初三数学圆的综合复习教案

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1、圆综合复习一、本章知识框架二、本章重点1圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合2与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角

2、(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半【经典例题精讲】例1 下列命题正确的是( )A相等的圆周角对的弧相等B等弧所对的弦相等C三点确定一个圆D平分弦的直径垂直于弦解：A在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确B等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确C三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆D平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦故选B【经典例题精讲】1.已知：如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，E=18，求C及AOC的度数2已知：如

3、图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点(1)求证：AOC=BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论3已知：如图，ABC内接于O，AM平分BAC交O于点M，ADBC于D求证：MAO=MAD4已知：如图，AB是O的直径，CD为弦，且ABCD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交O于M求证：AMD=FMC1提示：连结OD不难得出C36，AOC542 (1)提示：在OAB中，OAOB，AB同理可证OCDODC又 AOCOCDA，BODODCB， AOCBOD(2)提示：ACBD可作OECD于E，进行证明3提示：延长AO交O于N，连结BN，证BANDAC4提示：连结MB

4、，证DMBCMB3圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴4垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦(5)平行弦夹的弧相等【经典例题精讲】1已知：如图，AB是

5、O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，AEC=30，求CD的长2已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是O的直径，AOD=80，B是的中点(1)在CD上求作一点P，使得APPB最短；(2)若CD=4cm，求APPB的最小值3.如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m(竹排与水面持平)问：该货箱能否顺利通过该桥?答案：12(1)作法：作弦CD连结，交CD于P点，连结PB则P点为所求，即使APPB最短(2)3可以顺利通过5三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线

6、的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示(4)垂心：是三角形三边高线的交点6圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边

7、之和相等【经典例题精讲】1. 四边形ABCD内接于O，ABC123，求D分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等解：设Ax，B2x，C3x，则DACB2xx2x3x2x360，x45D90小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于O，周长为20，且ABBCCD123，求AD的长6判定一个点P是否在O上设O的半径为R，OPd，则有dr点P在O 外；dr点P在O 上；dR(2)直线和O有唯一公共点直线l和O相切dR(3)直线l和O 有两个公共点直线l和O 相交dr)，圆心距(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离dRr(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含dRr

8、(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切dRr(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切dRr(5)有两个公共点相交Rrd5.5时，d2t11(2)第一次外切，t3；第一次内切，第二次内切，t11；第二次外切，t132. 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB16，求两圆的圆心距解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，又AB16AC8在中，在中，故(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结垂直平分AB，又AB16，AC8在中，在中，故注意：在圆中若要解两不

9、等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题11圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C2R圆心角为n、半径为R的弧长圆心角为n，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2Rl，全面积为圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为Rl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有【经典例题精讲】1若圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面积为( )A2pcm2B3pcm2C6p

10、cm2D12pcm22若圆锥的底面积为16pcm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为( )A240B120C180D903底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216，则这个圆锥的高为( )A5cmB3cmC8cmD4cm4若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角为( )A120B1 80C240 D. 3005.已知：如图，在边长为a的正ABC中，分别以A，B，C点为圆心，长为半径作，求阴影部分的面积6已知：如图，RtABC中，C=90，B=30，以A点为圆心，AC长为半径作，求B与围成的阴影部分的面积1C 2B 3D 4B 5 6扇形的面积公式是：S

11、=1/2lr 即：扇形面积等于二分之一的弧长乘半径，就拿这个图来说吧，OA为半径r，所以扇形的弧长就等于2r,SA为半径l，所以扇形的面积S=1/22rl=rl 即：圆锥的侧面积S=rl设该圆锥的母线长L,底面半径为R，底面面积S1=R（平方），侧面面积S2=RL，2*S1=S2,所以2R=L，设圆心角为，所以S2=L（平方）/2=L(平方)/360，所以=180三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）说明：几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PAPB=PCPD（相交弦定理） 例1 已知P为O内一点，

12、O半径为，过P任作一弦AB，设，则关于的函数关系式为 。解：由相交弦定理得，即，其中2.切割线定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PAPB例2 已知PT切O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即 ，（舍）由切割线定理， 由勾股定理， 四、辅助线总结1.圆中常见的辅助线1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明3）作半径和

13、弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线12)遇两圆相切，常过切点作两

14、圆的公切线13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边2、圆中较特殊的辅助线1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线2)将割线、相交弦补充完整3)作辅助圆【中考热点】近年来，在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点，也是难点第二十四章 圆全章测试一、选择题1若P为半径长是6cm的O内一点，OP2cm，则过P点的最短的弦长为( )A12cmBCD2四边形ABCD内接于O，BC是O的直径，若ADC120，则ACB等于( )A30B40C60D803若O的半径长是4cm，圆外一点A与O上各点的最远距离是12cm，则自

15、A点所引O的切线长为( )A16cmBCD4O的半径为10cm，弦ABCD若AB12cm，CD16cm，则AB和CD的距离为( )A2cmB14cmC2cm或14cmD2cm或10cm5O中，AOB100，若C是上一点，则ACB等于( )A80B100C120D1306三角形的外心是( )A三条中线的交点B三个内角的角平分线的交点C三条边的垂直平分线的交点D三条高的交点7如图，A是半径为2的O外的一点，OA4，AB是O的切线，点B是切点，弦BCOA，则的长为( )7题图ABCD8如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿，路线爬行，乙虫沿路线爬行

16、，则下列结论正确的是( )8题图A甲先到B点B乙先到B点C甲、乙同时到B点D无法确定9如图，同心圆半径分别为2和1，AOB120，则阴影部分的面积为( )9题图ABC2D410某工件形状如图所示，圆弧的度数为60，AB6cm，点B到点C的距离等于AB，BAC30，则工件的面积等于( )10题图A4B6C8D1011如图，O1的弦AB是O2的切线，且ABO1O2，如果AB12cm，那么阴影部分的面积为( )11题图A36cm2B12cm2C8cm2D6cm2二、填空题12如图，在O中，AB为O的直径，弦CDAB，AOC60，则B_12题图13如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B，C两点恰

17、好落在扇形AEF的弧上时，的长度等于_13题图14如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_14题图15若圆锥的底面半径是2cm，母线长是4cm，则圆锥的侧面积是_cm216如图，在ABC中，AB2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则BAC的度数是_16题图17RtABC中，C90，AC4，BC3，则以直线AB为轴旋转一周所得的几何体的表面积为_18已知半径为2cm的两圆外切，半径为4cm且和这两个圆都相切的圆共有_个三、解答题19已知：如图，P是ABC的内心，过P点作ABC的外接圆的弦AE，交BC于D点求证：BEPE20如图，ABC的三个顶点都在O上，APBC于P，AM为O的直径求证：BAMCAP21如图，O中，点C在上，BHAC于H求证：AHDCCH22已知：等腰ABC内接于半径为6cm的O，ABAC，点O到BC的距离OD的长等于2cm求AB的长23已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于C点，AB12cm求两个圆之间的圆环面积第 23 页 共 23 页