平均指标的意义与特点

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1、第五章第五章 平均指标平均指标第一节第一节 平均指标的意义和特点平均指标的意义和特点n一、平均指标的概念一、平均指标的概念n 同质总体某一标志在一定时间、地点、条同质总体某一标志在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平，是总体的代表值，件下所达到的一般水平，是总体的代表值，它描述分布数列的集中趋势。它描述分布数列的集中趋势。n二、平均指标的特点二、平均指标的特点n1、同质性、同质性n2、代表性、代表性n3、抽象性、抽象性n三、平均指标的作用三、平均指标的作用n1、可以比较同类现象在不同单位、不同地区、可以比较同类现象在不同单位、不同地区间的平均水平。间的平均水平。n2、可以比较同类现象在不同时

2、期的平均水平。、可以比较同类现象在不同时期的平均水平。n3、可用于研究事物之间的依存关系。、可用于研究事物之间的依存关系。n4、利用平均数还可以进行推算和预测。、利用平均数还可以进行推算和预测。四、平均指标的种类四、平均指标的种类n算术平均数算术平均数n调和平均数调和平均数 数值平均数数值平均数n几何平均数几何平均数n众数众数 位置平均数位置平均数n中位数中位数第二节第二节 算术平均数算术平均数n一、算术平均数的概念一、算术平均数的概念n 算术平均数是总体各单位某一数量标志的平均数。算术平均数是总体各单位某一数量标志的平均数。n 算术平均数算术平均数=标志总量总体总量标志总量总体总量n二、算术

3、平均数与强度相对数的比较二、算术平均数与强度相对数的比较n1、概念不同。强度相对数是两个有联系而性质不同的总体对比、概念不同。强度相对数是两个有联系而性质不同的总体对比而形成相对数指标。算术平均数是反映同质总体单位标志值一而形成相对数指标。算术平均数是反映同质总体单位标志值一般水平的指标。般水平的指标。n2、主要作用不同。强度相对数反映两不同总体现象形成的密度、主要作用不同。强度相对数反映两不同总体现象形成的密度、强度。算术平均数反映同一现象在同一总体中的一般水平。强度。算术平均数反映同一现象在同一总体中的一般水平。n3、计算公式及内容不同。算术平均数分子、分母分别是同一总、计算公式及内容不同

4、。算术平均数分子、分母分别是同一总体的标志总量和总体单位数，分子、分母的元素具有一体的标志总量和总体单位数，分子、分母的元素具有一 一对应一对应的关系，即分母每一个总体单位都在分子可找到与之对应的标的关系，即分母每一个总体单位都在分子可找到与之对应的标志值，反之，分子每一个标志值都可以在分母中找到与之对应志值，反之，分子每一个标志值都可以在分母中找到与之对应的总体单位。而强度相对数是两个总体现象之比，分子分母没的总体单位。而强度相对数是两个总体现象之比，分子分母没有一有一 一对应关系。一对应关系。三、算术平均数由于掌握的资料不同和计算上的三、算术平均数由于掌握的资料不同和计算上的复杂程度不同，

5、可分为简单算术平均数和加权算复杂程度不同，可分为简单算术平均数和加权算术平均数。术平均数。n1、简单算术平均法、简单算术平均法n 计算公式：计算公式：n 其中：其中： 代表算术平均数，代表算术平均数，xi代表各单位标志值代表各单位标志值（变量值），（变量值），n代表总体单位数（项数）。代表总体单位数（项数）。n采用条件：当统计资料未分组时可用简单算术平均法采用条件：当统计资料未分组时可用简单算术平均法计算；如果是组距式资料计算；如果是组距式资料,则要计算组中值作为代表标则要计算组中值作为代表标志值进行计算。志值进行计算。nxxn1nx.xxXn1iin21X例：某公司下属各店职工按工龄分组情况

6、例：某公司下属各店职工按工龄分组情况 工龄组中值 x 人 数 f一店二店三店四店五店02年2 5年5 10年10 20年1.03.57.515.011117777252525251361010631合计 4281002020平均工龄 6.756.756.7510.3253.425n2、加权算术平均法、加权算术平均法n计算公式：计算公式：n其中：其中： 代表算术平均数，代表算术平均数，x 代表各单位标志值（变代表各单位标志值（变量值），量值），f 代表各组单位数（项数）。代表各组单位数（项数）。75. 64155 . 75 . 31nx一店平均工龄fxff.fffx.fxfxXn21nn2211

7、Xn一、二、三店人数相差很远，但平均工龄相等。一、二、三店人数相差很远，但平均工龄相等。n四、五店人数相等，但平均工龄相差很大。四、五店人数相等，但平均工龄相差很大。n结论：平均数水平高低受两个因素的影响：结论：平均数水平高低受两个因素的影响：n （1）变量）变量 xn （2）权数）权数 f，绝对权数表现为次数、频数，相对，绝对权数表现为次数、频数，相对n 权数表现为频率。权数表现为频率。)(425. 3205 .681361011535 . 765 . 3101fxf年五店平均工龄四、算术平均数的若干数学性质四、算术平均数的若干数学性质n1、平均数与总体单位数的积等于标志总量、平均数与总体单

8、位数的积等于标志总量n2、若每个变量值、若每个变量值 X 加减一任意常数加减一任意常数 ，则平均数也增减一个，则平均数也增减一个 。n3、若每个变量值、若每个变量值 X乘以一任意常数乘以一任意常数 ，则平均数也乘以一个，则平均数也乘以一个 。n4、若每个变量值、若每个变量值 X除以一任意常数除以一任意常数 ，则平均数也除以一个，则平均数也除以一个 。n5、各个变量值、各个变量值X与算术平均数与算术平均数 的离差和为零。的离差和为零。n6、各个变量值、各个变量值X与算术平均数与算术平均数 的离差平方和为最小值。的离差平方和为最小值。xnXnxXXX交替标志平均数交替标志平均数n1、概念：交替标志

9、又称是非标志，它是一个只有两、概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有种答案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、不合格品等就可用是非标志来反映。合格品、不合格品等就可用是非标志来反映。n2、表示形式：、表示形式：n1：具有某种属性的单位标志值。：具有某种属性的单位标志值。n0：不具有某种属性的单位标志值。：不具有某种属性的单位标志值。nN：全部总体单位数。：全部总体单位数。nN1：具有某种属性的总体单位数。：具有某种属性的总体单位数。nN2：不具有某种属性的总体单位数。：不具有某种属性的总体单位数。nP= N1 /N：具有某种属性的单

10、位数所占的比重。：具有某种属性的单位数所占的比重。nQ= N2 /N：不具有某种属性的单位数所占的比重。：不具有某种属性的单位数所占的比重。n其中：其中：P+Q=1n3、平均数、平均数PNNNNN0N1fxfX12121第三节第三节 调和平均数调和平均数n一、调和平均数的概念及计算方法一、调和平均数的概念及计算方法n调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。数的倒数。)(fx1fffx11H)(x1nnx11H加权平均式简单平均式n二、调和平均数与算术平均数的比较二、调和平均数与算术平均数的比较n变量不同：算术平均数是变量不同：算术平

11、均数是x，调和平均数是，调和平均数是 1/x 。n权数不同：算术平均数是权数不同：算术平均数是f或或n，代表次数（单位数），代表次数（单位数），调和平均数是调和平均数是xf或或M，代表标志总量。，代表标志总量。n联系：调和平均数作为算术平均数的变形使用：联系：调和平均数作为算术平均数的变形使用：x1HMx1MxxfMxfx1xfxxfxffxfxxxff则令三、应用调和平均数应注意问题三、应用调和平均数应注意问题n1、变量、变量x的值不能为的值不能为0。n2、调和平均数易受极端值的影响。、调和平均数易受极端值的影响。n3、要注意其运用的条件。、要注意其运用的条件。例题例题n例一例一 水果甲级每

12、元水果甲级每元1公斤，乙级每元公斤，乙级每元1。5公斤，丙级每元公斤，丙级每元2公斤。问：公斤。问：n（1）若各买）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？公斤，平均每元可买多少公斤？n（2）各买）各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？公斤，平均每元可买多少公斤？n（3）甲级）甲级3公斤，乙级公斤，乙级2公斤，丙级公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？公斤，平均每元可买几公斤？n（4）甲乙丙三级各买）甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？元，每元可买几公斤？n例二例二 自行车赛时速：甲自行车赛时速：甲30公里，乙公里，乙28公里，丙公里，丙20公里，全程公里，全程200公公里，问三人平均时速是多少？

13、若甲乙丙三人各骑车里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2小时，平均时速小时，平均时速是多少？是多少？n解：例一n（1）n（2）n（3）n（4）)/(38. 11667. 23215 . 11113n1nH元公斤)/(38. 10833.145 .195 . 6215 . 65 . 115 . 6115 . 65 . 65 . 6fx1fH元公斤)/(24. 183. 4612125 . 11311123fx1fH元公斤元）（公斤/5 . 1325 . 11nxxn例二)/(2 .2581.23600200201200281200301200200200fx1fH小时公里)/(26615

14、6222220228230fxfx小时公里第四节第四节 几何平均法几何平均法n一、什么是几何平均法？一、什么是几何平均法？n几何平均法是几何平均法是n个变量连乘积的个变量连乘积的n次根。次根。n几何平均法一般适用于各变量值之间存在环比关系的几何平均法一般适用于各变量值之间存在环比关系的事物。如：银行平均利率、各年平均发展速度、产品事物。如：银行平均利率、各年平均发展速度、产品平均合格率等的计算就采用几何平均法。平均合格率等的计算就采用几何平均法。n1、简单几何平均法、简单几何平均法n2、加权几何平均法、加权几何平均法nn1iinn21XXXXG n1iin21fn1ififfnf2f1xxxx

15、G二、应注意的问题二、应注意的问题n1、变量数列中任何一个变量值不能为、变量数列中任何一个变量值不能为0，一个为，一个为0，则几何平均数为则几何平均数为0。n2、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最末、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最末水平的影响。水平的影响。n3、几何平均法主要用于动态平均数的计算。、几何平均法主要用于动态平均数的计算。例题：例题：n 假定某地储蓄年利率（按复利计算）：假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续持续1.5年，年，3%持续持续2.5年，年，2.2%持续持续1年。请问此年。请问此5年内该地平均储蓄年利率。年内该地平均储蓄年利率。%43.103%1001

16、83935. 1%100022. 103. 105. 1G515 . 25 . 115 . 25 . 1该地平均储蓄年利率第五节第五节 众数和中位数众数和中位数n一、众数一、众数n1、众数是指变量数列中出现次数最多或频率最大的、众数是指变量数列中出现次数最多或频率最大的变量值。变量值。n2、适用条件：只有集中趋势明显时，才能用众数作、适用条件：只有集中趋势明显时，才能用众数作为总体的代表值。为总体的代表值。n3、众数的计算方法、众数的计算方法n（1）单项数列确定众数，即出现次数最多（频率最）单项数列确定众数，即出现次数最多（频率最大）的标志值就是众数。大）的标志值就是众数。n（2）组距数列确定

17、众数：在等距数列条件下，先确）组距数列确定众数：在等距数列条件下，先确定众数组，然后再通过公式进行具体计算，找出众数定众数组，然后再通过公式进行具体计算，找出众数点的标志值。点的标志值。计算公式：计算公式：n公式公式1（上限公式）：用众数所在组的上限为起点值的计算公式。（上限公式）：用众数所在组的上限为起点值的计算公式。n公式公式2（下限公式）：用众数所在组的下限为起点值的计算公式。（下限公式）：用众数所在组的下限为起点值的计算公式。nU为众数所在组组距的上限，为众数所在组组距的上限，L为众数所在组组距的下限，为众数所在组组距的下限，f 为为众数所在组的次数，众数所在组的次数，f-1 为众数所

18、在组前一组次数，为众数所在组前一组次数， f+1 为众数所为众数所在组后一组次数，在组后一组次数，i 为组距。为组距。i)ff ()ff (ffUM111oi)ff ()ff (ffLM111o二、中位数二、中位数n1、中位数：将总体单位的某一数量标志的各个数值、中位数：将总体单位的某一数量标志的各个数值按照大小顺序排列，居于中间位置的那个数值就是中按照大小顺序排列，居于中间位置的那个数值就是中位数。位数。n2、计算方法、计算方法n（1）由未分组资料确定中位数）由未分组资料确定中位数n 排序：确定中位数位置排序：确定中位数位置n 奇数：中间位置的标志值为中位数。奇数：中间位置的标志值为中位数。

19、n 偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平均数是中偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平均数是中n 位数。位数。21nOm（2）由分组资料确定中位数）由分组资料确定中位数n第一步：确定中位数所处位置，按第一步：确定中位数所处位置，按 确定确定n（f为次数）。为次数）。n第二步：采用公式计算第二步：采用公式计算n上限法：用上限法：用“以上累计以上累计”法确定中位数。法确定中位数。n下限法：用下限法：用“以下累计以下累计”法确定中位数。法确定中位数。n其中：其中：U是中位数所在组的上限，是中位数所在组的上限，L是中位数所在组的下限，是中位数所在组的下限，fm是中位数所在组的次数，是中位数所在组的次数，

20、Sm+1是中位数所在组后面各组累计数，是中位数所在组后面各组累计数， Sm-1是中位数所在组前面各组累计数，是中位数所在组前面各组累计数，i是中位数所在组的组距。是中位数所在组的组距。2fOmifS2fUMm1meifS2fLMm1me第六节第六节 计算和应用平均数的原则计算和应用平均数的原则n一、只能在同质总体中计算。一、只能在同质总体中计算。n二、总平均数要与组平均数结合运用。二、总平均数要与组平均数结合运用。n三、平均数必须同绝对数和具体事例结三、平均数必须同绝对数和具体事例结合应用。合应用。新老职工平均工资比较基期报告期平均工资增减（%）工资总额（元）职工人数（人）平均工资（元）工作总

21、额（元）职工人数（人）平均工资（元）新职工老职工210000630000 60014003504501155000 49500030001000385495+10+10合计840000200042016500004000412.51.812第七节第七节 几种平均数的关系几种平均数的关系n一、算术平均数、众数和中位数关系一、算术平均数、众数和中位数关系n1、次数分布呈现正态分布：、次数分布呈现正态分布：n2、次数分布呈偏正态分布：、次数分布呈偏正态分布：n（1）右偏分布）右偏分布 （有极大值）（有极大值）n（2）左偏分布）左偏分布 （有极小值）（有极小值）n3、三者推算公式、三者推算公式oemmXXmmeooemmX2mm3X3X2mmX2m3mmX3mXoeoeeoeO二、算术平均数和几何平均数、调和平均数的关系二、算术平均数和几何平均数、调和平均数的关系n1、一般情况下（同一资料为前提）、一般情况下（同一资料为前提）n2、当同一资料所由变量值都相同时、当同一资料所由变量值都相同时XGHXGH