北邮版概率论答案解析

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1、完美 WORD格式编辑习题二1. 一袋中有5只乒乓球,编号为1, 2, 3, 4, 5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只 球中的最大号,写出随机变量X的分布律.【解】X =3,4,51 P(X =3)厂0.1C53 p(x3 巾3C5P(X =5) = C4 =0.6C5故所求分布律为X345P0.10.30.62. 设在15只同类型零件中有 2只为次品,在其中取 3次,每次任取1只,作不放回抽样, 以X表示取出的次品个数,求：(1) X的分布律；(2) X的分布函数并作图；(3)1 33P X , P1 ： X , P1 X , P1 ： X : 2.2 22【解】X =0,1,2.P(

2、XP(XP(XC322_3 一C1535C2c2312C5_ 35U3丄-0)二=1)=2)二3535学习指导参考资料故X的分布律为X012P221213535352235(2)当 x0 时,F (x) =P (X x) =0当 0 w x1 时,F (x) =P (X x) =P(X=0)=当 1 x 2 时,F (x) =P (X x) =1故X的分布函数C 0,22F(x)才3534351,x00 x:：: 1仁 x：2x _21 122P(X )=F(),2 23534斗35 353 3P(仁 X 込)= F(?)-F(1)3 312P(1 空 X ) = P(X =1) P(1 ：X

3、 厂2 23534 1P(1 ： X ：2) = F (2) F(1) P(X =2) =10.35 353. 射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中 2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.那么X=0,1,2,3.P(X =0) =(0.2)3 =0.008P(X =1) = C；0.8(0.2)2 =0.096P(X =2) =C3(0.8)20.2 = 0.3843P(X =3) =(0.8) -0.512故x的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,x V00.008,0

4、 兰 x 1=,试求PY 1.954【解】由于P(X _1) ,故P(X 12=30000元.设1年中死亡人数为 X,那么Xb(2500,0.002),那么所求概率为P(2000X 30000)=P(X 15) =1-P(X 岂14)由于n很大,p很小,入=np=5,故用泊松近似,有14 e5kP(X 15) 10.000069心k!(2) R保险公司获利不少于 10000)= P(30000 -2000X _ 10000) =P(X 10)10 钳0.986305k =0 k!即保险公司获利不少于10000元的概率在98%X上P (保险公司获利不少于 20000) = P(30000 -20

5、00X _ 20000) = P(X 乞 5)5k=0k!:0.615961即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15. 随机变量 X的密度函数为f(x)=Ae |x|,x+8,求：(1) A值；(2) P0X1; (3)F(x).【解】(1)由f(x)dx=1得-oO1Ae%x=2 Aedx = 2A-0A J21 1 = 1 up(0 ： X 12 0e dx 二尹-e )x 1 x1 x当 x0 时,F(x)edxe dx2 2彳1舟 =1 e2F(x) =1 x2e,x ：0x_016. 设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=100x _ 1

6、00,0, x : 100.求：1在开始150小时内没有电子管损坏的概率;2在这段时间内有一只电子管损坏的概率;3F x.【解】(1)P(X 150)100100 x23 2 3 8p1 =P(X 150) 5)=271 2P2 叫(3)当 x100时(t)dt-cO100xf (t)dt 100 f(t)dtx100, 100厂 dt =1 -t2xF(x)上罟0,x _100x 017.在区间0, a上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在0, a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X的分布函数【解】由题意知XU 0, a,密度函数为1,0 _ x _ af(x)

7、 = a0,其他故当xa 时,F (x) =1即分布函数0,xF(x)=-, la1,18.设随机变量X在2 , 5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测 值大于3的概率.【解】XU2,5,即!1f(x)= 3其他【0,P(X 3)=51dx/3 33故所求概率为C2019.设顾客在某银行的窗口等待效劳的时间口等待效劳,假设超过10分钟他就离开 等到效劳而离开窗口的次数,试写出1【解】依题意知X E(),即其密度函数为5一 1X (以分钟计)服从指数分布 E(-).某顾客在窗5.他一个月要到银行 5次,以Y表示Y的分布律,并求PY 1.个月内他未f(x)=该顾客未等到效劳而

8、离开的概率为:1P(X 10)十ex5dx 二Yb(5,e冷,即其分布律为P(Y 二k)二Ck(e)k(1 -e)5 = k=0,1,2,3,4,5P(Y 一1)=1 -P(Y = 0) =1-(1-e)5 =0.516720. 某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X2 2 服从N(40, 10);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50, 4).(1)假设动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些？)又假设离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)假设走第一条路,XN( 40, 102),那么P(X

9、：60) =P 40 ： 60一40 =：-0.97727I 1010 丿2假设走第二条路,XN(50, 4),那么X -5060 -50P(X : 60) = P(2.5) = 0.9938 +I 44丿故走第二条路乘上火车的把握大些(2) 假设 XN(40,102),那么P(X ：45)=P X -4 ： 45一4 =：,(0.5)=0.6915V 1010 丿假设 XN(50,42),那么45-504=：(-1.25)(X -50P(X ：45) = PII 4=1 -门(1.25) =0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.221. 设 XN (3,2),(1) 求 P2X 5,

10、P 4X 2 , PX 3;2) 确定 c 使 PX c= RXW c.【解】(1)P(2 ： X 5P： -3 -I 222 丿= ：G(1)_G _丄 =：.：(1)_1 亠住 1()2 () 2= 0.8413 -1 0.6915 =0.5328P( -4 . X 辽 10)二 P土3： 3 乞化3V 222 丿=2 _：.：-=0.9996 2 2P(| X | 2) = P(X 2) P(X ： -2)JX-32_3LMX-3_2_3)I 22丿122丿 i丄 |+ I-5|丄 i-I 2丿I 2丿12丿= 0.6915 1 -0.9938 = 0.6977X 33 3P(X 3)

11、=P() =1 -：(0) =0.52 2c=3222. 由某机器生产的螺栓长度(cm) XN (10.05,0.06 ),规定长度在10.05 ).12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率【解】P(|X -10.05| 0.12) = PX -10.050.060.12006丿=1 _：亠处(_2) =21 _：(2)= 0.0456223. 一工厂生产的电子管寿命X (小时)服从正态分布 N( 160, (T ),假设要求P120 vX 0.8,允许厅最大不超过多少？【解】P(120 舟 X 乞 200) = P 120 一叫 30 岂 200 一16I craa J了40)不厂_40)仔

12、 f40)彳、c.=6一(=或1X0.8斗40故31.251.2924. 设随机变量X分布函数为A + BeV xO, “ c、F (x)=仏=0),0,X0.(1) 求常数A B;(2)求 PX 3;(3)求分布密度f (x).也mF(x)=1A 1【解】(1)由彳加得iimF(x)=xmF(x)iB1(2) P(X 乞2) *(2) =1 -e?P(X 3) =1 _F(3)=1 _(1_e3) =e,f(x)讦(x)二:I 0,x _0x ： ： 00 乞 x ： 1,1 x ： 2,其他.25. 设随机变量X的概率密度为I x,(x) = 2 -x,I0,求X的分布函数F (x),并画

13、出f (x)及F (x)【解】当x0时F (x) =0x0x当 0 w x1 时 F (x)二 Jf (t)dt = Jf (t)dt + 0 f (t)dt完美 WORD格式编辑2xxtdt =-)2当 1 x0;f(x)=bx,10 ： x : 1,试确定常数【解】1由2 x0,1 岂 x ： 2,其他.a, b,并求其分布函数F x.J(x)dx =1 知 1 = /0丛力=2a O0 r,e-xdx即密度函数为2f(x)=_ex-2ex 1 - 当 xw 0 时 F (x) = (x)dx =X/ 扎 7x , X 扎 Jx当-0 时 F(x)(x)dx；2e dx 02e dx=1

14、-lex2完美WORD格式编辑故其分布函数学习指导参考资料F(x)二I 2-ex2qQ由 1 f (x)dx -co得即X的密度函数为1jbxdxx 0x01+2b=1x, Ocxvl1f (x)2,1 乞 x ： 2lx0, 其他当 x W 0 时 F (x) =0x当 0x1 时 F (x) fi oO0x(x)dx f (x)dx 0 f (x)dxx0xdx当 1Wx 2 时 F (x) =1 故其分布函数为F(x)0,2x3_12 xJ,x -227.求标准正态分布的上:-分位点,=0.01,求 z ；(2):-=0.003,求 z , z-./2.【解】(1)P(X =0.011

15、-：(zj =0.01完美 WORD格式编辑故乙=2.33(2)由 P(X z.) =0.003得1 -门(zj =0.003即：(z) =0.997查表得z一.二2.75由 P(X z：./2)= 0.0015得(z./2)=0.0015即G(z：./2) =0.9985X210 13Pk1/51/61/51/1511/30查表得z：./2 二 2.9628.设随机变量X的分布律为求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0,1,4,9P(Y =0)= P(X =0)=丄5P(Y =1)= p(x =_1) P(X =1) = 1 丄 -6 15301P(Y =4) = P(X = -2)=丄5

16、11P(Y =9) =P(X =3)=30故Y的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/3029.设 P X=k=( 1)： k=1,2,令2Y1,当X取偶数时-1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律.解 P(Y P(X =2) P(X =4)|l P(X =2k) |l1 21 41 2k=(y2结)4川(2) 川iii= ()/(1 )：4 432 p(Y 1)=1 P(Y =1)二 30. 设 XN( 0, 1).(1) 求Y=eX的概率密度；(2) 求Y=2X2+1的概率密度；(3) 求Y= I X丨的概率密度【解】(1)当 y0 时,Fy (y)二 P(Y 空 y)二

17、 P(ei y)二 P(X 空 In y)ln y=K fx (x)dx-na学习指导参考资料fY ( y)-dFY(y)dy11 1fx(ln y) - eyy . 2 nln2y/2,y 0 P(Y =2X2 1 _1) =1当 yw 1 时 FY(y) =P(Y 空 y) =0当 y1 时 FY(y)二 P(Y 乞 y)二 P(2X2 1 乞 y)-Jpx2咛 X 0 时 FY(y) =P(|X |Ey) =P( yEy)y=Jfx (x)dx-J故 fY(y)厂Fy(y)= fx(y) fx(-y)dy31. 设随机变量xu 0,1,试求：x1Y=e的分布函数及密度函数；2Z= 2ln

18、 X的分布函数及密度函数【解】1P0 ： X =1X故 P(1：Y=e : e)=1当 y 叮时 FY(y) = P(丫 乞 y) =0当 1ye 时 FY(y)二 P(ex 乞 y) =1即分布函数0, 八1R(y) n y, 1 y e 1,八 e故Y的密度函数为T1_fY(y) = ty,1 ： y e0,其他(2)由 P (0X0 时,FZ(z) =P(Z Ez) =P(2ln X 乞 z)= P(In X 乞z)=P(X _e刁2) 21=【亠2血=1一e刁2e即分布函数0, FZ*z/2故Z的密度函数为4-1 -Z/2fz(z) = 2eI0,z 0z032. 设随机变量X的密度函

19、数为2xf(x)= nr 【0,0 ： x n其他.试求Y=sin X的密度函数【解】P(0 : Y ：1) =1当0y 22即随机数字序列至少要有 22个数字.x 0,0*寸,36.0,1F (x) =x + 21,那么F (乂)是(A)连续型;)随机变量的分布函数(B)离散型;(C)非连续亦非离散型【解】由于F (x)在(g,+ g)上单调不减右连续,且lim F(x) =0x_lim F(x) 所以f (x)是一个分布函数. x门:但是F (x)在x=0处不连续,也不是阶梯状曲线,故F (x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数.选(C)37.设在区间a,b上,随机变量 X的密度函数为f

20、 (x)=sin x,而在a,b夕卜,f (x)=0,那么区间a, b等于(A) 0, n /2;(D) 0,B) 0, n ;-n.n【解】在0,上sin x 0,且2n2sin xdx = 1.故f (x)是密度函数.2n在0, n上0 sinxdx = 2=1.故f x不是密度函数.n在,0上sin x _ 0,故f x不是密度函数.23 在0, n上,当2应选A.38.设随机变量XN 0,n： x _ 3 n时,sin x0) =1,故 01当 y 1 时,F丫 (y) =12Xe 1,即卩 P (0丫1) =1当 0y1 时,Fy(y)二 P(丫 _ y)二 P(ex _ 1 - y

21、)1= P(X 兰n(1_y)1ln(1 -y)QX2 2e dx = y0即丫的密度函数为11,0 ： y ： 13八0,其他即 YU(0, 1)41. 设随机变量X的密度函数为1-,OEx 兰1,32f (x)= k=2/3,求k的取值范围.(2000【解】由2P (X k)=知P (Xk)=133假设k0,P(Xk)=0：k1k 1假设0w k 1, RXk)=dx =0 33 3当k=1 时 P (Xk)=_ 131 w kw 3 时 P (Xk)=dx0dx 二0333kw 6,贝U P (X1 1/221 1假设6,那么 P (Xk)=.342. 设随机变量X的分布函数为0, xc

22、-1,0.4,-1Mx 1)=理知 P (X=0) = (1 p) L-8-2727故卩=丄3244. 假设随机变量X在(1, 6)上服从均匀分布,那么方程y+Xy+1=0有实根的概率是多少？【解】f(x)= 5【0,1 :： x :： 6 其他P(X2 -4 _0) =P(X _2) P(X 岂 -2) =P(X _ 2) = 45245. 假设随机变量 XN(2,6 ),且 P2X4=0.3,那么P X0=.22 X 242【解】0.3 二 P(2 : X : 4H P()acr ()一门(0)=门()-0.5 CTX 20 22因此P(X : 0) = P( ： )= ( 土)CTT 2

23、)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求(1) 全部能出厂的概率 a ;(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率(3 ;(3) 其中至少有两台不能出厂的概率0 .【解】设A=需进一步调试, B=仪器能出厂,那么A=能直接出厂, AB=经调试后能出厂由题意知B= A U AB且P(A) =0.3,P(B| A) =0.8P(AB) =P(A)P(B| A) =0.3 0.8 = 0.24P(B) =P(A) P(AB) =0.7 0.24 = 0.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数,贝UX6 (n, 0.94 ),故:=P(X =n) = (0.94)n-二 P(X 二 n-2) =C2

24、(0.94) n(0.06)2v - P(X 岂 n -2) =1 -P(X = n -1)- P(X = n)=1 - n(0.94)20.06-(0.94)n47. 某地抽样调查结果说明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在 60分至84分之间的概率.2【解】设X为考生的外语成绩,那么 XN (72,6 )fX729672 )240.023 = P(X 3 96) = PZ：=1 ()1CT)故24(二)=0.977查表知24=2 ,即c =12CT2从而 XN( 72, 12 )f6072X -7284 72

25、)故 P(60 乞 X 岂 84) = P II 121212 丿= ：.：(1) _：.：(_1) =2门(1)-1=0.68248.在电源电压不超过 200V、200V240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率 分别为0.1 , 0.001和0.2 (假设电源电压 X服从正态分布 N(220,252).试求：(1)该电子元件损坏的概率 a ；(2)该电子元件损坏时,电源电压在200240V的概率卩【解】 设A=电压不超过200V, A=电压在200240V,A=电压超过240V, B=元件损坏.由 XN (220, 25 )知P(A) =P(X 兰200)P(x -22020

26、0-220 一 I 25 亠 25 丿= (0.8) = 16(0.8) = 0.212P(A) =P(200 兰 X 兰 240)J200-220, X -220,240-220)V 252525 丿= 6(0.8)(-0.8) = 0.576P(A) = P(X 240) =1-0.212-0.576=0.212由全概率公式有3a=P(B)=Z P(A)P(B| A) =0.0642i =1由贝叶斯公式有RP(A2)P(B|A2)p = P(A2 |B) = 2/ 1 2丿 “.009P(B)2X49.设随机变量X在区间(1, 2)上服从均匀分布,试求随机变量Y=e的概率密度fY(y).【

27、解】fX(X)=1,1 ： x ： 20,其他由于 P 1X2 =1,故 P e2Ye4 =1 当 yw e2时 Fy y =F Y y=0.当 e2ye4时,FYy二 PY 乞 y二 Pe2X 乞 y二 P1 ： X Jin y2一；lny12 dx ln y -124当 y?e 时,FYy二 PY 乞 y =1尸0,1FYy二ln y1,丄 fYy = 石,0,乂 2y _ e241, e 叮 y . e*4y _ e24e : y e其他50.设随机变量X的密度函数为X上efxX= 1 时,FYy二 P丫岂 y二 PeX 乞 y二 PX Gn yin yedx =1 -丄11,y1 Fy

28、W才 yo,心J0,y1心51. 设随机变量X的密度函数为f x(x)=12 ni +x2)求Y=iVx的密度函数fY(y).【解】FY(y)二 P(丫 空 y)二 P(1 3X 空 y)二 P(X _(1 y)3)1_(1)3 M1 x2)dx =arctgxnQO(1-y)3n-arctg(1-y)3 冗2fY(y)=3 (1_y)2n1 (1-y)652. 假设一大型设备在任何长为 t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为 入t的泊松分布(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q (1993 研考)【解】(1

29、)当 t0时,事件Tt与N(t)=0等价,有FT(t) = P(T mt) =1_P(T t) =1_P(N(t) =0) =1_et _0t : 0即间隔时间T服从参数为入的指数分布.(2) Q =P 仃 16|T8) = P(T 16)/P(T8)=e二e*e *53. 设随机变量 X的绝对值不大于 1, PX= 1=1/8 , PX=1=1/4.在事件 1X1出现的 条件下,X在1, 1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,试求X的分布函数 F (x) =RXWx.(1997研考)【解】显然当x 1时F (x) =1115由题知 P(-1 ： X ：1)=1 一-8 481x

30、1 时,P(X x| -1 ： X ：1)2此时 F(x)二 P(X 乞 x)= P(X 2仁:X ) P(X mx,X = 1) P(X EX,X =1)二 P(X乞 x,1： X：1)P(Xmx, x二-1)二 P(XEx|1： X：1)P( 1： X：1)P(X =-1)x 15151(x 1)2881681当 x= 1 时,F(x) =P(X mx) =P(X - -1)=8故X的分布函数x ： -1-1 _ x1X _1O5 1F(xr 花(x 1) 8,1-P| X- 口研考54. 设随机变量X服从正态分N 口 1,d 1,Y服从正态分布N口 2,T2,且1| P| Y- 口 2|1,试比拟 d 1 与 d 2 的大小.(2006解： 依题意N(0,1),Y2L N(0,1),那么唄一1忙/!,PY 焉| P|Y -巴 1,即PX1即 ： ；2 .所以有JJ)3 (丄)23