理论力学课后答案第五章

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1、第五章思考题虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？为什么在拉格朗日方程中，不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？a我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲？广义动量pa和广义速度qa是不是只相差一个乘数m?为什么pa比qa更富有意义？既然上是广义动量，那么根据动量定理，dTL是否应等于广义力？为什么在拉aqadtq格朗日方程5314式中多出了2项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？qa为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式5.3.13得出式5.3.14?平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么21个常数只

2、有2s个是独立的？s什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？dL和dL有何区别？,和工有何区别？qaqa哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号能否这样？正则变换的目的及功用

3、何在？又正则变换的关键何在？哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤正则方程5.5.15与5.10.10及5.10.11之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价第五章思考题解答答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从WFiri可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位

4、移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理

5、并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2答因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不

6、对应有独立的广义坐标，故不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由FiriqW知，q有功的量纲，据此关系已知

7、其中一个量的量纲i11则可得到另一个量的量纲.若q是长度，则一定是力，若是力矩，则q一定是角度,若q是体积，则一定是压强等.5.3答p与q不一定只相差一个常数m,这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。直角坐标系中质点的运动动能Tm（x2y2z2）,若取y为广义2坐标，则qyy,而pyt-mymqy,相差一常数m,如定轴转动的刚体的动能T 1 I 2,取广义坐标q2I , p与q相差一常数一一转动惯量I ,又如极坐标系表示质点的运动动能T 1m(r2r2 若取 q，有q ，而mr2 ,二者相差一变数 mr2；若取qr 有 qr r , 而 pr mr，二rs ,有 qs s v

8、,而 ps ms ,者相差一变数m.在自然坐标系中T1ms2,取q2二者相差一变数m.从以上各例可看出：只有在广义坐标为长度的情况下，p与4才相差一常数；在广义坐标为角量的情形下，p与q相差为转动惯量的量纲p为何比q更富有物理意义呢？首先，p对应于动力学量，他建立了系统的状态函数T、L或H与广义速度、广义坐标的联系，它的变化可直接反应系统状态的改变，而q是对应于运动学量，不可直接反应系统的动力学特征；再者，系统地拉格朗日函数L中不含某一广义坐标qi时，对应的广义动量pi常数，存在一循环积分，给解决问题带1qi来方便，而此时循环坐标qi对应的广义速度qi并不一定是常数，如平方反比引力场中.2Ll

9、mr2r22k,L不含，故有pmr常数，但q常数；最2r后，由哈密顿正则方程知p,q是一组正则变量：哈密顿函数H中不含某个广义坐标qi时，对应的广义动量pi常数，不含某个广义动量pi时，对应的广义坐标qi常数答只有对于完整系，广义坐标数等于自由度数，才能消去所有的约束方程，式（5.3.13）dtq各q才能全部相互独立，得到式（5.3.14）,故拉格朗日方程只适用于完整系，非完整力学体系，描述体系的运动需要的广义坐标多于自由度数，各q不全部独立，不能得到（）式，但（）式结合拉格朗日方程未定乘数法可用于非完整系。答力学体系在平衡位置附近的动力学方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（）式0,其

10、中,1,2S,久期方程的各根（本征值）l的性质决定体系平衡位置附近的小振动性质。因从本征方程（5.4.6）式中可求出2s个的本征值l（11,22S）,每一个l对应一个独立的常数故2s2个常数中只有2s个是独立的。答多自由度体系的小振动，每一广义坐标对应于S个主频率的谐振动的叠加。若通过坐标间线性变换使得每一广义坐标仅对应一个频率的振动，则变换后的坐标称之为简正坐标，对应的频率为简正频率，每一简正坐标对应一个简正频率，而简正频率数和力学体系的自由度数相等，故简正坐标数等于自由度数。值得说的是，每一简正振动为整个力学体系所共有，反映的是各质点（整体）的振动之,其他坐标都作为简正坐标的线性函数，由S

11、个简正振动叠加而成。这种方法在统计物理，固体物理中都有运用。答对一完整的稳定的力学体系在有阻尼的情况下,它们在平衡位置附近将作衰减运动。引入1s耗散函数F2则阻力力学体系的运动方程改为dTTVFdtqqqq1 其中 T - a q q , V2 , 1泰勒级数,F中是的函数，把在平衡位形区域展开成sb-bb0qr局级项r1qr0qr很小，只保留头一项，则a , b ,c均为常数。T,V, F代入运动方程得0,1,2S把qAet代入上式得本征值方程1,21,24VT的小阻尼情况下，本征值1,2动方程为1tAiIltlt1,2S显然是按指数率的衰减振动。答：因LLq,q,t,1,2,.s,所以sd

12、L1工解得qrdq7dtdidqPdq7dt答：拉格朗日方程只适用于完整系,P,t1,2,.s1,2,.sq,q,P,t,t/dqqrdq?dtdL哈密顿正则方程有保守系拉格朗日方程推出,故只能适用于完整的，保守的力学体系，对非保守体系5.3.18）改写为d二dtqQ,1,2.sq其中Q为非有势力，或写为ddtQ,1,2.sqO经勒让德变换后用课本上同样的方法可推得非保守系中的哈密顿正则方程q一,ph-一pQ,1,2sq答：若哈密顿函数不显含时间t，则HHq,p常熟；对稳定约束下的力学体系，动能不是速度的二次齐次函数，则HTV，是以哈密顿正则变量表示的广义总能量，因不稳定约束的约束范例可以做功

13、，但拉格朗日方程中不含约束力，故有此差异，此时H并不是真正的能量；对稳定的，保守的力学体系，若H含t则H是能量但不为常熟。答：泊松括号是一种缩写符号，它表示已同一组正则变量为自变量的二函数之间的关系。若p,q,t,p,q,t,1,2s，则s,iqppq1,2s这种表示法在量子力学，量子场=积分H是物理学中最常用的泊松括号，用泊松括号可表示力学体系的运动正则方程pp,H,qq,H,用泊松括号的性质复杂微分运算问题化为简单的括号运算，论等课程中被广泛应用。每一正则方程必对应一个运动积分，利用泊松括号从正则方程p,q,tCi,p,q,tC2可以推出另外一个积分，C3,这一关系称为泊松定理。答：哈密顿

14、原理是用变分的方法确定运动规律的，它是力学变分原理的积分形式。基本思想是在描述力学体系的S维空间中，用变分求极值的方法，从许多条端点相同的曲线中挑选一条真是轨道确定体系的运动变化规律。因为对等时变分t0,故变分符号可置于积分号内也可置于积分号外，而不等时变分t0,故全变分符号不能这样。答：力学体系的哈密顿函数H中是否有循环坐标系或循环坐标的数目与坐标系（或参变数）的选取有关，故在正则方程形式不变的前提下，通过某种变数变换找到新的函数H*,使之多出现一些循环坐标，此即正则变换的目的及公用。由于每一循环坐标对应一个运动积分，正则变换后可多得到一些运动积分，给解决问题带来方便，正则变换的关键是母函数

15、的选取，其选取的原则是使H*中多出现循环坐标，但并无一定的规律可循，要具体问题具体分析。答：哈密顿正则方程是2s个一阶微分方程的方程组，用泊松定理解之，由而已知运动积分求出其余的运动积分往往是已知解的线性组合或横等时，并不能给出新的解；而用正则变换可多得到一些循环坐标是正则方程立即有解，但母函数的选取往往很困难，哈密顿一雅可毕理论的目的既是要弥补上述缺陷通过一个特殊的正则变换，使得用新变量P,Q,(1,2s)表示的哈密顿函数H*0，此时P,Q全部为常数i,i,(i1,2.s)，这样哈密顿得主函数极为母函数，从而解决母函数难以寻找的困难。答：X5(5.9.8)式若为不稳定约束，只需以h代替E即可

16、，故对()式分离变量后推出的()中也只需以h代E即可用于不稳定约束。正则方程利用哈雅理论后得到结果十分普遍，可同时得出运动规律，轨道级动量，故比拉格朗日方程优越。答：经典“牛顿力学”常用于几何的观点，运用形象化思维的方式，研究力学体系的受力情况及运动情况，然后通过运动非常及时物体的受力与运动变化间的相互联系和前因后果。这种方法形象，直观，物理意义鲜明，被广泛应用于工程实际。但由于它着眼于力，速度，加速度等矢量，给解决复杂的力学体系的运动问题带来许多不便；再者，它仅仅局限于纯力学体系的运动分析，其理论与方法难以建立与其它学科的联系。答：十九世纪发展起来的“分析力学方法弥补了上述缺陷，它用纯数学分

17、析的方法用更具有概括性的抽象思维方式，从力学体系的一切可能的运动中挑选出实际运动的规律。这种方法尽管物理意义不如牛顿力学方法鲜明，但它给人们解决复杂力学体系的运动问题提供了有一方法；再者，由于广义坐标，广义力的引入使其理论在其它学科中也能广泛的应用。建立了经典物理学向近代物理学过渡的桥梁。下面通过分析力学与牛顿力学理论及方法的比较扼要阐述分析力学的优越性。牛顿力学的着眼点是力，实际力学体系除受到促使其运动状态改变的主动力，往往还存在很多限制其运动的约束条件体现这些约束的约束反作用力都要作为未知数出现于运动微分方程，使未知量增加给解算带来许多麻烦；分析力学着眼于功和能在一定条件下，常常可以不考虑

18、约束反作用力。如在理想条件下，用虚位移原理解决力学体系的平衡问题可撇开众多的未知未知约束力，直接得出平衡条件，比用牛顿力学中刚体受力的平衡方程方便得多；达朗伯虚位移原理解决力学体系的动力学问题，由于虚功的概念、广义坐标的引入，也可撇开约束力得解，比用牛顿方程即由此推出的动量定理，动量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密顿原理即由此得到的分析力学一系列方程均具这一优点。从一分为二的观点来看，这也是分析力学的缺点不能求出约束反作用力。当把待求的约束反力或做功的约束反力作为主动力来看，分析力学的理论修改后仍能应用。牛顿力学用矢量的方法研究力学体系的运动，着眼于力、加速度、速度等矢量，而矢量具有方向性、相对

19、性，在坐标变换中很费事，故牛顿力学的动力学方程都与参考系极坐标系的选取有关；分析力学用标量描述力学体系的运动及变化规律，着眼于功和能广义坐标和广义速度等一系列标量，标量便于变换及叠加，标量形式的运动方程也是便于写出的，且由于广义坐标和广义力的引入，是指超出立宪的范围也能应用，给参变量的选用也带来了许多方便，提高了灵活性。如用拉格朗日方程，哈密顿原理或哈密顿正则方程推证极坐标系，球坐标系的质点运动方程，比用牛顿力学的方法简便，但分析力学不如牛顿力学方法直观物理意义也不如牛顿力学方法清晰。牛顿力学的动量守恒定律动量矩守恒定律总是以牛顿第三定律为先决条件的；而分析力学中循环坐标对应的广义动量守恒原理

20、并不以牛顿第三定律为先决条件，其先决条件是拉格朗日函数或哈密顿函数中不含某广义坐标。若拉格朗日函数中不含某广义坐标，则对应于拉格朗日动力学的广义动量守恒；若哈密顿函数中不含某广义坐标，则对应于哈密顿动力学的广义动量守恒。牛顿动力学的动量守恒定律，动量矩守恒定律都是广义动量守恒原理对应的某循环坐标下的特例。恩西力学的理论更具有概括性，广义动量守恒原理具有更普遍的意义。牛顿力学研究力学问题也用到共和能的概念，但其功能关系动能定理，功能原理，机械能守恒定律等，只不过提供了力学体系运动的某一方面特征，它的注意力集中于实际实现，而在实际实现的运动中，功能关系只能给出一个独立的方程不能提供完全的解；分析力

21、学则不然，它不只是注意实际实现的运动，而是以力学体系的一切可能存在的运动中挑选出真实的运动，故分析力学中的功能关系指的是一切可能出现的运动中的功能关系，比实际实现的运动中的功能关系要丰富的多，它可以给出一组与力学体系自由度数相等的运动方程，足以确定体系的运动。如用牛顿力学中的功能关系机械能守恒定律研究抛体运动（不计空气阻力），只能给出一个独立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程则可以给出与自由度数相等的两个独立的运动方程，足以解决其运动。牛顿力学机械能守恒定律中的势能对应于所有的势力，包括主动力和约束反力，而分析力学中的拉格朗日函数或哈密顿函数中的势能只对应于广义力，广义力只包含主动力，

22、故两种势能不同。再者，分析力学中哈密顿函数H的守恒原理，在非稳定的约束情况下HT2T0V并非机械能，成为广义能量，只有在稳定的约束情况下HTV才是机械能。故牛顿力学的机械能守恒定律要求有势力，而哈密顿函数的守恒原理要求H不显含t且为稳定约束，它们是从不同角度讨论机械能守恒的。分析力学的广义能量守恒比牛顿力学的机械能守恒有着更广泛的意义。牛顿力学定律不便于与其它形式的运动建立直接的联系，分析力学着眼于能量，便于进一步考虑能量的量子化问题，为从经典力学向近代物理学及其它领域过渡提供了方便的“跳板”。如哈密顿雅可比方程量子化得到的薛定谔方程，哈密顿正则方程量子化得到量子力学的海森堡方程，经典泊松括号

23、考虑量子化效应得到量子力学的泊松括号；哈密顿原理推广到量子力学的变分原理等。再者，能量便于与其运动形式转化，由于广义坐标概念的引入使得一系列分析力学的方程都适用于非力学体系；另外，分析力学是在多维的非欧几得空间中讨论问题的，故分析力学的理论及方法在物理学的各领域有广泛的应用，现代的场论都好似拉格朗日形成的，分析力学在物理学中有着重要的地位。最后讨论一下哈密顿动力学与拉格朗日动力学的关系。在处理实际问题中哈密顿动力学不如拉格朗日动力学方便，拉格朗日动力学中从拉格朗日函数可直接写出力学体系的运动方程一一拉格朗日方程；哈密顿动力学中则必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数才可写出力学体系的运动方程一一哈密

24、顿正则方程，从哈密顿正则方程消去广义动量的结果其实不过是从另一途径达到拉格朗日方程，这样做的结果是绕了一个大圈子。第五章习题试用虚功原理解题。试用虚功原理解题。长度同为L的轻棒四根，光滑地联成一菱形ABCDOAB、AD两边支于同一水平线上相距为2a的两根钉上，BD间则用一轻绳联结，C点上系一重物WO设A点上的顶角为2a，试用虚功原理求绳中张力T。llTa aAl l第5.3题图一质点的重量为w,被约束在竖直圆周x2y2-r2=0上，并受一水平斥力k2x的作用，式中r圆的半径，k为常数。试用未定乘数法求质点的平衡位置及约束反作用力的量值。在离心节速器中，质量为m2的质点C沿着一竖直轴运动，而整个

25、系统则以匀角速经该轴转动。试写出此力学体系的拉氏函数。设连杆AB、BC、CD、DA等的质量均可不计。Jm2C第5.5题图试用拉格朗日方程解题。试用拉格朗日方程解本章补充例题。一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动。管中有一质量为m的质点。开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a,质点相对于管的速度为V0,试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为的圆锥面内运动。试以r,为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。zZ一J,1zMrojj/二y彳第5.9题图试用拉格朗日方程解题中的a及b。试用拉格朗日方程求题中的a1及a

26、2。均质棒AB,质量为m,长为2a,其A端可在光滑水平导槽上运动。直面内绕A端摆动。如除重力作用外，B端还受水平的力F方程求其运动微分方程。如摆动的角度很小，则又如何？而棒本身又可在竖的作用。试用拉割朗日2_口mxacosasinF2,2maxcosak2Facosmgasin2Fm为任一瞬时棒与竖直线间所成的角度,如很小，则4xa3式中x为任一瞬时A离定点0的距离，为绕质心的回转半径行星齿轮机构如右图所示.曲柄0A带动行星齿轮n在固定齿轮I上滚动.已知曲柄的质量为m1，且可认为是匀质杆.齿轮n的质量为m2,半径为r,且可认为是匀质圆盘.至于齿轮I的半径则为R.今在曲柄上作用一不变的力矩M.如

27、重力的作用可以忽略不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动.y y第5.13题图质量为m的圆柱体s放在质量为的圆柱体p上作相对滚动，而p则放在粗糙平面上.已知两圆柱的轴都是水平的，且重心在同一竖直面内.开始时此系统是静止的.若以圆柱体P的重心的初始位置为固定坐标系的原点，则圆柱S的重心在任一时刻的坐标为m3msinxc2myccos为两圆柱连心线与竖直向上的试用拉格朗日方程证明之.式中c为两圆柱轴线间的距离,直线间的夹角.质量为M、半径为a的薄球壳，其外表面是完全粗糙的，内表面则完全光滑，放在粗糙水平着上.在球壳内放一质量为m、长为2asin的匀质棒.设此系统由静止开始运动，且在开始的瞬间棒在通

28、过球心的竖直平面内，两端都与球壳相接触，并与水平线成角.试用拉格朗日方程证明在以后的运动中，此棒与水平线的夹角满足关系2.2223m3cossin9mcoscos6g53mcoscoscos第5.15题图半径为r的匀质小球，可在一具有水平轴、半径为R的固定圆柱的内表面滚动.试求圆球平衡位置作微振动的方程及其周期.质点M1,其质量为色，用长为L的绳子系在固定点O上.在质点M1上，用长为12的绳系另一质点M2，其质量为m2.以绳与竖直线所成的角度1与2为广义坐标，求此系统在竖直平面内作微振动的运动方程.如m1=m?=m，11=12=l，试再求出此系统的振动周期第题图在上题中，如双摆的上端不是系在固

29、定点。上，而是系在一个套在光滑水平杆上、质量为2m的小环上，小环可沿水平杆滑动.如m1=m2=m,11=12=1,试求其运动方程及其周期质量分别为m1、m2的二原子分子、平衡时原子间的距离为a,它们的相互作用力是准弹性的，取二原子的连线为x轴，试求此分子的运动方程。已知一带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数l（非相对论的）为12LTqqAvmvqqAv2式中v为粒子的速度，m为粒子的质量，q为粒子所带的电荷，为标量势，a为矢量势。试由此写出它的哈密顿函数。试写出自由质点在作匀速转动的坐标系中的哈密顿函数的表示式。试写出中拉格朗日陀螺的哈密顿函数H,并由此求出它的三个第一积分。试用哈密顿正则方程解题

30、。半径为c的匀质圆球，自半径为b的固定圆球的顶端无初速地滚下，试由哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加速度。试求由质点组的动量矩J的笛卡儿分量所组成的泊松括号。试求由质点组的动量P和动量矩J的笛卡儿分量所组成的泊松括号。如果是坐标和动量的任意标量函数，即ar2brpcp2，其中a,b,c为常数,试证Jz=0。半径为a的光滑圆形金属丝圈，以匀角速绕竖直直径转动，圈上套着一质量为m的小环。起始时，小环自圆圈的最高点无初速地沿着圆圈滑下。当环和圈中心的联线与竖直向上的直径成角时，用哈密顿原理求出小环的运动微分方程。试用哈密顿原理解题。试用哈密顿原理求复摆作微振动时的周期。试用哈密顿原理解题。试证qi

31、n-sinp,Pqctgp为一正则变换。q，证：变换方程q2Q 2k 2 cosP, p?H变为Q 口，P qP，1.一、.一ccL；.c代表一正则变换，并将正则方程2Q2k2sinP式中1222_Hpkq,HkQ2如果利用下列关系把系数p,q换为p,Q:q1P,Q,p2P,Q则当q,pQ,P时，这种变换是一正则变换，试证明之。试利用正则变换，由正则方程求竖直上抛的物体的运动规律。已知本问题的母函数Umg1gQ3qQ式中q为确定物体位置的广义坐标Q为变换后新的广义坐标g为重力加速度。试求质点在势场Fzr中运动的主函数S,式中及F为常数试用哈密顿-雅科毕偏微分方程求抛射体在真空中运动的轨道方程。

32、如力学体系的势能V及动能T可用下列二函数表示：VViV2VsAiA2As?1222T2AiA2AsBiqiB2q2B$qs式中V,A,B1,2,s都只是一个参数q的函数，则此力学体系的运动问题可用积分法求解，试证明之。试用哈-雅方程求行星绕太阳运动时的轨道方程。试由5.9.29及5.9.30两式推证5.9.31及5.9.32两式。试求质点在库仑场和均匀场V-FzR的合成场中运动时的住函数S,以抛物线坐标，表示，式中及F是常数，而R7一了(参看图124)。RmZ刘维定理的另一表达式是相体积不变定理。这里又有两种不同的说法：(1)考虑相宇中任何一个区域。当这区域的边界依照正则方程运动时，区域的体积

33、在运动中不变。(2)相宇的体积元在正则变换下不变。试分别证明之。第五章习题解答解如题5.1.1图，y题5.1.1图*mg杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角所唯一确定。杆的自由度为1,由平衡条件：Firi0即mgy=0变换方程yc=2rcossin-_1$冶=rsin2J-sin22故2r cos因 在约束卜是任意的，要使上式成rcos2l又由于c故cos2一lcos02立必须后:-cos =024r cos 2 cosos = 2r22_ c 2r=222rcos2lcos代回式得,224c2rc解如题5.2.1图yy题5.2.1图三球受理想约束，球的位置可以由确

34、定，自由度数为1,故x12rsinlrsinx22rsinlrsinX30y1lrcosy2lrcosy3lrcosa2rcos覆行y1lrsiny2lrsiny3lrsin2rsin由虚功原理nFiri0故PiyiP2y2P3y30l r sinl r sin 1r sin 2r sin因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须31rsin2rsin0故2rsin31rsin又由x12rcos1rcos得：2rcos1rcos由可得tan3tan解如题5.3.1图，在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。去掉绳代之以力T,且视为主动力后采用虚功原理，一确定便可确定ABCD勺位置。

35、因此自由度数为1。选为广义坐。由虚功原理：nFiri0i1wycTbXbTdXd0又xBlsin,xDlsin,yc2lcosacot取变分得xBlcos;xDlcosyc2lsina.2sin代入式得：W2lsinaTdlcoslcos02sin化简得W2lsina2Tlcos0设TbTdT因在约束条件下任意，欲使上式成立，须有:W2lsina2sin2Tlcos0由此得T Wtancsc2l解自由度s1,质点位置为x,y。由kfFix01 xikfFiy02 V由已知得i1,3 22cfx,yxyr0k2x2x0W2y0aff22-9,4x y 2 r;xyx 0yrRWR k r约束方程

36、联立可求得xy又由于R|f故或解如题5.5.1图题5.5.1图按题意仅重力作用，为保守系。因为已知，故可认为自由度为1选广义坐在球面坐标系中,质点的动能:所以又由于Ti1-mi22ri2riTbTbTcTd取Ox为零势,2.risinB其中i代表指标B,C,DDa,1d-m1222.2asin2acos1一m22Tc体系势能为:故力学体系的拉氏函数为:LTV22miad2acos22sindt2gami-2.22m2asin2.2asin2m2m2cos2.22asin2.222m2asin2gam1m?cos解如题5.6.1图.AX题5.6.1图xx1平面运动，一个自由度.2选广义坐标为q,

37、广义速度3因未定体系受力类型,由一般形式的拉格朗日方程ddt在广义力代入得：在极坐标系下:nW FiriQ10。i 1Qi0.dtd2a cos2dt2 d - tc22 a cos -2 dt1. 222/ 2m 4a cos - 4a222 2cos - a将以上各式代入式得2c2.22.八2ma2masinmasin2masin02sin解如题5.7.1ymgo题5.7.1图又由于x-x2a所以1 2-mv2x一 x2a2 x 4a22x2 a取坐标原点为零势面mgy2x (2 mg J4a拉氏函数2x4a22x e mg亚4amx4a2x mg2amx2 x4a2ddtmx 12x4a

38、2mx2 x-2 2a2代入保守系拉格朗日方程d-L2mx 1-24 a22 xmx 24a2x cmg2a 02 x mx 1 2 4ad_ _Ldt x22mx 1 -x4a2 x mx22a代入保守系拉格朗日方程ddtmx 12 x4 a22 x2xmx 三 m x mg04a22a解：如图5.8.1图.题5.8.1图1.(1)由于细管以匀角速转动，因此.二可以认为质点的自由度为取广义坐标xq.(3)根据极坐标系中的动能1-/222、1-/222、Tm(rr)m(xx)22取初始水平面为零势能面，势能：Vmgxsin(t)拉氏函数LTV1m(x222 2、，、x ) mgxsin( t)

39、wc12LL2.,mxmxmgsin(t)xx代入拉氏方程得：(5)先求齐次方程的解2mx m x mgsin( t)x2x 0 ttx c1ec?e特解为故式的通解为xc1etc2etg-2sin(t)在t0时:ac1c2(xv0Gc22联立得V0Vo将cc0代回式可得方程的解为:cl,c2_g_et42e”sin(t)解如题5.9.1图.zz,x第5.9题图(1)按题意为保守力系，质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为2.(2)选广义坐标q1r,q2(3)在柱坐标系中:zrcot2.2rcot以Oxy面为零势能面，则:Vmgrcot拉氏函数LTV;mr2r22r2cot2-mgrcot(4

40、)因为L不显含,所以为循环坐标，即dtmr2常数对另一广义坐标2.mrmgcotrL.2mrmrcotr代入保守系拉氏方程dtrr,22mr cot mr mg cot 02 . 2.n Umr sin mgsin cos 0有mr覆行mrr2 A2 _ 2r r sin（A为常数）g sin cos 0y1x1x2tan所以12-mi xi22xi X2 tan12一 ml2X22解如题5.10.1图.(1)体系自由度数为2.(2)选广义坐标qiXi,q2(3)质点的速度2Vi2Xi劈的速度故体系动能以x面为零势面，体系势能:其中C2为劈势能.拉氏函数-miXi2XiX2(4)代入拉格郎日方

41、程miXiX2.2yi,2V22X2T22Xi2yim2Xmig(Xix2)tanC2tan2二ml2X22m1gxiax2tanC2XiLmiXiXim1gtanmiXiX22.2tanddtXiXi,2,2tanmiX2tanmigtan00X2X2m1x1migtanX2tanm2x2V C 2mgr代入拉格郎日方程得一,一 2m1x1 tan一,一2m2x2 tanm2X2mgtan 0 联立，得m2gsincosx12-m2m1sinm1gsincosx22m2m1sin解如题5.11.1图(1)本系统内虽有摩擦力,但不做功，故仍是保守系中有约束的平面平行运动,自由度s1.(2)选取

42、广义坐标1 2Mvc 21Ic 2 1mvB 22(3)根据刚体力学322_22-Mr2mr4其中绕质心转动惯量-Mr2,vC r2, VB2vc选Ox为零势面，体系势能:其中C为常数.拉氏函数32222LTV-Mr2mr2mgrCL2mgr,3 2-Mr224mr代入保守系拉氏方程ddt32,2Mr 4mr 2mgr 04mg3M 8m r解如题5.12.1图.aia24mg3M 8m8mg3M 8mmg T ma23MmgT mg ma2 3M 8mA题5.12.1图(1)棒作平面运动，一个约束，故自由度(2)选广义坐标q1 xg .s 2.(3)力学体系的动能T ImvC lie22根据

43、运动合成又Vcx a cos i a sin j故 222 2Vc x a 2 ax cos设k为绕质心的回转半径，代入得动能1212 21 2 2T mx ma max cos mk222(4)rBx 2asin i 2acos j由2W qFj.50 i 1(其中 Fc mgj, Fb Fi)则W F x 2a cos mgasinF x 2aF cos mgasin因为X、在约束条件下任意且独立，要使上式成立，必须:xQ1F,Q22aFcosmgasin(5)0, xm x a cosTx代入一般形式的拉氏方程得：2-i-(6mxacosasinFTmaxsinT2, 2m a ax c

44、os mk代入一般形式的拉氏方程得:2 2m ax cos a kCL.(72Fa cos mgasin JF mga2FaICmk1222a、两式为运动微分方程(6)若摆动角很小，则，代入式得：sin8s1,代入式得:2xaa2.2axakk2代入式得:Fxam42Fx-ag一3m(因为角很小，故可略去力2项)a解如题5.13.1图*y题5.13.1图(1)由于曲柄长度固定，自由度s1选广义坐标q,受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程:ddt(3)系统动能I1m2v1 m161一 m16(4)由定义式1m223一 m241 12一 一 m2r2 2Firi(5)0,1-mi33-

45、m22代入得:d dt1-mi 33-m222M3m2 R r2 12m19m2.解如题5.14.1图.题5.14.1图(1)因体系作平面平行运动，一个约束方程:体系自由度ss2，选广义坐标q,q2.虽有摩擦，但不做功，为保守体系(3)体系动能:P轮平动动能P轮质心转动动能S轮质心动能S轮绕质心转动动能2IPiIS21-macosa3M41-ma422sin以地面为零势面,体系势能mga则保守系的拉氏函数3M42(1)因为L不显含故2.2sinmgabcosL32-Ma12一ma1-ma2bcosMgabcos2.2sinMga1mab2cos为循环坐标.1maabmaabcos2ma=常数2

46、22开始时:0则32321Mama-maabmaabcos0222代入cab得2mccosmcaMm又t0时，0所以2mcsinmca3Mm2mcsinmcxcsinacsin3Mmm3Mmsinc3Mmyccos解如题5.15.1图题5.15.1图(1)本系统作平面平行运动，干限制在球壳内运动，自由度s2；选广义坐标qix,q2,体系摩擦力不做功，为保守力系，故可用保守系拉氏方程证明d_ldtq(2)体系动能=球壳质心动能+球壳转动动能+杆质心动能+杆绕中心转动动能Tz”21.2121.2（2TCMx111mv122222其中112Ma2,12-ml2-masin333v x a cos c

47、osi a cos sin j,球代入得T - 5M m x2 1ma2 2 cos2 2 321. 2-sin3amx cos cos以地面为零势面，则势能:Vmgacos cos C1 （其中 C1 为常数）15212 22LTV M m x ma cos2 32【sinamx cos cos(3)因为x是循环坐标，故mgacos cos C1L 52-M m x ma cos cos x 3而常熟Lmax cos sin mga cos sinL 221 . 2一 ma cos - sin max cos cos3代入式得21.2.ma cos -sin mxcos cos mg cos

48、 sin 0骷联立、可得(先由式两边求导，再与式联立)2. 2-25M 3m 3cossina 9am cos5M 3m 3g cos sin 0试乘2并积分得：dcos 一 dtcos225M 3m 3cos sin222cos cos a6g5M3mcoscos常数又由于当0,则故常数 6g 5M25M 3m 3cos3 m cos cos,22sin 9mcos22cos a6g5M3mcoscoscos解如题图5.16.1.(D由已知条件可得系统自由度(2)(3)取广义坐标q.根据刚体力学，体系动能:题5.16.1图1一mv2Vc2 2 mr5将以上各式代入式得:1 2一 mr5mR1

49、0设原点O为零势能点，所以体系势能VmgRrcos体系的拉氏函数722LTVmRr10(1)因为体系只有重力势能做工，因而为保守系,mg R r cos 故可采用mg R r sinmg R r9，0dtqq因为微震动，很小，所以sin代入式得-m R r 5mg R r 0(5)解方程得Acos.7Rgrt0周期2.7Rgr解如题5.17.1图M题5.17.1图(1)由题设知系统动能V211111cos1122cos2i111sin1122sin12M1V1212M2v221-M112111cos12122cos2-M2122111sinl222sin22M1M2111m21；2M11121

50、2cos1取X轴为势能零点，系统势能VM1g11cos1M2g11cos112cos2拉氏函数LTVMiglicos12M1M21121M2g11cos112M212212cos222M2111212cos(2)体系只有重力做功，为保守系，故可采用保守系拉氏方程M2111212sinM1Mgl1sin代入拉氏方程M1M2M21/21代入上式得M1I122sinM1cosM21122l1l2M22l1l22cos1ddt2cosM11M2M211122sing11sin10mJ1,sinl21,120,1因为是微震动2m1221 m122mg1 102ll22gl同理Mzl；M2l1121cos

51、代入_ldt22M2l2M1代入上式得代入式得:M2l1l22sin1M2gl2sin2M2l1l21cos12M2l1l21sinM2“212sin2M2gLsin20M2mJ1l2l,0,sin2,cos121Ae20A?et欲使a,A2有非零解，则须有解得周期AAl2l2A22g,l2l2l24gl.4gl28g2l22l21222lg22g2.2解如题5.18.1图题5.18.1图(D系统自由度s(2)取广义坐标q1x,q21,q32;广义速度qx1,q21,q3(3)因为是微震动,cos1cos1,sin11,sin22,体系动能:1021T-2mxmx22Ox为势能零点，体系势能2mglcosmglcos2拉氏函数LTV2mx22mglcos1mglcos2(4)2mxxddt4mx2mlml2同理4x2l2mglsin1mmlxl1mlxl11ml x l 1ml x l 1 l 22mgl sin 102x2l1l22g1同理