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1、初高中数学衔接教材（2）第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) (2) 分析： (1)中，(2)中。说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了
2、法则；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法。分组分解法的关键在于如何分组。1分组后能提取公因式【例3】把分解因式。分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式。说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法。本
3、题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试。【例4】把分解因式。分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。2分组后能直接运用公式【例5】把分解因式。分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是。【例6】把分解因式。分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平
4、方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式。说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式。三、十字相乘法1型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和。因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。【例7】把下列各式因式分解： (1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同
5、。【例8】把下列各式因式分解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同。2一般二次三项式型的因式分解大家知道，反过来，就得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行。这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。【例10】把下列各式因式分解： (1) (2
6、) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。四、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解。当然，本题还有其它方法，请大家试验。2拆、添项法【例12】分解因式分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合
7、并为0了，可考虑通过添项或拆项解决。说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件。本题还可以将拆成，将多项式分成两组和。一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。本章节练习巩固 1、多项式中各项的公因式是_。2、_。3、_。4、_。5、_。6、分解因式得_。7计算= 8
8、，的公因式是_。9、用适当方法分解下列式子（1）（2） （3） （4）（5） （6）、 （7） （8） （9） （10） （11） （12）（13） （14）（15） （16） （17）。10、下列式子可用平方差公式计算的式子是（ ）A、 B、 C、 D、11、下列四个多项式是完全平方式的是（ ）A、 B、 C、 D、12、若其中、为整数，则的值为（ ）A、或 B、 C、 D、或13、已知则 ( ) A、12 B、 14 C 、 8 D 、1614、已知x2y2=2, xy=1、则xy的值为 （ ） B C、1 D、15、若则，。16、 在多项式（1）（2）（3）（4），（5）中，有相同因式的是（ ）A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）17、分解因式得（ ）A、 B、 C、 D、18、分解因式得（ ）A、 B、C、 D、19三边，满足，试判定的形状。20若都是实数，且求的值
初高中数学衔接教材(2)第二讲 因式分解
