数据模型与决策--层次分析法

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1、数据、模型与决策数据、模型与决策第八讲第八讲 层次分析法层次分析法主讲：邓旭东教授主讲：邓旭东教授教学内容教学内容概述1层次分析法的基本原理2层次分析法的基本步骤3层次分析法的计算4层次分析法应用实例5学习目标学习目标 掌握层次分析法的基本思路掌握层次分析法的基本思路 掌握层次分析法的基本原理掌握层次分析法的基本原理 掌握层次分析法的基本步骤掌握层次分析法的基本步骤 掌握求解正互反矩阵最大特征值及相应特征向掌握求解正互反矩阵最大特征值及相应特征向量的常用方法：幂法、方根法、和积法量的常用方法：幂法、方根法、和积法 掌握判断矩阵的一致性检验步骤并能熟练运用掌握判断矩阵的一致性检验步骤并能熟练运用

2、 能联系实际，建立系统递阶层次结构模型并构能联系实际，建立系统递阶层次结构模型并构建两两比较判断矩阵，解决一些评估类的问题建两两比较判断矩阵，解决一些评估类的问题一、概述一、概述 层次分析法（层次分析法（analytic hierarchy Processanalytic hierarchy Process，AHPAHP）是著名运筹学家、美国匹兹堡大学教授）是著名运筹学家、美国匹兹堡大学教授T. L. T. L. SaatySaaty于于2020世纪世纪7070年代提出的一种系统分析方法，年代提出的一种系统分析方法，是一种实用的多准则决策方法。其主要特征是，它是一种实用的多准则决策方法。其主要

3、特征是，它合理地把定性与定量的决策结合起来，按照思维、合理地把定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。心理的规律把决策过程层次化、数量化。 层次分析法的基本思路是把复杂问题分解成若层次分析法的基本思路是把复杂问题分解成若干因素，把这些因素按照支配关系分组形成有序的干因素，把这些因素按照支配关系分组形成有序的递阶层次结构，并权衡其各个方面的影响，然后综递阶层次结构，并权衡其各个方面的影响，然后综合人的判断，以决定诸因素相对重要性的先后次序合人的判断，以决定诸因素相对重要性的先后次序。一、概述一、概述 在管理中，人们常常需要对一些情况作出决策：例如企在管理中，人们常

4、常需要对一些情况作出决策：例如企业的决策者要决定购置哪种设备，上马什么产品；经理要从业的决策者要决定购置哪种设备，上马什么产品；经理要从若干求职者中决定录用哪些人员；地区、部门官员要对人口若干求职者中决定录用哪些人员；地区、部门官员要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。 在日常生活中也常会遇到，在多种类不同特征的商品中在日常生活中也常会遇到，在多种类不同特征的商品中选购。报考学校选择志愿。毕业时选择工作岗位等。选购。报考学校选择志愿。毕业时选择工作岗位等。 这一系列的问题，单纯靠构造一个数学模型来求解的方这一系列的问题，单纯靠构造一个数

5、学模型来求解的方法往往行不通，而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定法往往行不通，而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定，而最终选择不理想，甚至不满意的决策方案。，而最终选择不理想，甚至不满意的决策方案。 面对这样的问题，运筹学者开始了对人们思维决策过程面对这样的问题，运筹学者开始了对人们思维决策过程进行分析、研究。进行分析、研究。 美国运筹学家，美国运筹学家，T.L.SaatyT.L.Saaty等人在九十年代提出了一种等人在九十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法，称之为层次分析法（能有效处理这类问题的实用方法，称之为层次分析法（AHPAHP法）。法）。二、层次分析法的基本原理二、层次

6、分析法的基本原理 1. 1. 测度原理测度原理 层次分析法的核心是决策模型中因素的测度化。对层次分析法的核心是决策模型中因素的测度化。对于复杂系统的决策模型来说，常常采用相对标度进行比于复杂系统的决策模型来说，常常采用相对标度进行比较，统一对有形与无形的、可定量与不可定量的因素进较，统一对有形与无形的、可定量与不可定量的因素进行测度。行测度。 2. 2. 递阶层次结构原理递阶层次结构原理 一个复杂的结构问题可通过分解为它的组成部分或一个复杂的结构问题可通过分解为它的组成部分或因素来解决，即目标、约束准则、子准则、方案等。每因素来解决，即目标、约束准则、子准则、方案等。每一个因素称为元素。按照属

7、性的不同，把这些元素分组一个因素称为元素。按照属性的不同，把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层次的元素对相邻的下一层形成互不相交的层次，上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下次的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系。具有这种性质的层次称为递阶层次。的逐层支配关系。具有这种性质的层次称为递阶层次。二、层次分析法的基本原理二、层次分析法的基本原理 在建立递阶层次模型时，常常将问题划分为最高层、中在建立递阶层次模型时，常常将问题划分为最高层、中间层和最低层。最高层通常只有一个元素，它是问题的预定间层和最低层。最高层通常只有一个元素，它是

8、问题的预定目标，表示解决问题的目的，因此也是目标层。中间层是为目标，表示解决问题的目的，因此也是目标层。中间层是为实现总目标而采取的措施和方案，它可以由若干个层次组成实现总目标而采取的措施和方案，它可以由若干个层次组成，包括所考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。最低层，包括所考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。最低层是为实现目标可供选择的各种决策方案，用于解决问题的各是为实现目标可供选择的各种决策方案，用于解决问题的各种途径和方法，也称为方案层。种途径和方法，也称为方案层。 3. 3. 排序原理排序原理 层次分析法的排序问题是指一组元素两两比较、计算元层次分析法的排序问题是指一组元素两两比

9、较、计算元素相对重要性的测度问题。由于通过两两因素比较得到的判素相对重要性的测度问题。由于通过两两因素比较得到的判断矩阵不一定满足矩阵的一致性条件，我们希望找到一个数断矩阵不一定满足矩阵的一致性条件，我们希望找到一个数量标准来衡量矩阵不一致的程度。量标准来衡量矩阵不一致的程度。 三、层次分析法的基本步骤三、层次分析法的基本步骤 层次分析法是模仿人们对复杂决策问题的思维、判断层次分析法是模仿人们对复杂决策问题的思维、判断过程进行构造的，其基本步骤如下：过程进行构造的，其基本步骤如下： (1) (1) 建立系统的递阶层次结构模型建立系统的递阶层次结构模型 在深入分析所研究的问题后，将问题中所包含的

10、因素在深入分析所研究的问题后，将问题中所包含的因素划分为不同层次，如目标层、准则层和方案层等，并画出划分为不同层次，如目标层、准则层和方案层等，并画出层次结构图表示层次的递阶结构和相邻两层因素的从属关层次结构图表示层次的递阶结构和相邻两层因素的从属关系。系。 (2) (2) 构造两两比较判断矩阵构造两两比较判断矩阵 判断矩阵元素的值表示人们对各因素关于目标的相对判断矩阵元素的值表示人们对各因素关于目标的相对重要性的认识。在相邻的两个层次中，高层次为目标，低重要性的认识。在相邻的两个层次中，高层次为目标，低层次为因素。层次为因素。三、层次分析法的基本步骤三、层次分析法的基本步骤 (3) (3)

11、层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验 判断矩阵的特征向量经过归一化后即为各因素关于目标判断矩阵的特征向量经过归一化后即为各因素关于目标的相对重要性的排序权值。利用判断矩阵的最大特征根，可的相对重要性的排序权值。利用判断矩阵的最大特征根，可求求CICI和和CRCR值，当值，当CRCR0.10.1时，认为层次单排序的结果有满意的时，认为层次单排序的结果有满意的一致性；否则，需要调整判断矩阵的各元素的取值。一致性；否则，需要调整判断矩阵的各元素的取值。 (4) (4) 层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 从目标层开始，逐层向下由各个元素的相对权重计算出从目标层开始，逐层向下

12、由各个元素的相对权重计算出它们相对于总目标的组合权重，即绝对权重或全局权重。总它们相对于总目标的组合权重，即绝对权重或全局权重。总目标本身的绝对权重为目标本身的绝对权重为1 1，其下面每一层元素的相对权重乘以，其下面每一层元素的相对权重乘以其所针对的上一层准则的绝对权重，既得到该元素的绝对权其所针对的上一层准则的绝对权重，既得到该元素的绝对权重。重。博弈的分类博弈的分类 用用AHPAHP分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3 3类：类： (1) (1) 最高层：在这一

13、层次中只有一个元素，一般是分最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层目标层； (2) (2) 中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为，子准则，因此又称为准则层准则层； (3) (3) 最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为决策、方案等，因此又称为措施层措施层或或方案层方案层。 层次分

14、析结构中各项称为此结构模型中的元素。层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素。1.1.建立层次分析的结构模型建立层次分析的结构模型决策目标准则1方案1准则m1准则2子准则1方案2子准则2方案mr子准则m2第九章第九章 层次分析层次分析1.1.建立层次分析的结构模型建立层次分析的结构模型博弈的分类博弈的分类 注：注：层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称分元素。这种自上而下的支配关系

15、所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。之为递阶层次结构。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。程度有关，一般可不受限制。 为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过一般地不要超过9 9个个，若多于，若多于9 9个时，可将该层次再划分为若干子层。个时，可将该层次再划分为若干子层。 例例1 1 某顾客选购电冰箱时，对市场上正在出售的四种电某顾客选购电冰箱时，对市场上正在出售的四种

16、电冰箱考虑冰箱考虑6 6项准则作为评价依据，得到如下层次分析模型：项准则作为评价依据，得到如下层次分析模型：1.1.建立层次分析的结构模型建立层次分析的结构模型目标层：准则层：方案层：信 誉 T 1A型 式 T 2B价 格 T 3C容 量 T 4D制 冷 级 别 T 5耗 电 量 T 6选 购 电 冰 箱第九章第九章 层次分析层次分析1.1.建立层次分析的结构模型建立层次分析的结构模型 例例2 2 选择科研课题：选择科研课题： 某研究单位现有某研究单位现有3 3个科研课题，限于人力物力，只能个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，如何选择？承担其中一个课题，如何选择？ 考虑下列因素：考

17、虑下列因素：成果的贡献大小，对人材培养的作用成果的贡献大小，对人材培养的作用，课题可行性。，课题可行性。 在成果贡献方面考察：应用价值及科学意义（理论价在成果贡献方面考察：应用价值及科学意义（理论价值，对某科技领域的推动作用）；值，对某科技领域的推动作用）； 在课题可行性方面考虑：难易程度（难易程度与自身在课题可行性方面考虑：难易程度（难易程度与自身的科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间的科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间），财政支持（所需经费，设备及经费来源，有关单位支），财政支持（所需经费，设备及经费来源，有关单位支持情况等）。持情况等）。1.1.建立层次分析的结

18、构模型建立层次分析的结构模型目标层合理选择科研课题A成果贡献B1人才培养B2课题可行性B3课题D1课题D2课题D3应用价值 c1科学意义 c2难易程度 c3研究周期 c4财政支持 c5第九章第九章 层次分析层次分析方案层准则层1.1.建立层次分析的结构模型建立层次分析的结构模型 例例3 3 设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。 此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（效益

19、（即成本）。通常我们用费效比（效益/ /代价）作为选择方代价）作为选择方案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。1.1.建立层次分析的结构模型建立层次分析的结构模型准则层过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3桥梁D1隧道D2渡船D3收入 c2岸间商业 c3节省时间c1当地商业c4建筑就业c5安全可靠c6交往沟通c7自豪感c8舒 适c9进出方便c10美 化c11第九章第九章 层次分析层次分析方案层目标层1.1.建立层次分析的结构模型建立层次分析的结构模型过河的代价A经济代价B1社会代价B2环境代价B3桥梁D1投入资金c1操作维护c2冲

20、击渡船业c3冲击生活方式c4交通拥挤 c5居民搬迁 c6汽车排废物 c7对水的污染 c8对生态的破坏c9隧道D2渡船D3第九章第九章 层次分析层次分析目标层准则层方案层1.1.建立层次分析的结构模型建立层次分析的结构模型 上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素Z Z（目标（目标A A或某个或某个准则准则Z Z）相联系的下层元素（）相联系的下层元素（x x1 1，x x2 2，x xn n) )各在上层元素各在上层元素Z Z之中所占的之中所占的比重。比重。 方法：方法：每次取每次取2 2个元素，如个元素，如x xi i，x xj j，以，以a

21、 aijij表示表示 x xi i 和和 x xj j 对对Z Z的影响之的影响之比。这里得到的比。这里得到的A A=(=(a aijij) )n nn n称为两两比较的判断矩阵。称为两两比较的判断矩阵。 SaatySaaty建议用建议用1 19 9及其倒数做为标度来确定及其倒数做为标度来确定a aijij的值，的值，1 19 9比例标度的比例标度的含义：含义： x xi i比比x xj j强（重要）的程度强（重要）的程度 x xi i/ / x xj j 相等相等 稍强稍强 强强 很强很强 绝对强绝对强 a aijij 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

22、1 19 9标度的理由：两两比较的心理习惯，标度的理由：两两比较的心理习惯， 显然，判断矩阵显然，判断矩阵A A的元素有如下特征：的元素有如下特征：1 aij0 2 aji=1/aij3 aii=1 我们称判断矩阵我们称判断矩阵A A为正互反矩阵。为正互反矩阵。 2 2、构造判断矩阵、构造判断矩阵 例如在例例如在例2 2中，准则层中，准则层B B对目标层作因素两两比较，并可建立下面判对目标层作因素两两比较，并可建立下面判断矩阵：断矩阵： B B1 1：B B2 2为为3 3 B B1 1：B B3 3为为1 1 认为成果贡献比另二项稍重要，另二项差不多相同重要。认为成果贡献比另二项稍重要，另二

23、项差不多相同重要。判断矩阵判断矩阵 B1 B2 B3 B1 1 3 1 A= B2 1/3 1 1/3 B3 1 3 12 2、构造判断矩阵、构造判断矩阵 (1) (1) 单一准则下元素排序：单一准则下元素排序： 求判断矩阵求判断矩阵A A的最大特征值的最大特征值maxmax及标准化（归一化）的特征向量及标准化（归一化）的特征向量W W。W W的向量为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的的向量为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权重。有排序权重。有w wi i00， i i， 。 在构造判断矩阵时，各层元素间两两比较时，在构造判断矩阵时，各层元素间两两比较

24、时，a aijij应有某种传递性质应有某种传递性质，即若甲比乙重要，乙比丙重要，合理地应有甲比丙更重要，在数值上，即若甲比乙重要，乙比丙重要，合理地应有甲比丙更重要，在数值上表示为表示为a aijija ajkjk= =a aikik 即即 若若x xi i与与x xj j相比相比a aijij=3=3，x xj j与与x xk k相比相比a ajkjk=2=2，那么，那么有传递性的判断应有传递性的判断应x xj j与与x xk k相比，相比，a ajkjk=6 =6 。 (2) (2) 判断矩阵的一致性概念：判断矩阵的一致性概念： 判断矩阵是各元素均为正数的矩阵这种正矩阵有下列重要性质。判断

25、矩阵是各元素均为正数的矩阵这种正矩阵有下列重要性质。 定理设定理设n n阶方阵阶方阵A A为正矩阵，为正矩阵， maxmax为为A A的最大模特征值，的最大模特征值，u =u =（u u1 1，u u2 2，u un n) )T T为为maxmax的相应特征向量。的相应特征向量。 、maxmax 0 0，u ui i 0 0，i i =1=1，2 2，n n 、maxmax是单特征根；（因此是单特征根；（因此 u u 除差一常数因子外是唯一的）除差一常数因子外是唯一的） 、A A的任何其它特征值的任何其它特征值，有，有maxmax| | |。3.3.层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性

26、检验 n1ii1w 定义：若正互反矩阵定义：若正互反矩阵A A满足满足a aijijaajkjk= =a aikik i i ，j j ，k k =1=1，2 2，n n 则称则称A A为一致阵。为一致阵。 一致阵的重要性质：一致阵的重要性质：设设A A是一致阵，是一致阵， 1 1A A的转置亦是一致阵；的转置亦是一致阵； a aijij=1/a=1/ajiji ，a aijij=1 =1 ，i i ，j j=1=1，2 2，n n； 由定义由定义 a aijijaajkjk= =a aikik 则显然则显然 2 2A A的每一行均为任意指定的另一行的正数倍，从而的每一行均为任意指定的另一行的

27、正数倍，从而A A的秩为的秩为1 1。（即只有。（即只有一个非零特征值，其余一个非零特征值，其余n-n-1 1个为个为0 0特征值）；特征值）； 考虑第考虑第行元素行元素a ai1i1，a ai2i2，a ainin 对于第对于第k k行元素行元素a ak1k1，a ak2k2，a aknkn j j=1=1，2 2，n n， a aijij= =a aikikaakjkj 即第即第行各元素分别为第行各元素分别为第k k行各元素的行各元素的a aikik倍。倍。 3 3A A的最大特征根的最大特征根maxmax= = n n，其余特征根皆为零；，其余特征根皆为零； 4 4设设u=(uu=(u1

28、 1，u u2 2，u un n) )T T是是A A对应对应maxmax的特征向量，则的特征向量，则a aijij= =u ui i / /u uj j i i ，j j =1, 2, , =1, 2, , n n 容易验证：对于容易验证：对于n n及向量及向量u=(uu=(u1 1，u u2 2，u un n) )T T 若若a aijij= =u ui i / /u uj j ijij 则则 AuAu= =nu nu ( ( i i， ) )又由定理又由定理1 1及性质及性质2 2可知可知 maxmax= =n n，u u满足满足4 43.3.层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性

29、检验injijnjijnuuua 11 5 5若若A A为判断矩阵，那么为判断矩阵，那么A A对应于对应于maxmax = =n n 的标准化（归一化）特的标准化（归一化）特征向量征向量 u=(uu=(u1 1，u u2 2，u un n) )T T 就是一组排序权向量。就是一组排序权向量。 （归一化（归一化 ）由性质）由性质4 4即知。即知。 进一步地有如下定理进一步地有如下定理 定理定理2 2、n n阶正互反矩阵阶正互反矩阵A=A=（a aijij) )n nn n是一致阵的充分必要条件为是一致阵的充分必要条件为maxmax= =n nProof : Proof : “必要性必要性”即是上

30、面性质即是上面性质3 3已证已证 “充分性充分性”设设A A的最大特征值为的最大特征值为maxmax，相应特征向量，相应特征向量u=(uu=(u1 1，u un n) )T T Au= Au= maxmax u u 分量形式：对分量形式：对 i i =1 =1，2 2，n n 由定理由定理1 1知知u ui i0 0 ，于是，于是maxmax= = 注意注意a aijij=1=1，maxmax-1= -1= a aijij u uj j / /u ui i 3.3.层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验 nii1u1 n1jimaxjijuua nij1jijijuua/求和（把求和

31、（把i i=1=1，n n的各式相加）：的各式相加）：n nmaxmax- -n n= = a aijij u uj j / /u ui i 注意注意 a ajiji=1/a=1/aijij 整理上式得：整理上式得：nnmaxmax- -n n= (= (a aijij u uj j / /u ui i +1/ +1/ a aijij u uj j / /u ui i )( )(* *) ) (*)式末端=n2-nn2-n=n(n-1)n(n-1)注意：当x x0时 x x+(1/x1/x)2当且仅当x x=1时等号成立 。于是：a aijij ( u uj j / /u ui i )+ +

32、(1/ 1/ a aijij)( u uj j / /u ui i) 2(*)式右端 2 = 2(n-1)+(n-2)+2+1=n(n-1)n(n-1) =左端 当且仅当 a aijij (u uj j / /u ui i)=1时等号成立 3.3.层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验nij1jn1i nijn1i11 11n1inij a aijij ( ( u uj j / /u ui i ) )即即a aijija ajkjk=(=(u ui i / /u uj j)()(u uj j / /u uk k)= )= u uj j / /u uk k= =a ajkjk故故A A

33、是一致阵是一致阵。 由于客观事物的复杂性与人的认识的多样性，我们得到的判断矩由于客观事物的复杂性与人的认识的多样性，我们得到的判断矩阵常常不具有传递性和一致性，但应该要求这些判断大体是一致的。阵常常不具有传递性和一致性，但应该要求这些判断大体是一致的。 当判断矩阵过于偏离一致性时，它的可靠性值得怀疑，为此需对当判断矩阵过于偏离一致性时，它的可靠性值得怀疑，为此需对判断矩阵进行一致性检验。判断矩阵进行一致性检验。一致性检验步骤：一致性检验步骤：、计算一致性指标、计算一致性指标C.I.C.I.= =( (maxmax-n)/(n-1)-n)/(n-1) ( (ConsisTeneyConsisTe

34、ney Index) Index)、查找相应的平均随机一致性指标、查找相应的平均随机一致性指标R.I.R.I.(Random(Random Index) Index) 115 115阶正互反矩阵计算阶正互反矩阵计算10001000次得到的平均随次得到的平均随 机一致性指标：机一致性指标： 矩阵阶数矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 R.I.R.I. 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41矩阵阶数矩阵阶数 9 10 11 12 13 14 159 10 11 12

35、 13 14 15 R.I.R.I. 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.593.3.层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验计算：计算：R.I.=(R.I.=(maxmax-n)/(n-1)-n)/(n-1)， maxmax为为m m次判断矩阵次判断矩阵maxmax的平均值。的平均值。maxmax产生方法：取定阶数产生方法：取定阶数n n，随机构造正互反矩阵，随机构造正互反矩阵 = =（ ijij) )n nn n ， ijij在在1, 2, , 9, 1/2, 1/3, , 1/91,

36、 2, , 9, 1/2, 1/3, , 1/9这这1717个数中随机抽取，个数中随机抽取，( (只需取只需取n(n-1)n(n-1)/2/2个，对角元为个，对角元为1 1，其余按正互反性得到，其余按正互反性得到）取充分大的取充分大的子样计算所有子样计算所有 的最大特征值，然后求平均即为的最大特征值，然后求平均即为maxmax 。、计算一致性比率、计算一致性比率C.R.C.R. (consistency ratio) (consistency ratio) C.R.= C.I./R.I.C.R.= C.I./R.I.当当C.R.C.R.0.10.1时时 认为判断矩阵的一致性是可认为判断矩阵的一

37、致性是可接受的。接受的。当当C.R.C.R. 0.1 0.1时时 应修正判断矩阵。应修正判断矩阵。例如例如 对前面矩阵对前面矩阵 1 3 11 3 1 A A= 1/3 1 1/3= 1/3 1 1/3 1 3 1 1 3 1 3.3.层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验计算出计算出 maxmax=3=3归一化向量归一化向量u u=(3/7=(3/7，1/71/7，3/7)3/7)T T C.I.C.I.=(=(maxmax-3)/(3-1)=0-3)/(3-1)=0C.R.C.R.=0 =0 是一致阵。是一致阵。例：例： 1 2 5 1 2 5 A A= 1/2 1 7= 1/2

38、 1 7 1/5 1/7 1 1/5 1/7 1 计算出计算出 maxmax=3.1189=3.1189，u u=(0.5415=(0.5415，0.38160.3816，0.0761)0.0761)T T C.I.C.I.= =（3.1189-33.1189-3）/ /（3-13-1）=0.05945 =0.05945 查表得查表得R.I.R.I.=0.52=0.52 C.R.C.R.=0.05945/0.52=0.11430.1=0.05945/0.52=0.11430.1，应修正判断矩阵，应修正判断矩阵3.3.层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验层次总排序过程：层次总排序过程

39、：计算同一层次所有因素对于最高层（总目标）相对计算同一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值。重要性的排序权值。从最高层到底层逐层进行：从最高层到底层逐层进行：设已算出第设已算出第k k-1-1层上层上n nk k-1-1个元素相对于总目标的排序为个元素相对于总目标的排序为 w w( (k k-1)-1)=(=(w w1 1( (k k-1)-1)，w w2 2( (k k-1)-1)，w w n n ( (k k-1)-1) )T T第第k k层层n nk k个元素对于第个元素对于第k k-1-1层上第层上第j j个元素为准则的单排序向量个元素为准则的单排序向量 u uj j(

40、 (k k) )=(=(u u1 1j j( (k k) )，u u2 2j j( (k k) )，u un n j j( (k k) ) )T T j j=1=1，2 2，n nk k-1-1 其中不受第其中不受第j j个元素支配的元素权重取零，于是可得到个元素支配的元素权重取零，于是可得到n nk kn nk k-1-1阶矩阶矩阵阵 u u1111( (k k) ) u u1212( (k k) ) u u1 1n n ( (k k) ) U U( (k k) )= = u u2121( (k k) ) u u2222( (k k) ) u u2 2 n n ( (k k) ) u un

41、1n 1(k)(k) u un 2n 2(k)(k) u un n n n (k)(k)4.4.层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验第第k k层上各元素对总目标的总排序层上各元素对总目标的总排序w w( (k k) )为：为： w w(k(k) )=(w=(w1 1(k)(k)，w w2 2(k)(k)，w wn n ( (k)k) )T T w w(k(k) )=U=U(k)(k)w w(k-1)(k-1)分量形式：分量形式：w wi i(k(k) )= u= uijij(k)(k)w wj j(k-1)(k-1) i=1 i=1，2 2，n n于是可得到公式于是可得到公式: :

42、w w(k(k) )=U=U(k)(k)U U(k-1) (k-1) UU(3)(3)w w(2)(2)w w(2)(2)为第二层上元素对目标的排序（即是单层排序）为第二层上元素对目标的排序（即是单层排序）各层总排序的一致性检验：各层总排序的一致性检验： 由高层向下，逐层进行检验，设第由高层向下，逐层进行检验，设第k k层层 中某些因素对中某些因素对k k-1-1层第层第j j个元素单排序的个元素单排序的 一致性指标为一致性指标为C.I.C.I.j j(k(k) )，平均随机一致性指标为，平均随机一致性指标为R.I.R.I.j j(k(k) )，( (k k层中层中与与k k-1-1层的第层的第j j个元素无关时，不必考虑个元素无关时，不必考虑) )，那么第，那么第k k层的总排序的一致层的总排序的一致性比率为：性比率为： C.R.C.R.(k(k) )= / = / 当当C.R.C.R.(k(k) )0.10.1时认为第时认为第k k层，层次总排序具有满意的一致性。层，层次总排序具有满意的一致性。4.4.层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验)()1(.kjn1jkjICwk )()1(.kjn1jkjIRwk