高中数学必修4教案

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1、精品文档1.1 1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念( 包括正角、负角、零角)与区间角的概念.（二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角, 能判断象限角 , 会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写（三）情感与态度目标1 提高学生的推理能力；2培养学生应用意识教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写教学过程一、引入：1回顾角的定义角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 . 角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形二、新课：1角的有关概念：角的定义：角可以

2、看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形角的名称：始边B终边角的分类：OA顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角注意：在不引起混淆的情况下，“角”或“”可以简化成“”；零角的终边与始边重合，如果是零角=0 ；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角练习：请说出角、各是多少度?2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边( 端点除外) 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角例 1如图中的角分别属于第几象限角？yyB145xo3060OxOB2B3 例 2在直角坐标系中，作

3、出下列各角，并指出它们是第几象限的角60；120； 240； 300 ； 420 ； 480 ；.精品文档答：分别为1、2、 3、 4、 1、 2 象限角3探究：教材P3 面终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S | = +k 360 ，k Z ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和注意： k Z 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍； 角 + k 720 与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角例 3在 0到 360范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角 1

4、20； 640 ； 950 12答： 240 , 第三象限角； 280 , 第四象限角； 12948 , 第二象限角；例 4写出终边在 y 轴上的角的集合 ( 用 0到 360的角表示 ) 解 : | = 90 + n 180 ,n Z 例 5写出终边在 y x 上的角的集合 S, 并把 S 中适合不等式 360 720的元素写出来4课堂小结角的定义；角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角象限角；终边相同的角的表示法5课后作业：阅读教材P2-P 5；教材 P5 练习第 1-5 题；教材 P.9 习题 1.1 第 1、 2、3 题思考

5、题：已知角是第三象限角，则2，各是第几象限角？2解：角属于第三象限，k 360 +180 k 360 +270 (k Z)因此， 2k360 +360 2 2k 360 +540 (k Z) 即(2k +1)360 2 (2k +1)360 +180 (k Z)故 2是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角又 k 180 +90 k 180 +135 (k Z) 2当 k 为偶数时，令k=2n(n Z) ，则 n360 +90 n 360 +135 (n Z) ，2此时，属于第二象限角2当 k 为奇数时，令k=2n+1 (n Z) ，则 n 360+270 n 360 +315 (n Z)

6、 ，2此时，属于第四象限角2.精品文档因此属于第二或第四象限角2弧度制（一）教学目标（四）知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集 R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数（五）过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算， 能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题（六）情感与态度目标通过新的度量角的单位制 ( 弧度制 ) 的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、 扇形面积公式的对比， 让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美教学重点弧度的概念弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明教学难点“角度制”与“弧度制”的

7、区别与联系教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的1作为 1 度的角 , 用度做单位来度量角的制度叫做角度制360二、新课：1引入：由角度制的定义我们知道, 角度是用来度量角的,角度制的度量是60 进制的 , 运用起来不太方便 . 在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度弧度制，它是如何定义呢？2定义我们规定 , 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1弧度记做1rad 在实际运算中，常常将rad 单位省略3思考：（ 1）一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小

8、有关吗？（ 2）引导学生完成 P6 的探究并归纳：弧度制的性质：半圆所对的圆心角为r;整圆所对的圆心角为2 r2 .rr正角的弧度数是一个正数负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零角的弧度数的绝对值 | |=l .r4角度与弧度之间的转换：将角度化为弧度：360 2 ； 180； 10.01745rad ； nnrad 180180将弧度化为角度：.精品文档；=180盎?180n2p = 360?p = 180?1rad()57.3057 18n = ()?5常规写法：pp用弧度数表示角时, 常常把弧度数写成多少的形式 ,不必写成小数弧度与角度不能混用6特殊角的弧度角0304560901201

9、35150180270360度弧2353203度64324627弧长公式la =?lr ?ar弧长等于弧所对应的圆心角( 的弧度数 ) 的绝对值与半径的积例 1把 67 30化成弧度例 2把3rad 化成度5例 3计算：(1) sin； ( 2) tan1.5 4例 4将下列各角化成0 到 2的角加上 2k（ k Z）的形式：(1)19； (2)3153例 5将下列各角化成2k + (k Z,0 2 ) 的形式 , 并确定其所在的象限(1) 19； (2)3136Rl解: (1)1927,而 73619pO是第三象限的角 ,是第三象限角 .63(2)Q -31p = - 6p + 5p , -

10、 31p是第二象限角 .6661 lR ,例 6. 利用弧度制证明扇形面积公式 S其中 l 是扇形弧长 ,R是圆的半径 .2证法一 : 圆的面积为R 2, 圆心角为 1rad 的扇形面积为1R2 , 又扇形弧长为 l, 半径为R,2扇形的圆心角大小为lrad,扇形面积 Sl1 R21 lR RR22R 2证法二 : 设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为Sn，又此时弧长360ln R ， S1 n R R1 l R 18021802可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化， 而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多.精品文档扇形面积公式 : S1lR1R 2227课堂小结什么叫1

11、弧度角 ? 任意角的弧度的定义“角度制”与“弧度制”的联系与区别8课后作业：阅读教材P6 P8；教材 P9 练习第 1、 2、 3、 6 题；教材 P10 面 7、 8 题及 B2、3 题任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标： 1. 复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2. 利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3. 利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：正弦、余弦、正切线的概念

12、。教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。教学过程：一、复习引入：1. 三角函数的定义2. 诱导公式sin(2k)sin( kZ)cos(2k)cos ( kZ)tan(2k)tan(kZ)练习 1.tan600o 的值是 _ . DA .3B.3C.3 D .333练习 2.若 sin cos 0, 则在 _. BA . 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第一、四象限D. 第二、四象限练习 3.若 cos0，且 sin20则 的终边在 _ CA . 第一象限B. 第三象限C. 第四象限D. 第二象限二、讲解新课：当角的终边上一点 P( x, y) 的坐标满足x2y21 时，有三角函数正弦、余弦

13、、正切值的几何表示三角函数线。1有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。.精品文档有向线段：带有方向的线段。2三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点 O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P ( x, y) ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延yyT长线交与点 T .PPMAoMAoxxTy （）y（）TMAoM AxoxPPT（）（）由四个图看出：当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段OMx, MPy ，于是有yyMP ， cosxxxOM

14、， tanyMPATsinyr1xOMATr1OA我们就分别称有向线段MP ,OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。说明：x 轴的垂直线段；余弦线（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到在 x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或 y 轴同向的为正值，与x 轴或 y 轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

15、4例题分析：例 1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）；（2）3解：图略。5；（ 3）2（ 4）136；36例 2.若 0，证明 sincos1.2.精品文档例3.比较大小：(1)sin2与 sin4(2) cos2与 cos43535(3)tan 2与 tan 435例4.在0，2上满足 sin x1 的x的取值范围是 ()2A. 0,B.5C.25，6，D.66636例 5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围(1) sin x1(2) cos x1;.22答案：（ 1） 72kx112k , k Z ；（ 2）2k666三、巩固与练习：P17 面练习四、小结：本节课学习了以

16、下内容：1三角函数线的定义；2 会画任意角的三角函数线；3利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。五、课后作业：作业 4参考资料例 1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：x 2k ,k Z ；61sin 2 与 sin 42 tan 2与 tan 43535解： 如图可知：sin 2sin 4tan2tan43535例 2利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角1 sin 12tan323解： 1y2yP2P1oxo21030 TAx.精品文档30 1503090 或 210270补充： 1利用余弦线比较cos64o ,cos 285o 的大小；2若，则比较 sin、 cos、 tan

17、的大小；423分别根据下列条件，写出角的取值范围：（ 1） cos3（ 2） tan1 ；（ 3） sin3；22任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标： 1. 掌握任意角的三角函数的定义；2. 已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；3. 记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一） 。能力目标：（ 1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（ 2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（ 3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。德育目标：（ 1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系

18、方式；（ 2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点： 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。教学难点： 利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、 正切函数值分别用他们的集合形式表示出来 .教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在 Rt ABC中，设 A 对边为 a， B 对边为 b， C 对边为 c，锐角 A 的正弦、余弦、正切依次为 sinAa , cosAb , tanAaccb角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角

19、函数重新定义。二、讲解新课：1三角函数定义P（除了原点） 的坐标为 ( x, y) ，在直角坐标系中， 设是一个任意角， 终边上任意一点它与原点的距离为 r (r| x |2| y |2x2y20) ，那么（ 1）比值 y 叫做的正弦，记作sin，即 siny ；rr（ 2）比值 x 叫做的余弦，记作cos，即 cosx ；rr.精品文档（ 3）比值y 叫做的正切，记作 tan ，即 tany ；xx（ 4）比值x 叫做的余切，记作 cot ，即 cotx ；yy说明： 的始边与x 轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；根据相似三角形的

20、知识，对于确定的角，四个比值不以点P(x, y) 在的终边上的位置的改变而改变大小；当k(kZ ) 时，的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等2于 0 ，所以 tanyk (kZ )x无意义；同理当时， cotxy除以上两种情况外，对于确定的值，比值y 、 x 、 y 、 xrr x y无意义；分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。2三角函数的定义域、值域注意：函数定义域值域ysinR1,1ycosR1,1ytan |k, k ZR2(1) 在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点， 始边都与x 轴的非负半轴

21、重合.(2) 是任意角，射线OP是角 的终边，的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关 .(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin ”与“”的积. 其余五个符号也是这样.(4) 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角） 三角形的性质，“ r ”同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的, 它也适合锐角三角函数的定义. 实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和

22、研究过程 .(5) 为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限， 使一锐角顶点与原点重合， 一直角边与 x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆 .3例题分析例 1求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）（1）0；（2） ；（3） 30 时， x2解：（ 1）因为当r ， y0 ，所以sin0 0 ，cos01 ，tan0 0 ，cot0 不存在。（ 2）因为当时， xr ， y0，所以.精品文档sin0 ，cos1，tan0 ，cot 不存在，（ 3）因为当3， yr ，所以时， x 02sin 31，c

23、os 30 ，tan 3不存在，cot 30 ，2222例 2已知角的终边经过点P(2, 3)，求的四个函数值。解：因为 x2, y3 ，所以 r22(3)213 ，于是siny33 13cosx22 13r13；r13；1313tany3；cotx2x2y3(a,2 a)(a0)例 3已知角的终边过点，求的四个三角函数值。解：因为过点 ( a,2 a)(a0) ，所以 r5 | a | ，xa, y2a当a0时，siny2a2a25cosxa5a；r5 | a |5a5r5a5tan2;cot1 ；5;csc52;sec2y2a2a2 5 ；当a时，0sinr5 | a |5a5cosxa5

24、a ；tan2;cot1 ;sec5;csc5r5a5224三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值 y 对于第一、 二象限为正 （ y0, r0），对于第三、 四象限为负 （ y0, r0）；r余弦值 x 对于第一、 四象限为正 （ x0, r0），对于第二、 三象限为负 （ x0, r0）；r正切值 y 对于第一、三象限为正（x, y 同号），对于第二、四象限为负（x, y 异号）x说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。练习：确定下列三角函数值的符号：（1） cos 250o ；（ 2） sin() ；（ 3） tan( 672o ) ；

25、（ 4） tan11 例 4求证：若 sin0且 tan043，则角是第三象限角，反之也成立。5诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：sin(2k)sin，cos(2k)cos，其中 kZ tan(2k)tan，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0 2 间角的三角函数值问题例 5求下列三角函数的值： （1） cos 9 ，（ 2） tan( 11 ) ，46.精品文档cosxtan x的值域例 6求函数 ytan xcosx解： 定义域： cosx 0 x 的终边不在 x 轴上又 tanx 0 x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时，x0,

26、y 0 cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 ,x0, y0|cosx|=cosx |tanx|=tanx y= 2 ,x0, y0|cosx|=cosx |tanx|=tanxy=0x0, y0四、小结：本节课学习了以下内容：1任意角的三角函数的定义； 2三角函数的定义域、值域； 3三角函数的符号及诱导公式。五、巩固与练习1、教材 P15 面练习；2、作业 P20 面习题 1 A 组第 1、2、3（ 1）（ 2）（ 3）题及 P21 面第 9 题的（ 1）、（ 3）题。同角三角函数的基本关系教学目的：知识目标： 1. 能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之

27、间的联系；2. 熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用教学过程：一、复习引入：1任意角的三角函数定义：P( x, y) ，它与原点的距离为设角 是一个任意角，终边上任意一点r ( r| x |2| y |2x2y20) ，那么： siny， cosx ， tany ，rrx2当角分别在不同的象限时，sin、 cos、 tg的符号分别是怎样的？3背景：如果 sin A3A 的其它三

28、角函数值；，A 为第一象限的角，如何求角54问题：由于的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角的三个三角函数之间有什么关系？二、讲解新课：（一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：.精品文档（ 1）商数关系： tansin（ 2）平方关系： sin 2con21con说明：注意“同角” ，至于角的形式无关重要，如sin2 4cos2 41等；注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tancot1(k, kZ ) ；2对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos1 sin2， sin

29、 21cos2，cossin等。tan2例题分析：一、求值问题12，并且是第二象限角，求cos, tan ,cot例 1（ 1）已知 sin13（2）已知 cos4, tan，求 sin51 (12)2(5)2解：（ 1） sin 2cos21 ， cos21sin 251313又是第二象限角， cos0，即有 cos，从而13sin1215tancotcos5 ，tan12（2） sin 2cos21 ， sin21cos21(4)2(3)2 ，455又 cos在第二或三象限角。0 ，5当在第二象限时，即有当在第四象限时，即有总结：sin0 ，从而 sin3sin3， tancos；54si

30、n0 ，从而 sin3sin3， tancos541. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。2. 解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。例 已知tan为非零实数，用tan表示 sin,cos 2解： sin2cos21， tansin，cos1 (costan )2cos2cos2(1tan2) 1 ，即有 cos2，又 tan1tan2为非零实数，为象限角。当 在第一、四象限时，即有cos11tan20

31、 ，从而 cos1tan2，1 tan2.精品文档sintancostan1 tan2；1tan2当在第二、三象限时，即有cos0 ，从而 cos11tan2，1tan21tan2sintancostan1 tan21tan2，求 sin4 cos例 3、已知 sin2 cos 2 sin22sincoscos25 sin2 cos解： sin2 costan2sin4 costan4215sin2 cos5tan2126强调（指出）技巧： 1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以cos ,将分子、分母转化为 tan的代数式；2 “化

32、 1法”可利用平方关系sin 2cos21，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为 tan的分式求值；小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（ 1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（ 2）尽量使分母不含三角函数式；（ 3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，二、化简练习 1化简1sin 2 440o 解：原式1sin 2 (360o 80o)1sin2 80o2oocos 80cos80练习 2 化简1cos1cos(3 )1cos1cos2三、证明恒等式例 4求证：cos x1sin

33、x 1sin xcos x证法一：由题义知cosx0，所以 1sin x0,1sin x0 cos x(1sin x)cos x(1 sin x) 1sin x左边 =sin x)cos2 xcos x右边(1 sin x)(1原式成立证法二：由题义知cosx0，所以1sin x0,1sin x0 又 (1 sin x)(1sin x)1 sin2xcos2x cos x cos x ， cosx1sin x 1 sin xcosx证法三：由题义知cosx0，所以1sin x0,1sin x0 .精品文档cos x1 sin xcos x cos x(1 sin x)(1 sin x)cos2

34、 x 1 sin 2 x，1 sin xcos x(1sin x)cos x0(1 sin x)cos x cos x1 sin x 1 sin xcos x总结： 证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（ 1）从一边开始，证明它等于另一边；（ 2）证明左右两边同等于同一个式子；（ 3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。四、小结：本节课学习了以下内容：1同角三角函数基本关系式及成立的条件；2根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；五、课后作业： 习案作业第五 课时参考资料化简1 2sin 40o cos40o解：原式sin2 40ocos2 40o2sin 40o cos40o(sin 40ocos40o )2| cos40osin 40o |cos40osin 40o 思考 1已知 sincos1(0) ，求 tan及 sin 3cos3的值。5解： 1 由 sincos12 ,0,得： cos0(, )252由 (sincos) 249 ,得： sincos7联立：255sincos1sin4455tansincos7cos33552sin 3cos3(4)3(3) 39