精品资料（2021-2022年收藏）模块十五：市场风险计量：VAR方法

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1、条线十一：风险计量、建模与应用模块十五：市场风险计量：VAR方法单元一：在险价值（VAR）方法VAR（Value at Risk）是为了满足用一个数据来衡量所有风险，尤其是市场风险的管理需求而产生的。自J.P.摩根首次提出以来，这一方法以其对风险衡量的科学、实用、准确和综合等特点受到包括监管部门在内的国际金融界的普遍欢迎，迅速发展成为风险管理的一种标准，并且与压力测试、情景分析和返回检验等一系列方法构成了风险管理的VAR体系，其产生和发展过程甚至被誉为风险管理的VAR革命。目前，VAR不仅被广泛用于市场风险的综合衡量与管理，而且正在向信用风险管理和操作风险管理领域延伸。一、VAR的内涵：从风险

2、的敏感性分析到VAR分析对VAR内涵的理解可以从风险管理实践中经常面临的风险水平衡量问题开始思考。在面临衡量一个具体的投资组合风险时，人们往往习惯于通过问这样一个问题来了解投资组合的风险水平，即“在假定明天市场发生某种不利变动的情况下，该组合的损失是多大？”。另外一种常见的问法是“如果明天情况糟糕，该组合最大损失会是多少？” 但这个问题本身并清楚，难以直接给出答案。 回答之前必须反问什么叫做“糟糕的一天”？定义“糟糕的一天”的一种简单方法是定义损失程度，但这将会使得以上问题没有意义。合理且有意义的做法是将“糟糕的一天”定义为：在正常市场环境下，发生如此严重损失的天数在每100天当中才有1天。换

3、言之，发生这样损失的概率为1%。如果明天是“糟糕的一天”（每100天才会发生一次），投资的最大损失是多少？这也就成为一个标准的VAR问题。这显然是一个组合价值对于市场风险因子变化的敏感性问题，简单地运用上节所述的敏感性方法分析就可以得到一个明确的答案。例如，对于一个投资额为100万元、修正持续期为2年的债券投资组合，当被问及“假定明天市场利率上升25个基本点，该债券组合会损失多少”时，我们可以很方便地利用敏感度分析方法按照如下公式计算出损失规模为5000元：dP = -DdR/（1+R）P = -（MD）（dR）（P）= - 20.00251000000= - $5000。然而，如前所述，敏感

4、度分析只涉及给定风险因子变化幅度下投资组合受影响的程度，而并不分析风险因子发生这种变化的可能性的大小。因此，为了全面衡量投资风险，进一步的问题自然就是“发生5000元损失的可能性有多大？”更确切地说，“在正常市场条件下，在一定目标持有期限内，组合损失不超过5000元的可能性有多大？”，这是风险分析中的一个关键的转变，因为它将一个敏感度问题发展到了一个VAR问题。通常，该问题如果以如下方式提出：“在正常市场条件下，在给定置信水平（如99%），在目标持有期限内，某投资组合可能遭受的最大损失是多少？”这就是一个标准的VAR问题。VAR 通常被定义为在正常的市场条件和给定的置信水平（Confidenc

5、e Level）下，某一投资组合在给定的持有期间内可能发生的最大的损失。从统计的角度看，VAR实际上是投资组合回报分布的一个百分位数（Percentile），从这个角度看，VAR和回报的期望值在原理上是一致的。正如投资组合回报的期望值实际上是对投资回报分布的第50个百分位数的预测值一样，在99 %的置信水平上，VAR值实际上就是对投资回报分布的第99个百分位数（较低一侧）的预测值。一个在99%置信水平上的一日VAR值表示投资组合在一天之内损失到VAR水平的可能性为1%，或说100天内出现损失状况超过VAR的天数为一天。如同我们经常用“百年一遇”来同时描述洪水的严重性和可能性一样，我们可以说，9

6、9%置信水平上的日VAR值就是“百天一遇”的损失。二、界定VAR的统计要素要确定一个金融机构或资产组合的VAR值或建立VAR的模型，必须首先确定两个基本要素，一是要确定持有期限（Holding Period）问题。持有期限就是持有投资头寸的时间长度，持有期限是指衡量回报波动性和关联性的时间单位，也是取得观察数据的频率，如所观察数据是日收益率、周收益率、月收益率还是年收益率等。持有期限应该根据组合调整的速度来具体确定。调整速度快的组合，如有些银行所拥有的交易频繁的头寸，应选用较短的期限，如一天；调整相对较慢的组合，如某些基金较长时期拥有的头寸，可选用一个月甚至更长。巴塞尔银行监管委员会出于风险审

7、慎监管的需要，选择了两个星期（即10个交易日）的持有期限。此外，持有期限的选定通常会受到观察期间的影响。在既定的观察期间内（如1年），选定的持有期限越长（如1个月），在观察期间所得的数据越少（只有12个），进而会影响到VAR模型对投资组合风险反映的质量。市场风险矩阵中一般采用单日VAR值，它也被称为每日在险收益（Daily Earning at Risk，DEAR）。如果损失分别服从正态分布，超过一天的VAR值可以由如下公式导出（在市场持续有效的假设下）：N天VAR=DEAR。例如巴塞尔银行监管委员会对银行采用VAR模型计量针对市场风险的监管资本所要求的持有期限时10天。二是置信水平的选择。置

8、信水平过低，损失超过VAR值的极端事件发生的概率过高，这使得VAR值失去意义；置信水平过高，超过VAR值的极端事件发生的概率可以得到降低，但统计样本中反映极端事件的数据也越来越少，这使得对VAR值估计的准确性下降。对VAR的准确性和模型的有效性可以进行返回检验（Back Testing）。置信水平决定了返回检验的频率。例如，对于日回报率的VAR值，95%的置信水平意味着每20个交易日需进行一次返回测试，而采用99 %的置信水平，返回测试的频率只有100个交易日一次，现实中，置信水平一般选在95%99%之间。巴塞尔银行监管委员会选择的置信水平是99%。然后，VAR计算的关键问题就是确定金融机构或

9、资产组合在既定的持有期限内的回报的概率分布。如果能够拥有或根据历史数据直接估算出投资组合中所有金融工具的收益分布，整个组合的收益分布，从而作为该分布的一个百分位数的VAR值也就容易推算出来。但实践中，要取得所有金融工具的收益分布是不容易的，尤其是在组合包括许多种金融工具时，要保存和拥有所有金融工具的充分的历史数据几乎是不可能的。这使得投资组合收益分布的推算成为整个VAR法中最重要也是最难解决的一个问题，目前解决的办法是不试图直接寻求组合中每一种金融工具本身收益的概率分布，而是将这些金融工具的收益转化为若干风险因子（Risk Factors）的收益，进而整个投资组合成为这些风险因子的函数，然后通

10、过各种统计分析方法得到这些风险因子收益的概率分布，再在此基础上得到整个组合收益的概率分布，最终求解出VAR的估计值。三、VAR 应用于投资组合风险分析的相关指标（一）边际VAR（Marginal VAR）它是指当某一资产的持仓数量增加一个单位或者1的时候，该组合的VAR值的变化。边际VAR反映了新增资产对整个组合的风险贡献。对于投资组合而言，要控制风险，就要尽量增持边际VAR小的资产。（二）分散化VAR（VAR Diversification Impact）它指的是组合对VAR的分散化效应。组合的VAR值不是等于各个资产VAR值相加之和，而是小于各个资产VAR相加之和，这反映了资产的分散化效应

11、和风险的次可加性（Subadditivity）。它们之间的差值就是分散化VAR，也就是分散化投资导致的风险的减少。（三）局部VAR（Partial VAR），也称之为成分VAR（Component VAR）它指的是从组合中减少一项资产对组合VAR值的影响，负的局部VAR值表示的是当组合去掉一项资产后，组合VAR值减小的数量。一般而言，边际VAR对控制增量风险较为有效，而局部VAR对存量风险的控制较为有效。当在控制风险的同时需要增持已有资产的时候，就可以考虑增加边际VAR较小的资产，而如果要通过调整现有组合证券来降低VAR值的时候，就需要减持局部VAR较大的股票。（四）期望尾损失（Expecte

12、d Tail Loss），也称之为条件VAR（Conditional VAR）它是指组合处在超限区间（比如95的置信水平下，尾部5的部分就是超限区间）之内损失的期望值。VAR值说明的是在给定的置信水平上最为严重的损失程度，超过这个置信水平后的超限区间内的损失也相应会超过这个VAR值，VAR本身并不说明这一尾部超限区间内损失的状况。两个组合的VAR值相同，但尾部风险却可能相差很大。期望尾损失能弥补VAR值在反映尾部风险方面的不足。如果期望尾损失与VAR值的差值越大，就说明该组合（或证券）损益分布的肥尾性就越强，风险在相同的VAR水平上也就更高。四、VAR风险分析法的特点VAR把对未来损失的大小和

13、该损失发生的可能性结合起来，不仅让投资者知道发生损失的规模，而且知道其发生的可能性，这是随后要介绍的压力测试和情景分析两种市场风险衡量方法所不具备的。该风险衡量方法适用面宽。值只适用于衡量股票价格风险，持续期和凸性只适用于衡量债券和存贷款的利率风险，希腊字母方法只适用于衡量期权等衍生金融工具的风险，但VAR却适用于衡量包括利率风险、汇率风险、股票价格风险以及商品价格风险和衍生金融工具风险在内的各种市场风险，这使得金融机构用一个具体的指标数值（VAR值） 就可以概括地反映整个金融机构的风险状况，大大方便了金融机构各业务部门对有关风险信息的交流，也方便了机构最高管理层随时掌握机构的整体风险状况，非

14、常有利于金融机构对风险的统一管理。另一方面，监管部门也得以对该金融机构的市场风险资本充足率提出统一要求。通过调节置信水平，可以得到不同置信水平上的VAR值，这不仅使管理者能更清楚地了解到金融机构在不同可能程度上的风险状况，也方便了不同的管理需要。VAR是一种用规范的统计技术来全面综合地衡量风险的方法，较其他主观性、艺术性较强的传统风险管理方法能够更加准确地反映金融机构面临的风险状况，大大增加了风险管理系统的科学性。单元二：VAR的计算方法一、计算方法（一）计算VAR的基本框架与方法体系1. 计算VAR的基本框架：风险因子的分解和映射VAR计算的关键问题就是确定资产组合在既定持有期限内损益的概率

15、分布。但是，由于一个投资组合往往由股票、债券和外汇等不同种类的资产组成，对这些资产的风险因子都有风险暴露，因此投资组合的损益概率分布往往难以直接获得。加之投资组合本身也经常处在动态调整之中，这更增加了直接获得投资组合损益分布的难度。在VAR计算实践中，常见的方法是根据投资组合不同的风险暴露，即影响投资组合损益变化的风险因子，对投资组合进行风险因子分解，然后运用统计方法估计出每个风险因子本身的概率分布函数，同时计算出整个组合对该风险因子变动的敏感度，从而利用敏感性分析将风险因子变化与组合价值变化联系起来。这种思想可以表示为：投资组合的VARPSR 式（15.1）其中，P表示投资组合对该风险因子暴

16、露头寸的市场价值，S表示投资组合对该风险因子的价格敏感度，R表示风险因子（如利率、汇率和股票价格指数等）本身的波动性，即不利变动。目前金融市场上的风险因子主要可以分为八大类：利率、信用价差（Credit Spread）、股票价格指数、外汇汇率、风险因子波动率、商品远期价格、宏观经济因素和行业指数。将风险因子变化值转化为组合价值变化的过程就叫作风险映射（Risk Mapping）。首先找出金融工具对应的风险因子，然后利用蒙特卡罗模拟或者历史模拟分析这些风险因子的价格走势，最后用一个定价函数将风险因子的价值映射到金融工具价值上，得到每个金融工具的损益值，并计算其VAR值。风险映射的思想很像主成分分

17、析，将所有影响金融工具价值变化的因素归结到由几个主成分因素上，只要得到了这几个主成分因素的变化的概率分布函数就可以计算出所有金融工具的变化，从而避免了大量的模拟和运算。 可见，求解某个投资组合的VAR可以分解为两个基本步骤：一是求解组合价值对于每个风险因子的敏感度指标；二是求解每个风险因子变动的概率分布，即风险因子本身的VAR。2. 计算VAR的方法体系潜在损失是由风险因子的敞口造成的，同时也取决于这些风险因子的分布。所以，风险管理系统的结构可以通过二分法进行分解：分别对风险敞口和风险因子的分布进行建模。对风险敞口的建模可以分为两类。第一类方法运用局部估值。局部估值法（local-valuat

18、ion methods）是通过对投资组合的初始头寸进行估值，并运用局部衍生头寸来推断大约变化。在这一类方法中，德尔塔正态法（delta-normal method）运用线性敞口，即德尔塔敞口，并假设其服从正态分布。有时也将它称为方差一协方差法（VARiance-coVARiance method），如果投资组合对少量风险因子有敞口，常会用到二阶衍生头寸来进行衡量。第二类方法运用完全估值法。完全估值法（full-valuation method）在一系列情景下对投资组合进行完全重新定价来衡量风险。对风险因子的建模方法可以分为两类：参数方法和非参数方法。参数方法就是假设风险因子服从一定的概率分布函

19、数，然后利用这种分布的特征来分析风险因子的变化情况，从而算出VAR值。目前主流的参数方法都是假设风险因子服从正态分布，因为正态分布有良好的统计特征。非参数方法就是不假设风险因子的分布函数，而是通过对风险因子的历史数据或随机数据进行模拟并映射到金融工具上来得到组合收益的分布，目前最流行的模拟方法是历史模拟和蒙特卡罗模拟。（二）参数VAR ：德尔塔正态法及其波动性估计参数法假定风险因子收益的变化服从特定的分布（通常是正态分布），然后通过历史数据分析和估计该风险因子收益分布的参数值，如均值、方差、相关系数等，从而根据公式（15.2）得出整个投资组合收益分布的特征值。 式（15.2）公式（15.2）中

20、，表示在正态分布下给定概率所对应的标准差数目，表示整个投资组合收益的标准差，、表示风险因子i和j的标准差，表示风险因子i和j的相关系数，表示整个投资组合对风险因子i变化的敏感度，有时被称为Delta 。从上述公式可以看出，参数VAR分析可以分为两个步骤，一是分析投资组合对每个风险因子的敏感度，二是分析风险因子本身的波动性和相关性。要用参数法算出VAR值，最重要的是对风险因子波动的标准差进行估计。在金融经济学中，波动性是用收益率的标准差而不是价格的标准差来衡量的。因为普遍认为收益率呈现均值回复（Mean Reversion）的趋势，而价格的波动是随机游走的，不利于统计分析。估计风险因子收益率标准

21、差的模型主要有以下几种。1. 移动平均波动性模型波动性估计的最简单的方法是移动加权平均模型（Moving Weighted Average Method，MWAM）。MWAM假定产生回报的随机过程是独立同分布的，并且在计算中采用等权重的移动平均。用表示Tn期到T1期的收益率数据的标准差，那么， 式（15.3）其中是的期望值，是第t期的收益率，而表示Tn期到T1期的平均收益率。大量的市场波动性实证预测表明，假定0的时候，往往有更好的预测结果。在波动性和相关性估计的时候，都假设0，这样方差的估计式就变成： 式（15.4）NWAM采取的等权重的移动平均在应用中存在许多缺陷。仅仅某一天的一个不正常收益

22、就会对波动性的估计产生长时间的影响，只要该波动仍然包括在计算数据窗口中，用移动平均估计的波动性就会一直持续在高水平上，而实际的波动性很可能早就恢复到了正常水平，这种现象被称为“幽灵效应”。换句话说，从冲击事件发生到此后的N天内（N为数据窗口），该冲击都会像幽灵一般游荡，对波动性产生影响。2. 指数加权移动平均模型对简单移动平均的一个补充就是指数加权移动平均模型（Exponentially Weighted Moving Average，EWMA），该模型认为不同时期的历史收益率数据在波动性的预测过程中所占权重并不相同，距当前时间越远的数据所占的比重越小。J.P.摩根银行的RiskMetrics

23、技术文档中引入了一个参数决定权重的分配，被称为衰减因子（Decay Factor）。RiskMetrics所取的衰减因子在一天的持有期间内是0.94，在一个月内是0.97。波动性的指数移动平均估计公式为： 式（15.5）这就是利用指数移动平均模型对波动性的估计。在EWMA模型中，只有衰减因子一个参数。对衰减因子的预测一般都采用均方根误差原则（Root Mean Squared Error Criterion，简称为RMSE），就是选取使预测的均方根误差达到最小的衰减因子。3. GARCH模型GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteros

24、kedastic 广义自回归条件异方差模型）是更加常用的一种波动性估计模型，由Engle于1982首先提出并进行建模。与传统事件序列和计量模型不同，GARCH模型没有假设方差不变，而是把条件方差看作是前期误差的函数，也就是说条件方差是随着时间的变化而变化的。GARCH模型中最简单也是最常用的一种形式是GARCH（1，1）模型，它的表达式如下： 式（15.6）其中是长期波动性的权重，且，所以GARCH（1，1）模型只有当时才是稳定的，因为此时是为非负的。在计算出风险因子本身的波动性之后，我们就可以进行VAR的计算，但是由于风险因子之间的相关关系不同，在计算VAR的时候还要根据具体情况区别对待。如

25、果计量的是单因子Delta正态VAR，那么就可以直接用简单的VAR = PSR的形式来计算VAR。这种方法也称为因子推动方法。如果计量的是多风险因子Delta正态VAR，那么就必须考虑风险因子之间的相关性问题。在双因子的情况下，采用公式计算，其中是两个风险相关因素的相关系数。如果扩展到对于n个风险因子的计算，那么考虑到所有风险因子之间的相关关系，我们采用公式来计算整个资产组合的VAR值。如果把这个思路用矩阵的形式写出来，我们得到公式，其中V代表n个单因子VAR的行向量，C为每一因子间的N*N相关矩阵，T代表转置运算符号。（三）非参数VAR：历史模拟法参数法最大的缺点就是它不能真实的反映投资组合

26、在分布尾部的损失。例如，在过去的84年中，道琼斯工业指数曾经发生过6次大跌，每一次股指都在一天当中下跌了6个标准差的幅度，所以从历史的角度来看，在一天当中下跌6个标准差的概率应该是0.04，但是在正态分布中，6个标准差所对应的概率是，远远小于0.04。所以正态分布假设在很大程度上低估了极端事件的发生概率。历史模拟法是以历史可以在未来重复自身为假设前提，直接根据风险因子收益的历史数据来模拟风险因子收益分布，预测未来变化。在这种方法下，VAR值直接取自于投资组合收益的历史分布，而组合收益的历史分布又来自于将组合中每一金融工具的盯市价值（Mark-to-Market Value）表示为风险因子收益的

27、函数。因此，风险因子收益的历史数据是该VAR模型的主要数据来源。正因为这个原因，历史模拟法的一个重要缺陷就是VAR的估计值对所选用的历史样本期间比较敏感。为数不多的几个极端值就可以很大程度地影响到VAR值，在不同的样本期限中，这些极端值可能变化较大，因而使VAR值变化也较大。例如，在模型的样本空间中是否选入1997年亚洲金融危机期间有关外汇市场或股票市场的数据对以亚洲金融市场为管理对象的VAR模型的预测值有非常大的影响。历史模拟法按照取样方式的不同可以分为简单的历史模拟法和可以重复抽样的历史模拟法。简单的历史模拟直接将历史上的日收益率变化作为模拟过程的一个情景，就是认为过去的市场变化会在将来重

28、演。在应用历史模拟法的时候，不需要对资产的方差和协方差进行估计，因为它们已经被包括在资产的历史收益率中了，因此也体现在所估计的VAR值中，这样就不存在模型风险和参数估计风险。历史数据的任何肥尾和自相关（因为估值是按照时间顺序排列开始的）也都会反映到投资组合的VAR中。简单的历史模拟法面临的一个主要问题就是数据缺乏的问题。通常认为，进行历史模拟所需要的样本数据不能少于1500个，否则就不能进行有效的模拟。即便是相对于持有期为1天而言，这也相当于6年的历史数据要求，而在新兴市场很多的金融品种很难满足这种条件，而另一方面，过多的历史数据无法满足未来情形，因为包括了很多已经过时的消息，而且会违反独立同

29、分布的原则。在这种情况下，可以利用重复取样对简单历史数据模拟进行改进。首先，按照随机可替代的方法等概率地从风险因子的历史收益率数据库中抽取一个收益率，作为该风险因子在未来一个可能的价值变化率（也就是一个历史情景）。然后，抽取出来的收益率数据又被放回在数据库中以供下一次抽样。这样的重复放回取样，就可以用有限的风险因子历史数据得到足够多的历史情景。但是，重复抽样的一个重要假设就是风险因子每天的收益率数据都不相关，否则就是产生数据的系列相关性问题，对模拟结果产生影响。得到所需的历史情景后，就可以用风险映射将历史情景映射到组合当中，得到组合在未来的损益分布，并计算1、5等分位点处的VAR值。重复抽样在

30、一定程度上减轻了进行历史模拟时历史数据缺乏的问题。（四）非参数VAR：蒙特卡罗模拟法蒙特卡罗模拟法（Monte Carlo Simulation）又称随机模拟法。该方法的基本思路是从不同风险因子的分布中随机抽样，由这些随机抽样的值产生一个模拟的损益值，重复上述过程（成百上千甚至数万次）就会产生一系列损益值的分布，重复的次数越多，模拟结果就与实际情况越相近。蒙特卡罗模拟法的计算精度与抽样点数成正比，需要较大的计算量才能达到较高的计算精度。蒙特卡罗模拟模型与历史模拟的理念基本相似，最大的不同是资产的收益率不是取自历史数据，而是用计算机模拟出来的。模拟时首先要为风险因子选择一个随机过程，该随机过程决

31、定风险因子在未来的价格走势，这样就得到风险因子未来的价值状态，将其作为一个情景。然后用定价公式将风险因子价值变化映射为金融工具的损失，就得到了金融工具在一种蒙特卡罗情景下的损益情况。再将该过程重复多次，可以得到关于金融工具一系列的损益分布。在得到直方图之后，在分布图上设定不同的置信区间，就可以得到相应置信区间下的VAR值。进行蒙特卡罗模拟最关键的一步就是选择合适的随机模型来模拟风险因子的价格路径。对风险因子价格的路径进行蒙特卡罗模拟无一例外的都要运用随机过程，也就是通过指定风险因子随时间变化的规律来预测风险因子在未来时点上的分布。金融工具价格的随机模型主要可以分为两类：一类是存在均值回复（Me

32、an Reversion）的模型（如对固定收益债券适用的CIR、Vasicek模型等），模型变量会随着到期日的临近而回归到某一水平；另一类就是不存在均值回复的模型（比如对股票、外汇等适用的GBM模型），其变量会按着一定的规律进行随机漫步（Random Walk）。（五）参数法和非参数法的比较1. 假设条件不同。参数方法的实质是假设风险因子的收益率服从正态分布，其重点是波动性和相关性的估计。但这种假设的缺点在于风险因子收益率在现实中不一定服从正态分布，已有研究表明风险因子收益率分布在许多情况下呈现出明显的尖峰、厚尾的特征，所以在计算VAR值之前，要对正态分布假设进行检验，在不满足正态分布的时候，

33、就要选用其它的分布函数。而非参数方法则是假设风险因子价值在未来是按照一定的模拟过程进行变化，再通过风险映射将风险因子价值的变化映射到资产组合上，得到资产在未来损益的分布，重点在于模拟过程的设定。其中，历史模拟假设风险因子在未来的变化和过去一样，蒙特卡罗模拟则假设风险因子服从随机过程。2. 复杂程度不同用参数法计算VAR时，主要是估计风险因子的波动性和相关性，计算量比较小，并且容易理解。简单的历史模拟法直接将历史收益分布应用到未来，所以非常直观和容易计算，但是对样本数据的依赖性很大，一些极端情况下的历史数据用来对未来收益率的模拟，不但不会提供有益的参考，反而可能会导致较大的误差。蒙特卡罗法适用的

34、范围广，计算结果比较准确，但是计算量大，且模拟时对资产价格所服从的随机过程有选择性，存在模型风险。但是随着计算机科学技术的发展，蒙特卡罗方法会越来越成为主流的方法。3. 模型覆盖的范围不同非参数方法是一个总体定价模型，可以覆盖投资组合全面的风险特性，而参数方法是一个局部定价模型，只能够覆盖组合有限的风险特性。对于非参数方法，风险因子的每次波动和对组合的各种影响，不管是线性的还是非线性的，都可以模拟出来，同时给组合中的所有资产重新定价；而参数法由于事先给定了收益率的概率分布，所以在计算市场因素对组合资产影响的时候，只能考虑两者之间的线性关系。这一点非常重要，因为许多单个资产的和风险因子之间关系是

35、非线性的，比如说期权，基础资产价格的变化和期权价格的变化并不是线性关系，用参数法来估计期权的风险就会低估期权的实际风险，因为参数法只能计算出期权的一阶线性风险，而忽略了期权的二阶以及多阶的风险。而用非参数方法度量期权风险时则不存在这种问题，因为非参数法直接用定价公式（比如布莱克斯格尔斯模型）将期权价格和基础资产价格联系起来，然后通过使用不同的模拟方法得到基础资产价格未来的不同变化趋势，再通过布莱克斯格尔斯模型将基础资产价格的变化映射到期权价格变化上，从而得到期权在未来的风险分布状况，所以非参数法能够全面的度量基础资产对期权价格的各种影响。4. 结果的解释能力不同参数法和非参数法都依赖于历史数据

36、的选择。参数法是利用历史上的数据来估计数据之间的相关性和波动性，作为未来收益变动的基础，所以会如果遇到数据选择不好，就会反映到收益率的波动异常上，如上文中讨论到的幽灵效应。同时，参数法对分布的假设往往和实际中的不一致，会经常出现尖峰肥尾的问题。非参数法中，历史模拟法直接将历史上的收益率作为未来收益率的重要基础，所以该方法受到历史数据样本的影响最大，如果选择的历史数据不恰当，结果就会产生很大的偏差。相对而言，蒙特卡罗模拟对历史数据的依赖性相对较小，它只对历史数据的初始数据敏感（根据选择随机模型的不同，也可能会对波动性敏感），所以蒙特卡罗选择不同的数据样本对模拟的结果影响可能不大，但是它依赖于随机

37、过程的选择。表15.1描述了每种方法的优劣，方法的选择在很大程度上取决于投资组合的构成。对于不包含期权以及分布接近正态的投资组合来说，德尔塔正态法也许是最佳选择。VAR可以被相对容易地计算出来，方便快捷又不失精确。此外，这种方法也不易产生错误假设或者模型风险，同时也很容易向管理层或者公众解释VAR的结果。这是因为德尔塔正态法是解析的，它可以将VAR分解为边际VAR和成分VAR。然而，对于含有期权的投资组合来说，这种方法就不适用了，取而代之的是完全估值法。表15.1 各种VAR方法的比较第二个方法是历史模拟法，它的应用同样比较简便，可以对所有证券进行完全估值。然而，这一方法依赖于一个狭窄的窗口，

38、因而VAR的估计可能会出现较大偏差。理论上，蒙特卡罗模拟法能够解决所有这些困难，它能够涵盖非线性头寸、非正态分布，甚至可以使用用户自定义的情形。然而，为取得这种灵活性所付出的代价也是很大的。对计算机和数据的要求比上面两种方法高得多，模型风险也趋于增大，VAR也失去了其直观上的吸引力。但是随着计算成本的下降，这种方法的重要性逐渐提高了。实际中，所有这些方法都得到了应用。最初，银行出于简便的目的使用德尔塔正态法。现在，许多机构使用窗口长度为14年的历史模拟法，再通过压力测试作为补充，帮助减少在风险管理系统中的盲点。（六）期权头寸的VAR由于期权的特征，持有期权的收益与损失是非对称的。这种非对称的特

39、性使得投资者对于基础资产发生变化所作出的反应是非对称的，这就使得估计期权头寸的VAR存在一些问题。第一，基础资产的价格和期权的价值是非线性的；第二，这一关系也是非单调的，这就是说期权头寸的极端损失并不随着基础资产的极端变化而发生；第三，期权的价格还暴露在其他风险当中，例如到期时间、隐含波动率的水平等等。1. 线性现在我们来概括对于简单期权头寸的VAR公式。在正态分布假设下，标的资产的VAR是： 式（15.7）式中，对应于确定的置信水平，例如在95%的置信水平下，=1.645接下来，我们将资产价格的变动和期权的变动结合起来。考虑一个看涨期权的多头头寸，它的是正的：dc= *dS期权的VAR是正数

40、（dc）= - dc=*（-dS）=* VAR（dS）。一般的，期权的线性VAR是：2. 二阶接下来，我们使用泰勒近似的方法考虑非线性效用。 式（15.8）当衍生工具的价值是标的风险因子的递增函数时，我们可以使用泰勒展式去寻找风险因子S最坏变动导致f的坏变动。例如，对于一个看涨期权，当标的价格下降VAR（dS）时达到了最坏价值。期权的二阶VAR是： 式（15.9）因为这个方法对delta正态VAR提供了解析的二阶调整，所以它被称为delta-gamma。遗憾的是，这个简单的修正只在收益率函数是单调的时候才起作用。也就是说，期权价值f和S之间存在一对一的关系。期权多头头寸具有正的gamma值，因

41、此比线性模型具有较低的风险。相反的，负的gamma值会导致二阶VAR高于线性VAR。为了避免我们认为这样的期权需要复杂的风险管理方法，最重要的是非线性的程度。下图表示的是一个成熟期为3个月的看涨期权的风险。从图中可以看出，非线性的程度也依赖于时间范围。当VAR的时间范围是2个星期时，S的取值范围就非常小。如果S服从正态分布，期权的价值就接近于正态分布。但是，如果VAR的时间范围是2个月，风险暴露的非线性特征和价格大范围的波动，就会带来具有严重偏度的分布。图15.1 偏度与VAR时间范围因此，对于普通期权，只要VAR的时间范围较短，线性近似是足够的。对于更奇异的期权或者较长的VAR时间范围，风险

42、经理则需要考虑非线性特征。二、极限理论和连接函数风险价值通常假设收益是服从正态分布或者对数正态分布的，而忽略了实际中存在的厚尾现象。极端值理论作为统计学的一个分支就是负责分析和解释极端事件的。在分布中存在的偏度和峰度预示着中心极限定理是无效的，中心极限定理应该被应用在分布的中心地带，而不是尾部。但是在现实中尾部风险往往是不可忽略的。对于极端值理论来说，其之所以能够描述多种概率分布的尾部状态，是因为它主要的一个结论。若是变量的累积分布函数，而是处于右端尾部分布的一个截点，当变量超过截点并且在之前，因此，其概率为，在这种情况下条件概率为，这就是我们需要研究的尾部分布情况。对于这个分布的研究，Gne

43、denko于1943年证明这样一个概率分布随着的增加趋向于广义的Pareto分布，其分布累积函数为： 式（15.10）在这个分布中，正态分布情况下，其尾部以指数速度消失。而对于金融数据表现出的，就是相应的后尾现象。而在Copula函数部分讨论过的Gumbel、Frechet分布族分别对应着和的情况，当时，则为Weibull分布族。在这种分布下，研究变量超过截点的条件下的分布情况被称为临界峰值法。这个尾部分布的形状则取决于和的取值，因此估计这两个参数在这个方法中显的尤为重要。通常估计这两个参数采用极大似然估计的方法。假设如果我们采集n个样本大于u的点，根据Pareto分布函数，我们能够得到相应的

44、概率密度为： 式（15.11）那么在n个样本的情况下，我们需要最优化的似然函数为： 式（15.12）在得到似然函数的情况下，我们就可以根据最大化似然函数的方法估计出和这两个参数。在实际中，极端值理论可以帮助我们量化两个变量：第一：通常我们会定义最大风险承受能力时，会有一个时间期限。因此，通过极端值理论我们就可以估计这一个时间段内的收益。假设我们用来描述这个时间段内的收益，我们可以从分布F中得到收益率超过的概率。从数学上来说就是这个式子：。第二：通常我们把VAR作为最大风险损失，极端值理论可以帮助我们定义超过VAR风险损失的期望值，用数学语言来说就是。由于我们可以用之前所说的Pareto分布来研

45、究后尾现象，因此我们能够给出这个超额损失的期望值。除了这种被称为临界峰值法的方法之外，还有一种方法叫分块最大值法，这种方法将样本分成不同的块，确定每块的最大值。这种情况下，最大化的正态化期限分布成为广义极值分布，这种方法会使得分块内的某些超过标准的值被忽略，因此对数据的使用就不够充分。以上描述的是一种资产的极端值风险情况，如果要度量一个资产组合的极端值情况，那么就需要去研究资产之间的相关结构。这里就可以里用前面讨论过的连接函数，即Copula函数。这主要是因为资产组合的波动情况不能够简单的把组合内不同资产的波动情况相加而得到。通过连接函数，我们能够度量整个资产组合波动的概率分布，然后根据其资产

46、组合资产的变动情况，计算其最大风险损失。三、期望损失模型及VAR非次可加问题对于VAR的描述是机构所能承担的最大的损失，那么估计机构可能存在的损失额相对于VAR的大小就是非常重要的一件事。为了从统计上研究这个问题，我们仍然沿用VAR中置信区间的概念。因此我们提出期望损失模型（Expected Shortfall，ES）作为度量风险的工具，按照如下公式进行计算： 式（15.13）这个公式所描述的就是在一定置信水平下，资产承受的损失超过VAR的期望值是多少，这有助于帮助风险管理者更好的了解银行潜在风险状况，以及VAR相同但是潜在巨额风险不同的部门的风险状况。除此之外，这一模型可以在一定程度上解决V

47、AR模型的非次可加性问题。次可加性是指这样一种性质。如果风险度量g具有次可加性，那么对于任何组合有 式（15.14）在计算VAR时，我们容易得到单个资产的结果，但是当进行资产组合的VAR计算时，这一风险度量指标的次可加性在大多数情况就不符合了。如果回报率的分布是多元正态分布或者其联合分布是椭圆分布时其次可加性也是成立的，在其他分布情况下这一结论则不成立。和VAR这一度量方法比，期望损失模型则具有次可加性。因此这一模型是对VAR计量方法的重要补充，尤其当资产的回报率不是椭圆分布时这一度量方法的重要性就凸显出来了。四、VAR和风险预算在投资管理中的分析正如前面所提到的当我们对整个资产组合进行研究时

48、，VAR并不是呈现线性关系，而是服从复杂的联合概率分布形式。对应于N中资产，并且以R表示收益率的组合分收益形式为： 式（15.15）通过计算可以得到其方差为，其中为第i种资产的权重，是第i种资产的波动率的平方。延续我们之间的一般性的假设，即收益率的分布服从正态分布，如果我们将VAR中考虑的置信区间转化为正态分布的标准差，那么我们就可以得到投资组合的VAR为： 式（15.16）其中，投资组合收益率的方差为，是N种资产的协方差矩阵。更一般的讨论，投资组合的风险为：，其中为资产之间的相关系数。从这个公式中，我们可以看出当N趋向于无穷大时，资产组合的方差接近。在对资产组合的VAR有了初步的了解之后，有

49、必要寻找一种方法衡量投资组合头寸变化时VAR的变化情况，用VAR来进行日常风险管理。为此，我们提出边际VAR、增量VAR和成分VAR的概念。边际VAR研究资产组合中某一资产头寸变化时，VAR的变化情况。通过资产组合的方差对某一资产权重求导，我们得到如下公式： 式（15.17）因此根据前面对组合VAR的计算方法，我们可以得到： 式（15.18）这就是边际VAR，它表示了组合中某一资产增加一定值时，组合VAR的变化。考虑到CAPM模型中我们提出的，可以对边际VAR公式进行变形，我们有 式（15.19）因此，我们能够通过边际VAR轻易地通过改变资产头寸改变资产组合的VAR的大小，从而达到控制风险的目

50、的。以上的边际VAR的方法采用导数计算方法来衡量的是很小的头寸的变化。如果新头寸变化比较大时，那么需要采用新的方法进行衡量，这里就是增量VAR。研究增量头寸对VAR的影响，我们直观上想到的应该是通过计算两种情况下的VAR，然后作差来得到增量VAR。这个过程可以用等式增量来描述。但是在实际操作过程中，这种方法的计算量太大，因此我们用泰勒公式展开VAR，并且取前两项进行近似，这样精度虽然有所降低，但是计算方法却可以简化很多。鉴于此我们得到以下公式： 式（15.20）根据这个公式增量，我们就可以计算资产组合发生较大变化时，VAR的变化情况。在研究了资产组合头寸变化对VAR的影响之后，我们有必要研究资

51、产组合中不同资产对整个组合风险的影响状况。在这里由于资产之间的关系比较复杂，我们不能够直接研究单个资产的VAR对整个资产组合VAR的影响程度。为此，我们引入成分VAR进行讨论： 式（15.21）考虑到边际VAR衡量的是每种资产对现有投资组合风险的贡献，那么成分VAR则表明如果某个构成成分从资产组合中被剔除掉，这个资产组合的VAR怎样变化。在有成分VAR这个概念之后，我们能够得到： 式（15.22）同时，我们也可以利用成分VAR的概念得到成分i的VAR的贡献率为，到现在为止，我们就对资产组合的VAR有了一个基本的认识。根据以上对VAR的认识，下面我们探讨一下VAR在投资管理中的作用。从投资管理的

52、角度来说，VAR适用于期限短、周期快的交易环境。而对于长期投资的资产组合，这种方法则不适用。因此，VAR在银行交易资产组合中的逐日风险度量中的重要性就凸显出来。在资产管理投资风险中，我们主要面临着两类风险：绝对风险和相对风险。绝对风险是指在某一时期内资产发生实际损失的风险。而相对风险是指某一时期内资产相对于基准点发生的损失。相应的相对收益率的跟踪误差就是，如果E是正态分布的，我们就能够得到相应的VAR，。对于某一资产组合的风险研究，我们也可以采用分解资产组合VAR的方法进行研究，通常我们分解为政策搭配风险和积极管理风险。政策搭配风险是指资产组合内资产的选择而造成的风险情况。而积极管理风险则是由

53、于各个管理者进行操作而使得资产组合与总体政策搭配不符而产生的风险。在实际中，我们常常把资产组合的风险分解为政策搭配的VAR，积极管理的VAR和联合的VAR进行研究，这是对我们VAR理论的有一个应用。在管理资产组合筹资风险中，我们主要考虑资产收益率减去负债收益率的盈余。这个问题主要是由于当盈余S为负值时，管理者必须再去筹资，这就产生了筹资的风险。而这个风险通过VAR方法是可以模拟的，我们可以确定在一定置信区间内VAR的取值。此外，在资产组合管理中，VAR还运用在风险的监管和控制上。VAR是基于历史数据或者是模拟而计算出的，投资者常常运用VAR来检测短期风险是否偏离长期目标。通过成分VAR、政策选

54、择VAR和积极管理VAR的分解，投资者能够迅速捕捉到与已定政策相偏离的行为。我们还可以通过控制VAR的大小来配置资产组合。因此VAR方法在资产管理中的作用十分重大。参考文献：1 FRM，菲利普乔瑞 （Philippe Jorion） （作者）, 李朝气 （注释 解说词）, 王博 （译者）, 刘伟琳 （译者）, 赵文荣 （译者），金融风险管理师考试手册（第6版），中国人民大学出版社，2012.2 张国胜 （作者）著，金融风险计量及其在我国的应用，北京交通大学出版社，2010.3 美 莫里森著；汤大马，李松译；汤大马校，金融风险度量概论 Fundamentals of risk measurement，清华大学出版社，2009.4 加 约翰 C.赫尔（John C.Hull）著；加 王勇，加 董方鹏译，风险管理与金融机构（原书第3版），机械工业出版社，2014.5 陈忠阳，金融机构现代风险管理基本框架，中国金融出版社，2006.6 安东尼桑德斯（Anthony Saunders）,，马西娅米伦科尼特（Marcia Millon Cornett），王中华，陆军译，金融风险管理，人民邮电出版社，2012.7 菲利普乔瑞（Philippe Jorion）著，王博，等译，金融风险管理师手册，中国人民大学出版社，2012.