三角函数

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1、三角函数1、任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数2、同角三角函数的基本关系式与诱导公式3、三角函数的图象与性质4、函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用5、两角和与差的正弦、余弦及正切公式6、简单的三角恒等变换7、正弦定理和余弦定理和解三角形1已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9 C8 D5解析：选D.由23cos2Acos 2A0，得23cos2A2cos2A10，解得cos A.A是锐角，cos A.又a2b2c22bccos A，49b2362b6，b5或b.又b0，b5.2若sin ，则cos

2、 ()A B C. D.解析：选C.cos 12sin21221.3函数ysin 2x2sin2x的最小正周期T为_解析：由于ysin 2x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin，T.答案：4已知sin 2，则cos2()()A. B. C. D.解析：选A.sin 2，cos2().5将函数ysin(2x )的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为()A. B. C0 D解析：选B.ysin(2x)ysin2(x)sin(2x)当时，ysin(2x)sin 2x，为奇函数；当时，ysin(2x)cos 2x，为偶函数；当0时

3、，ysin(2x)，为非奇非偶函数；当时，ysin 2x，为奇函数故选B.6已知R，sin 2cos ，则tan 2()A. B. C D解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin24sin cos 4cos2，即3cos24sin cos ，所以，所以，即3tan28tan 30，解得tan 3或tan ，所以tan 2.7.设f(x)sin 3xcos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|a，则实数a的取值范围是_解析：由于f(x)sin 3xcos 3x2sin，则|f(x)|22，要使|f(x)|a恒成立，则a2.答案：2，)8在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若as

4、in Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A. B. C. D.解析：选A.由正弦定理可得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，又因为sin B0，所以sin Acos Csin Ccos A，所以sin(AC)sin B.因为ab，所以B.9设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定解析：选B.bcos Cccos Bbcaasin A，sin A1.A(0，)，A，即ABC是直角三角形10 4cos 50tan 40()A

5、. B. C. D21解析：选C.4cos 50tan 404sin 40.11设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C()A. B. C. D.解析：选B.由3sin A5sin B，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cos C.因为C(0，)，所以C.12设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.解析：ysin x2cos x(sin xcos x)，设cos ，sin ，则y(sin xcos cos xsin )sin(x)xR，xR，ymax.又x时，f(x)取得最大值，f()sin 2

6、cos .又sin2cos21，即cos .答案：13函数ycos(2x)()的图象向右平移个单位后，与函数ysin(2x)的图象重合，则_.解析：ycos(2x)的图象向右平移个单位得到ycos2(x)的图象，整理得ycos(2x)其图象与ysin(2x)的图象重合，2k，2k，即2k.又，.答案：14.设为第二象限角，若tan()，则sin cos _.解析：tan()，解得tan .(sin cos )2.为第二象限角，tan ，2k2k，sin cos 0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值解：(1)f(x)

7、sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin(2x)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又0，所以4.因此1.(2)由(1)知f(x)sin(2x)当x时，2x.所以sin(2x)1.因此1f(x).故f(x)在区间，上的最大值和最小值分别为，1.3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bco

8、s B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.4设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解：(1)由|a|2(sin x)2sin2x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x0，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin(2x)，当x0，时，sin

9、(2x)取最大值1.所以f(x)的最大值为.5设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值； (2)求sin(AB)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为锐角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.6在ABC中，角A，B，C对应的边分别是 a，b，c，已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积

10、S5，b5，求sin Bsin C的值解：(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0.解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由Sbcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理得，a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理得，sin Bsin Csin Asin Asin2A.7已知函数f(x)sin6sin xcos x2cos2x1，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)f(x)sin 2xcoscos 2xsin

11、3sin 2xcos 2x2sin 2x2cos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(0)2，f2，f2，故函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为2.8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC).(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解：(1)由cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC)，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，则cos(ABB)，即cos A.又0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4)252c22

12、5c，解得c1或c7(负值舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.9在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值解：(1)由余弦定理得cos A.又因为0A0.从而g()1cos 11.(2)f(x)g(x)等价于sin x1cos x，即sin xcos x1，于是sin(x)，从而2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为x|2kx2k，kZ12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C(cos Asin A)c

13、os B0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解：(1)由已知得cos(AB)cos Acos Bsin Acos B0，即有sin Asin Bsin Acos B0.因为sin A0，所以sin B cos B0.又cos B0，所以tan B.又0B，所以B.(2)由余弦定理，有b2a2c22accos B.因为ac1，cos B，有b232.又0a1，于是有b21，即有b1.选做题：1.已知sin cos ，(0，)，则tan _.解析法一：因为sin cos ，(0，)，所以(sin cos )212sin cos ，所以sin cos .由根与系数的关系，知sin

14、，cos 是方程x2x0的两根，所以x1，x2.又sin cos 0，所以sin 0，cos 0.所以sin ，cos .所以tan .法二：同法一，得sin cos ，所以.齐次化切，得，即60tan2169tan 600，解得tan 或tan .又(0，)，sin cos 0，sin cos 0.所以(，)，所以tan .答案2已知，(0，)，且sin ，tan().(1)求sin()的值；(2)求cos 的值解：(1)，从而.又tan()0，0.sin().(2)由(1)可得，cos().为锐角，且sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin().3已知，且si

15、ncos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解：(1)因为sin cos ，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(2)因为，.所以，故.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin().4求值：sin 10.解：原式sin 10sin 10sin 102cos 10.5在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2 ，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解：(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，cos A，又0A，A.由sin Asin Bcos2 ，得sin B，即sin B1cos C，则cos C0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin(C)1cos C，化简得cos(C)1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，由余弦定理得AM2b2()22bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C22.