《热力学与统计物理课后习题答案第六章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《热力学与统计物理课后习题答案第六章（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第六章近独立粒子的最概然分布6. 1试根据式（6.2.13）证明：在体积V内，在到+住的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为Q（）d=（2加户/de.解：式（6213）给出，在体积y=Z?内，在凡至Upx+dPx，P）,至IPy+dp2到凡+dp,的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为dxdvd凡.（1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在p到p+d范围内三维自由粒子可能的量子态数为蟀P2dp.（2）h3上式可以理解为将空间体积元4d犷即（体积匕动量球壳4切2切）除以相格大小小而得到的状态数.自由粒子的能量动量关系为2m因此p=yj2me,pdp=
2、mds.将上式代入式（2）,即得在体积V内，在到+公的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D（）d=（2mp（3）6.2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到+也的能量范围内，量子态数为解：根据式（6214）,一维自由粒子在空间体积元drd凡内可能的量子态数为凡h在长度L内，动量大小在p到p+d范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为将能量动量关系代入，即得O（）dc=1.1 3试证明，对于二维的自由粒子，在面积Z?内，在到+北的能量范围内，量子态数为解：根据式（6.2.14）,二维自由粒子在空间体积兀dxdydxdv内的量子态数为用二维动量空间的极坐标P，夕描述粒子的动量，
3、P，。与Px，P,的关系为Px=pcos。,py=psin用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为pdpdO.在面积炉内，动量大小在到p+dp范围内，动量方向在到e+d。范围内，二维自由粒子可能的状态数为h2对m积分，从0积分到2兀，有fd9=2兀Jo可得在面积Z?内，动量大小在到p+d范围内(动量方向任意)，二维自由粒子可能的状态数为(3)P22m2tiI3将能量动量关系代入，即有(4)6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为e=cp.试求在体积V内，在到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:式(6.2.16)已给出在体积V内，动量大小在到p+d范围内三维自由粒子可能的状态数为写P2dp
4、.(1)h3将极端相对论粒子的能量动量关系-Cp代入，可得在体积V内，在至+也的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为Z)()d=4以&.(2)(6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N，.粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制.试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为at=ge其中9和与是两种粒子的能级，勺和加是能级的简并度.解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N，总能量为E,体积为V时，两种粒子的分布佃和忖必须满足条件%=N,a；=N;1:,（1）Eg%+c；a；=EtI才有可能实现.在粒子可以分辨，且处在一个个体
5、量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布和,时各自的微观状态数为N!N!(2)系统的微观状态数。为。=0。.（3）平衡状态下系统的垠概然分布是在满足式（1）的条件下使。或In为极大的分布.利用斯特令公式，由式（3）可得InO()=ln(O0=NInN-lnq+ZqInq+N，lnN-Z；In。；+Z。；1nq,/为求使lnO（。）为极大的分布，令和a；各有必和曲;的变化，In。将因而有bin。的变化.使In。为极大的分布出和卜；必使61nQ（）=0,但这些必和函不完全是独立的，它们必须满足条件&N=Zm=a/6N，=工6al=0,/6E=z4网+Z，：=，/用拉氏乘子a,仅和夕分别
6、乘这三个式子并从61nO(。)中减去，得5In。-abN-a-优E/9、=-工In+aln&+a+的5a/,I),7,I3：)=0.根据拉氏乘子法原理，每个瓯和阴的系数都等于零，所以得n+a+附=0,r1*+优+网=0,a(4)5=COga-阿a；=co；L-罔.拉氏乘子a,和夕由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布.两个分布的a和可以不同，但有共同的.原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数MV和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化.从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的力.6.6同上题
7、，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解：当系统含有N个玻色子，N，个费米子，总能量为瓦体积为V时，粒子的分布“和忖必须满足条件/fa；=N,I+2：a：=E（1）才有可能实现.玻色子处在分布,费米子处在分布3时，其微观状态数分别为n 1)!【J q! -1)!。=OQ.系统的微观状态数。为(3)平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使。或ln。）为极大的分布.将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得in。=Z（Q+。/）In（2+q）1。4秋In2+IZ上4In（o-a；Ina：-a；）In（“-a）.令各为和有M和ba；的变化，lnd。）将因而有31n0（。）的变化，使用权InQ四为极大的分布佃和a；必使61n0（）=O,即8In)=时(例+4)必+zIn/aiia=0.但这此致M和M不完全是独立的，它们必须满足条件6N=ZM=0,/6N=ZM=O，/6E=Z弓瓯+E=0./用拉氏乘子a,优和夕分别乘这三个式子并从bln。中减去，得6InQ-a3N-a&N-例EIat71a；7=0.根据拉氏乘子法原理，每个M和M的系数都等于零，所以得In例+-a-侬=0,In）-a-昵i-0,口;即q=网，,（4）9COta.=H.产+1拉氏乘子名优和夕由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中。和优不同，但夕相等.
热力学与统计物理课后习题答案第六章
