D102二重积分的计算12853

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1、第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第十章 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则机动 目

2、录 上页 下页 返回 结束 oxy说明说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分顺序选择积分顺序, 必要时还可以交换积分交换积分顺序顺序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy211xy o221d y例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. x解法解法1. 将

3、D看作X型区域, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 机动 目录 上

4、页 下页 返回 结束 例例3. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:

5、D视为Y型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极

6、坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkr机动 目录 上页 下页 返回 结束 kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d特别

7、特别, 对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2reddrr

8、20d由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上, 当D 为 R2 时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例6的结果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323ao

9、xyza2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf极坐标系情

10、形极坐标系情形: 若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxf

11、xd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 交换积分顺序ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf机动 目录 上页 下页 返回 结束 axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax3. 给定改变积分)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf2

12、22d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 的次序.3261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx4. 计算其中D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直线, 03yx解：解：平面闭区域.03 xysin2 roxy2436d机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 计算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002机动 目录 上页 下页 返回 结束