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1、专题一：推理与证明知识结构1 1 归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）. .简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：?通过观察个别情况发现某些相同的性质；?从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；?证明（视题目要求，可有可无）2 2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理的一般步骤：?找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；?用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
2、?检验猜想。3 3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、 类比，然后提出猜想的推理 归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理4 4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理 演绎推理的一般模式 “三段论”.，包括大前提 已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断.用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P, ,S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.P.0)从推理所得的结论来看，合f
3、_提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确5 5、直接证明与间接证明综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推 导出所要证明的结论成立. .框图表示：r莎 仏我要点：顺推证法；由因导果分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止Qi一湖-阿Y 框图表示：要点：逆推证法；执果索因反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错 误，从而证明了原命题成立 的证明方法它是一种间接的证明方法反证法法证明一个命题的一般步骤：（1 1）
4、（反设）假设命题的结论不成立；（推理）根据假设进行推理，直到导出矛盾为止；（归谬）断言假设不成立；（结论）肯定原命题的结论成立 6 6、数学归纳法数学归纳法是 证明关于正整数n的命题的一种方法用数学归纳法证明命题的步骤 ；（1 1）（归纳奠基）证明当n取第一个值no（n0N*）时命题成立；2 2）（归纳递推）假设n k（k n,k N*）时命题成立，推证当n k 1时命题也成 立只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等 . .专题二：数系的扩充与复数1 1、复数的
5、概念虚数单位i；复数的代数形式z a bi （a,b R）；复数的实部、虚部，虚数与纯虚数2 2、复数的分类复数z a bi a,b R纯虚数（a 0,b0）非纯虚数（a 0,b 0）3 3、相关公式a bi c di a b,且c d实数（b虚数（ba bi 0 a b 0z a biva2b2z a biz,z指两复数实部相同，虚部互为相反数(互为共轭复数)4 4、复数运算复数加减法：a bic dia c b d i；复数的乘法：a bic diac bd bc ad复数的除法：a bia bic dic di c di c diac bdbc ad iacbdbcad2cd22cd22
6、cd2(类似于无理数除法的分母有理化 虚数除法的分母实数化)5 5、常见的运算规律z |z|；(2)Z z 2a, z z 2bi;2222z z z z a2b2;(4)zz;(5) z z z Ri4n14n 24n 34n 4i,i1,ii,i1;2.1 i.1 i2.1 i1 ii；(8)1ii,1 i2i(9)设13i是 1 1 的立方虚根，则12o,3n13n 23n 3, , 126 6、复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴. .复数z a bi一一对应复平面内的点Z(a,b)复数z a bi一一对应平面向量0Z专题三：排
7、歹 U U 组合与二项式定理1 1、基本计数原理分类加法计数原理：( (分类相加) )做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m,种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事情共有N m,m2mn种不同的方法分步乘法计数原理：（分步相乘）做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法 做第n个步骤有mn种不同的方法. .那么完成这件事情共有N mim2mn种不同的方法. .2 2、排列与组合排列定义：一般地，从n个不同的元素中任取m m n个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中任
8、取m个元素的一个排列. .组合定义：一般地，从n个不同的元素中任取m m n个元素并成一组，叫做从n个不 同的元素中任取m个元素的一个组合. .排列数：从n个不同的元素中任取mm n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数，记作Am. .组合数：从n个不同的元素中任取mm n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的组合数，记作cm. .排列数公式：Amnn1n2 nmiAmAnn!，规定0! 1. .组合数公式：cmCnn m，规定CO1. .排列与组合的区别： 排列有顺序，组合无顺序. .排列与组合的联系：AmcmAm，即排列就是先组合再全排列c
9、mn n inm!n!m! n m !AmmnCnAmmn (n 1) L (n m 1)m (m 1) L 2 1m! nn !（m n）排列与组合的两个性质性质m !排列Afm1AmmAm1；组合Cnm1cmcnm1. .解排列组合问题的方法1特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）2间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）3相邻问题捆绑法 （把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通 元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上
10、全排列）4不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）5有序问题组合法6选取问题先选后排法7至多至少问题间接法8相同元素分组可采用隔板法 9分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n n 组问题别忘除以 n n! 3 3、二项式定理二项展开公式：a bnC0anC；an 1b C紂2b2L C；anbL C；bnn N二项展开式的通项公式：Tr 1C；anrbrO r n,r N,n N主要用途是求指定的 项项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两
11、个项的系数都为1 1 时，系数就是二项式系数如rr n r r在（ax b）n的展开式中，第r 1项的二项式系数为Cn，第r 1项的系数为6a b；1而（x -）n的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定x为正若令x 1，则有n n 0 1 22 CnCnCn二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和即二项式系数的性质：（1 1） 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C Cr rmCnCnm；（2 2） 增减性与最大值：当r -1时，二项式系数 c cn的值逐渐增大，当r -1时,c,cn2 2的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n n 为偶数时，
12、中间一项（第 -+1 1 项）的二项式系2n 1 n 1数 CfCf 取得最大值当 n n 为奇数时，中间两项（第和 + 1 1 项）的二项式系数2 2n 1n 1CnCn相等并同时取最大值xn的展开式：1CxnC：xn 1Cn2xn 2C：x，COCnC3系数最大项的求法设第r项的系数Ar最大，由不等式组 可确定r. .赋值法若(ax b)n则设f (x) (ax b)n.有:aof (0);aoaia2. anf (1);1 1、基本概念 互斥事件：不可能同时发生的两个事件 如果事件A、B、C，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A B、C彼此互斥当A、B是互斥事件时，那么事件A B发生(即
13、A、B中有一个发生)的概率，等于 事件A、B分别发生的概率的和，即P(A B) P(A) P(B). .对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件. .事件A的对立事件通常记着A. .对立事件的概率和等于 1.1.P(A) 1 P(A). .特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件， 而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的n0nX ,aoaia2a3. ( 1)$f( 1)；a0a2a4a6a1a3a5a?f(1) f( 1)；2；f(1) f
14、( 1)2 .专题四：随机变量及其分布知识结构*厲伏塁催视变*正态舟芾条件相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，( 即 其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响). .这样的两个事件叫做相互独立事件当A、B是相互独立事件时，那么事件A B发生(即A B同时发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的积即P(A B) P(A) P(B). .若 A A、B B 两事件相互独立，则 A A 与B、A与 B B、A与B也都是相互独立的独立重复试验1一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验2独立重复试验的概率公式如果在 1 1 次试验中某事件
15、发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率Pn(k) C：pk(1 p)nkk 0,1,2丄n.条件概率：对任意事件 A A 和事件 B B，在已知事件 A A 发生的条件下事件 B B 发生的概率，叫 做条件概率记作P(B|A)P(B|A)，读作 A A 发生的条件下 B B 发生的概率公式：P(B A)P(AB),P(A)0,P(A)2 2、离散型随机变量随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量*随机变量常用字母X,Y,等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量连续型随
16、机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出， 而连续性随机变量的结果不可以-列出若X是随机变量，Y aX b(a,b是常数)则Y也是随机变量”并且不改变其属性(离 散型、连续型)3 3、离散型随机变量的分布列概率分布(分布歹U)设离散型随机变量X可能取的不同值为x,，x2，xi，xn,X的每一个值 人(i 1,2, ,n)的概率P(X Xi) pi，则称表XX1X2XiXnPP1P2Pipn为随机变量
17、X的概率分布，简称X的分布列. .n性质：pj0, i 1,2,. n；Pi1.i 1二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p p，那么在 n n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k k 次的概率是P(X k) C；pk(1 p)nk.其中k 0,1,2,., n, q 1 p，于是得到随机变量X的概率分布如下:X0 01 1k kn nP小0OnCnp q11 n 1Cnp qkk n kCnP qnn0Cnp q我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作XB n, p，并称 p p 为成功概率判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：1对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；
18、2重复性：即试验是独立重复地进行了n次；3等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等. .注：二项分布的模型是有放回抽样；二项分布中的参数是p, k ,n.超几何分布般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件, ,其中恰有X件次品数，则事件的概率分布如下:我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列，且称随机变量X服从超几何分布 注：超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布中的参数是M ,N, n.其意义分别是k发生的概率为P(Xk)CMCCN(k 0,1,2,L ,m), ,于是得到随机变量X其中m min M , n, ,nN,M0,0, 0 0w v2极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系
19、中， 点与坐标是-对应的， 而极坐标系中，点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的._3 3、极坐标与直角坐标的互化的直角坐标是（x, y），极坐标是（，），从图中可以得出：2asin2asin+2k) )的取值或 00,x cos ,2 2 2x yytansin-(xx0).aaa P2a cos( )4 4、简单曲线的极坐标方程圆的极坐标方程1以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2以（a,0） （a 0）为圆心，a；(如图 1 1)0 0 x cosy si（直极互化图）tan夕(x 0)xa为半径的圆的极坐标方程是2acos；(如图 2 2)以(a,2)(a0)为圆心,a为
20、半径的圆的极坐标方程是2asin；(如图 4 4)直线的极坐标方程过极点的直线的极坐标方程是(0)和(0). .(如图 1 1)过点A(a,0)(a 0)，且垂直于极轴的直线I I 的极坐标方程是cos a. .化为直角坐标方程为x a. .(如图 2 2)过点A(a,)且平行于极轴的直线 I I 的极坐标方程是sin2y a. .(如图 4 4)5 5、参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标a. .化为直角坐标方程为f(t),g(t),并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点x, y都是某个变数t的函数M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方
21、程，联系变数x,y相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做7 7、常见曲线的参数方程(1)圆(x a)2(y b)2r2的参数方程为(2 2) 椭圆2x2a2y b21(ab 0)的参数方程为22椭圆y2x21(abx0)的参数方程为aby的变数t叫做参变数，简称参数。普通方程。x a r cos(为参数)；y b r sinx a cos(为参数)；y bsi nbcos.(为参数)；1(a b 0)的参数方程x asecy bta n(为参数)；2 2双曲线話話1(ab 0)的参数方程x bcot(为参数)；y acsc(4)抛物线y22px参数方程2pt22pt(t为参数,1tan2x(3)双曲线冷aa为半径的圆的极坐标方程是2acos；(如图 2 2)参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数数). .8 8、参数方程与普通方程之间的互化数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使X, y的取值范围保持一致参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解 变形，则一定要通过x f (t), y g(t)。根据 t t 的取值范围导出x, y的取值范围(6)过定点P(x。，y。)、倾斜角为(-)的直线的参数方程x x0tcos y yotsin(t为参
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