三角形常见辅助线做法总结

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1、数学专题一一三角形中的常用辅助线典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还 要刻苦加钻研，找出规律凭经验。全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在 哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： 延长中线构造全等三角形； 利用翻折，构造全等三角形； 引平行线构造全等三角形； 作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以

2、下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题， 思维模式是全等变换中的“对折”。例1:如图， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90，BD平分/ ABC交AC于点 D, CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2:如图，已知 ABC中, AD是/BAC的平分线，AD又是BC边上的中线 求证： ABC是等腰三角形。I)(3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考

3、知识点常常是角平分线的性质 定理或逆定理。例 3:已知，如图，AC平分/ BAD CD=CBABAD 求证：/ B+ZADC=180。(4) 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4:如图， ABC中，AB=AC E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连 EF 交BC于D,若EB=CF求证：DE=DFAAF例 5*ABC中，/ BAC=60，/ C=40 ABC交 AC于 Q 求证：AB+BP=BQ+AQ,AP平分/ BAC交BC于P, BQ平分/解题后的思考：(1)本题也可以在AB上截取AD=AQ连0D构造全等三角形，即“截长法”

4、(2)本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图(2),过O作 OD/ BC交AC于。，则厶ADOA ABC从而得以解决。图如图 ，过。作DEBC交AB于D,交AC于E, OJJAAD02AAQO, ABO昌厶竝。从而得以解决.如图，过P作PD#BQ交AB的延长线于D,则AAPDAAPCM而如图(5),过P作PD/ BQ交AC于。，则厶ABPA ADP从而得以解决图(5) 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段 相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关 性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 6:如图甲，AD/

5、 BC 点 E在线段 AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求证：CD=ADfBC口图甲2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连 接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中， 再 运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。全等三角形中的常见

6、辅助线的添加方法举例一. 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图 1 已知ABC的中线，且/ 1 = 7 2, / 3=/ 4,求证：BE CF EF。图1二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图 2：ABC的中线，且/ 1 = / 2,7 3 =/4,求证：BE+ CFEFM图2三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例：如图3: AD为 ABC的中线，求证：AB+ AC2ADE练习：已知 ABC AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向 形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF= 2AD图#四、截长补

7、短法作辅助线。例如：已知如图5:在厶ABC中，AB AC, / 1 = Z 2, P为AD上任一点 求证：AB- AO PB- PCAM五、延长已知边构造三角形：例如：如图 6:已知 AOBD, ADL AC于 A , BCLBD于 B, 求证：AD= BC图6六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7： AB/ CD AD/ BC 求证：AB=CDC七有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8:在 Rt ABC中，AB= AC, / BAC= 90,/ 1 = Z 2, CELBD 的延长于E。求证：BD= 2CE八、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9; AC BD相交于O点，且A吐DC AOBD,求证：/ A =/ Do九、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 10： AB= DC / A=Z D 求证：/ ABGZ DCB图7