浙江省温岭市城南中学九年级数学 《圆》课件

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1、圆圆一、圆的定义（2）从集合观点定义从集合观点定义在同一平面内，在同一平面内，线段线段OP绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点旋转一周，另一端点P运动所形成的图形叫做运动所形成的图形叫做圆圆。定点。定点O叫做叫做圆心圆心。线段。线段OP叫做圆的叫做圆的半径半径。（1）描述性定义描述性定义圆可以看作是平面内到定点距离等于定长圆可以看作是平面内到定点距离等于定长的点的的点的集合集合，定点为，定点为圆心圆心，定长为，定长为半径半径。圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对称你能找到多少条对称

2、轴？轴？O你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ?n圆是中心对称图形吗？圆是中心对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称中心是什么它的对称中心是什么? ?你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？你又是用什么方法解决这个你又是用什么方法解决这个问题的问题的? ?圆的对称性圆的对称性 圆是圆是轴对称图形轴对称图形. .圆的圆的对称轴对称轴是任意一条经过圆心的直线是任意一条经过圆心的直线, ,它有它有无无数数条对称轴条对称轴. .O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .n圆也是圆也是中心对称图形中心对称图形. .它的对称中心就是它的对称中心就是

3、圆心圆心. .用用旋转旋转的方法即可解决这个的方法即可解决这个问题问题. .n这是圆特有的一个这是圆特有的一个性质性质: :圆的圆的旋转不变性旋转不变性圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，归纳：圆的对称性中心中心对称性对称性旋转旋转不变性不变性弧、弦、圆心角、弦心距这四弧、弦、圆心角、弦心距这四组量之间的对应关系组量之间的对应关系轴对称性轴对称性垂径定理垂径定理旋转旋转折叠折叠1、圆有旋转不变性、圆有旋转不变性（即圆绕圆心旋转任何角度后，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍能与原来的圆重合仍能与原来的圆重合），2、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的

4、对称轴。的对称轴。每条直径都是每条直径都是圆的对称轴？圆的对称轴？ 图形的对称轴是直线，而直径是线段。图形的对称轴是直线，而直径是线段。每条直径所在的直每条直径所在的直线都是圆的对称轴线都是圆的对称轴圆心是对称中心圆心是对称中心。圆的相关概念圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧. 直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都叫做半每一部分都叫做半圆圆(如弧如弧ABC).n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB).On经过圆心弦叫做经过圆心弦叫做直径直径(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点的两点为

5、端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.ABn小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用用两个字母两个字母).AmBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABCmD等弧等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧.E弦心距：弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距.5.圆心角圆心角定义：顶点在定义：顶点在 的角叫做圆心角的角叫做圆心角.注意：因为圆心角的顶点在圆心，所以圆心角的两边一定和注意：因为圆心角的顶点在圆心，所以圆心角的两边一定和圆相交圆相交.定理：圆心

6、角的度数和它所对的弧的度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数 .注意：注意：1的弧是指把圆心角的弧是指把圆心角360分成分成360等份，那么等份，那么1的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做1的弧，因此的弧，因此n的圆心角就对的圆心角就对着着n的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.圆心圆心相等相等 推论推论 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两两条弦条弦, ,两条弦心距两条弦心距中中, ,有一组量相等有一组量相等, ,那么它们所对那么它们所对应的其余各组量都分别相等应的其余各组量都分别相等. .

7、OABDABDOABDOABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB（一）圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系（一）圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，如果两个如果两个圆心角圆心角、两条、两条弧弧、两条两条弦、弦、两条弦两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的中有一组量相等，那么它们所对应的在在同圆同圆或或等圆等圆中中其余各组量分别其余各组量分别相等相等。能去掉能去掉“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”这个前这个前提条件吗？提条件吗？如图， AOB=COD，但它们所对的弧和弦并不相等。特别提示：特别提示：1、不能忽略、不能忽略“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”这个前提

8、条件，否则虽然圆心角相等，这个前提条件，否则虽然圆心角相等，但其所对的弧、弦、弦心距不一定相等。但其所对的弧、弦、弦心距不一定相等。2、本定理十分重要，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间本定理十分重要，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间 的转化关系，是圆的相关性质的核心内容的转化关系，是圆的相关性质的核心内容.7.圆周角定义：顶点在 圆 上，两边都与圆 相交 的角叫做圆周角.易错点：图34-3中的ABC都不是圆周角.定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的 的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 圆周角所对的弦是 .注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一

9、个是优弧所对的角，一 个是劣弧所对的角，这两个角互补.相等相等圆心角圆心角直径直径直角直角90AM=BM,垂径定理垂径定理 AB是是 O的一条弦的一条弦. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?图中有图中有:ABCDMn由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.做一做垂径定理垂径定理三种语言三种语言 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两

10、条弧并且平分弦所的两条弧. 垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.垂径定理垂径定理三角形三角形在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任意两中，已知其中任意两个量个量, ,可以求出其它两个量可以求出其它两个量. .EOABDCd + h = rd + h = r222)2(adrOA=r, OE=d, AB=a, DE=hn你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最

11、棒的!垂径定理的推论垂径定理的推论 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂径定理及其推论垂径定理及其推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对

12、的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.挑战自我挑战自我垂径定理的推论垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互

13、相平行,那么这两条弦所平的弧相那么这两条弦所平的弧相等吗等吗? 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我填一填填一填 1、判断：、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧. （ ） 经过弦的

14、中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）例例1 . 如图，已知ABC内接于 O，D是 O上一点，连接BD，AC，BD交于点E。(1)请找出图中的相似三角形，并加以证明；(2)若D=45,BC=2,求 O的面积。例2、如图， AB为 O的直径，弦CDAB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD= 。点拨点拨:求弦长可先求弦的一半的求弦长可先求弦的一半的长长变式变式:如图， AB为 O的直径，弦CDAB，E为

15、垂足，若CD=6，BE=1，则AB= 。注意：连接 OC后无法利用勾股定理直接求出半径那该怎么办呢？设半径设半径OC=x，则，则OE=x-1，利用勾股定理列出方程即可利用勾股定理列出方程即可求解求解分析：求直径，先求半径。连接分析：求直径，先求半径。连接 OC，解：连接 OC， OBCD于点E CE = DE= CD=3，设半径OC=x，则OE=x-1，在RtOEC中根据勾股定理得OE2+CE2=OC2，（ x-1）2+32 =x2 解得x =5， AB=2OC=10212、过圆心作弦的垂线段（弦心距） ，利用垂径定理可得该垂线也平分弦，从而半径、弦的一半和弦心距构成一个直角三角形，这是我们解

16、决圆中求弦长（半径、弦心距）的常用方法。1、垂径定理的应用常与勾股定理相联系。例例3.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同为圆心的两个同心圆中，大圆的弦心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。你认为你认为AC和和BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法是一种常用辅助线的添法例4、如图，BC为 O

17、的直径，ADBC于D，A是BP的中点，连结PB交AD于点E求证：AEEB(思路分析1：欲求AEEB，只需说明ABE=BAE，其中 ABE是AP所对的圆周角，而由条件可知，AB=AP，因此只需找出AB所对的圆周角是否与ABE相等即可，(而构造AB所对的圆周角，需连接AC，此时恰好构造了直径BC所对的圆周角ACB(解法1：连接BC， AB是直径 ACB=90 即ABC+ ACB= 90 CDAB ABD+ BAD= 90 ACB=BAD点A是BP的中点， AB=AP ABE=ACB ABE=BAE(“见直径，构造直径所对的圆周角”是常用的且重要的辅助线H思路分析2：欲求AEEB，只需说明ABE=B

18、AE，其中 ABE对着AP，只需找出BAE所对的弧与AP是否相等即可。(延长AD交圆于H，利用圆的对称性可得AB=BH，从而得到BH=AP,则问题得解。(H解法2：延长AD交圆于H AB是直径，CDAB AB=HB点A是BP的中点， AB=AP BH=AP ABE=BAE(（1）有关圆的题目，圆周角与它所对的弧常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证“圆周角所对的弧相等”的问题来解决；弧相等的条件可转化为它们所对的圆周角相等的结论。这是一种重要的解题思路。（2）在已知条件下，若有与半径或直径垂直的线段，常延长此线段与圆相交，这样可利用“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”的性质得线段相等

19、、弧相等。船能过拱桥吗船能过拱桥吗 2 . 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并米、船舱顶部为长方形并高出水面高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这此货船能顺利通过这座拱桥吗？座拱桥吗？ 相信自己能独立相信自己能独立完成解答完成解答.船能过拱桥吗船能过拱桥吗 解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱, 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根

20、根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R=3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥. 在

21、直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度. 分析分析: : 本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图弦的位置有两种不同的情况，如图(1)(1)和和(2)(2)图图(1)(1)中中OC=120CD=80(mm)OC=120CD=80(mm)图图(2)(2)中中OC=120OC=120CD=OC+OD=320(mm)CD=OC

22、+OD=320(mm)二、基础练习：二、基础练习：1点P是半径为5的 O内的一点，且OP等于3，则过点P的最短的弦长为 ，最长的弦长为 。2如图1，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设 O的半径为4，MN等于4，则圆心O到弦MN的距离为 ，ACM等于 。3.如图如图1,已知圆心角已知圆心角BOC=100,则圆周角则圆周角BAC的度数的度数为为( ).A.100 B.130 C.50 D.804、如果、如果 O的周长为的周长为10 cm那么它的半径为那么它的半径为( )A.5cm B. cm C.10cm D.5图1 5、下列图中:线段;正方形圆;等腰梯形;平行四边形是轴对称图形,但

23、不是中心对称图形有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6、如图3,在 O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦, ODAB,OEAC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则 O的半径为_cm.图图27、如图4,AB是 O的直径,C、D、E都是 O上的点,则1+2=_.8、如图5,AB为 O的直径,弦AC=4cm,BC=3cm,CDAB,垂足为D,那么CD的长为_cm.图4图59.如图2，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 。10.已知如图3， C与坐标轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，点C的纵坐标为1，求 C的半径。化化心心动为动为行行动动 1.已

24、知已知A,B是是 O上的两点上的两点,AOB=1200,C是是 的中点的中点,试确定四试确定四边形边形OACB的形状的形状,并说明理由并说明理由.n2.2.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列条件的图案条件的图案: :n(1)(1)是轴对称图形但不是中心对称图形是轴对称图形但不是中心对称图形; ;n(2)(2)即是轴对称图形又是中心对称图形即是轴对称图形又是中心对称图形. .n3.3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关性有关, ,试举几例试举几例. .AB反思自我反思自我想一想想一想, ,你的收获和困惑有你的收获和困惑有哪些哪些? ?说出来说出来, ,与同学们分享与同学们分享. .