对于，设，即，解得，由，其分子化简得，当时， ，故的最大值可以为钝角，错误.对于，根据计算的数据， ,，在对称轴，即时取得最小值为，故错误.点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查利用向量法证明线面平面，线面垂直的方法，考查利用向量法求角度的最大值和线段长的最小值的方法.由于题目所给几何体是长方体，要验证线面关系，用向量法最快，建立空间直角坐标系后，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，证明线面平行，利用直线的方向向量和平面内两个相交的向量垂直证明

12、线面垂直.推荐精选2（2）（4）【解析】试题分析：平面平面 平面，与平面所成的角为，四面体的体积为， ，综上（2）（4）成立考点：1线线垂直;2线面角;3棱锥的体积3【解析】试题分析：由直线与平面平行的性质定理可知，是平行四边形.中若，截面是矩形，即，如果截面与侧面垂直，那么平面，须平面，（1）不正确；（2）不妨假设，所成角为，则平行四边形中或，令，由，所以，而，是确定的，所以当，即是的中点时，亦即为中点时，截面四边形面积取得最大值，（2）正确；（3）由两式两边分别相加得，所以,的周长为，而，故的周长不存在最小值，（3）不正确；（4）若，设分别为所在棱的中点，则是矩形，连接记它们的交点为，则到

13、距离相等，均为；分别取的中点，连，推荐精选由已知是矩形，其对角线的交点即的中点，且到的距离均为，故在四面体内存在一点到四面体六条棱的中点的距离相等， (4)正确.答案为.考点：1.四面体的几何特征；2.平行关系；3.垂直关系.4 【解析】试题分析：将该四棱柱绕旋转，水的部分的面与面始终平行且全等，其余面为四边形，且相邻棱平行，所以始终呈棱柱状；在旋转过程中水面四边形的面积改变；在旋转过程中，,所以棱始终与水面平行；在旋转过程中，水的体积保持不变，且四棱柱的高不变，则直角梯形D面积不变，即为定值，所以当时，是定值；故选考点：四棱柱的性质5【解析】对于，因为AD/B1C1,EFB1C1,ADEF，

14、又ADFH，FHEF=F所以AD平面FHCE，所以ADCH，正确；对于，F在B1D1上，当F在B1时，CH就是CB，显然CB不垂直，错误；对于，因为EF平面AB1C1D，所以EFAD，同上，易得：ADCH，正确；对于，因为直线FH和FE在平面AB1C1D的射影为同一条直线，即平面FHCE平面AB1C1D又平面FHCE平面ABCD，且平面ABCD平面AB1C1D=AD，所以AD平面FHCEADCH，正确.故答案为：推荐精选6【解析】错， ，显然当M落在， 不垂直，所以平面不恒成立。对，因为 ，且，所以平面。对，因为的射影是MB为定值，点M的射影一定在线段CD上，所构造的射影三角形均同底等高，所以

15、面积为定值。错，当M点落在点时， 在侧面上的射影图形是条线段。综上所述，填。7【解析】画出图形，如图（1）所示，四个面都是直角三角形，所以（1）不正确；（2）连接DFGD1，得到过点F,D1,G的截面DFGD1，此截面为矩形，所以（2）不正确；（3）点P在直线FG上运动时，APDE，如图（2），则DE平面FAP，即可得结论，所以是正确的.（4）当Q点在BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变，如图（2）中三角形AD1Q面积不变，且C到平面AD1Q距离不变，所以体积为定值，所以是正确的；（5）点M是正方体A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段，线段A1D1满足题意

16、，故答案为.8【解析】如图，当时，即Q为CC1中点，此时可得PQAD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，故正确；由上图当点Q向C移动时，满足，只需在DD1上取点M满足AMPQ，即可得截面为四边形APQM，故正确；推荐精选当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；由可知当时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC

17、1AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为，故正确故答案为：9 （多选或错选或不选不给分，少选均给一半，）【解析】为定值；因为，所以 ，因此P到距离不变，但长度变化，因此直线与平面所成的角的大小变化；二面角的大小就是平面 与平面所组成二面角的大小,因此不变; 到点和距离相等的点在平面上，所以点的轨迹是平面与平面的交线.综上真命题的编号是10【解析】对于四面体ABCD体积最大为两个面互相垂直，四面体A-BCD体积的最大值为131234125=245，推荐精选故不正确；三棱锥A-BCD外接球的半径为52，所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4254=25，正确；若E,F为分别棱

18、AC,BD的中点，连接AF,CF，则AF=CF，根据等腰三角形三线合一得到EFAC，连接DE,BE，容易判断ACDACB，得到DE=BE，所以EFBD，所以正确；二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB,CD所在直线分别为x,y轴，则由向量的数量积可以得到直线AB,CD所成角的余弦值为1625，所以正确；当二面角A-BD-C的大小为60时，棱AC的长为145，在直角三角形ABD中，AB=4,AD=3,BD=5，作AEBD,CFBD，则AE=CF=125,DE=BF=95，同理直角三角形ABC中，则EF=BD-DE-BF=75，在平面ABD内，过F作FHAE，且FH=AE，连接AH，易得四

19、边形AEFH为矩形，则AH=EF=75,AHEF,FHDB，又CFDB，即有CFH为二面角C-BD-A的平面角，且为60，即CH=CF=125，由BD平面CFH，得到BDCH，即有AHCH，则AC=AH2+CH2=1935，故错误，故答案为.11【解析】对于,连结AB1,B1D1,AD1,则VAA1B1D1=1=， SAB1D1=sin60=,A1C=，设A1到平面AB1D1的距离为h,则h=,解得h=，h=A1C.当时,P为A1C与平面AB1D1的交点。平面AB1D1平面BDC1，推荐精选D1P平面AB1D1,D1P平面BDC1，故正确；对于,由可知P平面AB1D1，A1C平面AB1D1,A

20、1C平面D1AP，故正确；对于,由可知当时,P为等边AB1D1的中心，APD1=120，故错误；对于,连结AC,D1C,则RtA1ACRtA1D1C,AP=D1P，AP的最小值为 =，AP+PD1的最小值为.故正确。故答案为：。12【解析】解：取CD中点F，连接MF,BF，则MFDA1,BFDE，平面MBF平面DA1E，MB平面DA1E，故正确.由 ，由余弦定理可得 ，所以 为定值，所以正确；B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的球面上，故正确.假设正确，即在某个位置，使得DEA1C，又矩形ABCD中， ，满足 ，从而DE平面A1EC，则DEA1E，这与DA1A1E矛盾.所以存在某个位置，使得DEA1C不正确，即不正确.综上，正确的命题是 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选