小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

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1、小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是_m-2_和_m+2_ _。2有一种三位数，它能同时被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是_966_，最小的一个是_126_。解题过程：237=42；求三位数中42的倍数126、168、9663小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_9_岁和_16_岁。解题过程：144=222233；（9、16）=14一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中

2、数字3的个数，那么这个四位数是_1210_。52310的所有约数的和是_6912_。解题过程：2310=235711；约数和=（1+2）（1+3）（1+5）（1+7）（1+11）6已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有_11_个。解题过程：2008-10=1998；1998=23337；约数个数=（1+1）（1+3）（1+1）=16（个）其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11（个）7从1、2、3、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？_ 1000 _。解题过程：1，5，9，13，1997（500个） 隔1

3、个取1个，共取250个 2，6，10，14，1998（500个）隔1个取1个，共取250个 3，7，11，15，1999（500个）隔1个取1个，共取250个 4，8，12，16，1996（499个）隔1个取1个，共取250个8黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，那么擦去的奇数是_27_。解题过程：1+3+5+（2n-1）=n2；4545=2025；2025-1998=279一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3。它除以13，商的第200位（从左往右数）数字是_5_，商的个位数字是_6_，余数是_5_。

4、解题过程：33333333313=256410 25641010在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有_18_个。解题过程：能被11整除的条件是：奇数位数字和与偶数位数字和相差为11的倍数； 1位数不满足条件；2位数也不满足条件（各位数字应相等，数字和不等于13）； 应为3或4位数；13=12+1；偶数位数字和=1，奇数位数字和=12时，共有14个； 偶数位数字和=12，奇数位数字和=1时，共有4个；14+4=18（个）11设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：123的反序数是321），则n_1089_。解题过程：千位只能是1；个位只能是9；百位只能是0或

5、1；如百位是1，则十位必须为0， 但所得数1109不满足题意；如百位是0，则十位必须为8，得数1089满足题意12555555的约数中，最大的三位数是_555_。解题过程：555555=35113791；3537=55513设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有_17_种不同的值。解题过程：72=22233；a=72，b=（1+3）（1+2）-1=12-1=11；a=36，b=8或24； a=24，b=9或18；a=18，b=8；a=9，b=8；11+6=1714小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，13。如果从这两个口袋中各

6、拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有_21_个。解题过程：61，2，3，13 共13个； 127，8，9，13=614，16，18，26 共7个；910=615 共1个； 13+7+1=21（个）15一列数1，2，4，7，11，16，22，29，这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推。那么这列数左起第1992个数除以5的余数是_2_。解题过程：a2-a1=1；a3-a2=2；an-1-an-2=n-2；an-an-1=n-1； an-a1=1+2+3+n-1=n（n-1）/2；

7、an= n（n-1）/2+1； a1992=1992（1992-1）/2+1=9961991+1=（995+1）（1990+1）+116两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是_ 20或40 _。解题过程：（a、b）=5；5|a，5|b；a=5，b=45或a=15，b=3517将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是_121_。解题过程：和可能为两位数，也可能为三位数，但肯定是11的倍数，即11的平方。18100以内所有被5除余1的自然数的和是_970_。解题过程：1+6+11+16+91+96=（1+96）

8、202=970199个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多_4_个。解题过程：9个连续的自然数，末尾可能是0-9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5 的一定被5整除，每连续3个自然数中一定有一个是3的倍数，只有末尾是1、3、7、9的数可能是质数于是质数只可能在这5个连续的奇数中，所以质数个数不能超过420如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是_961_。解题过程：自然数的因数都是成对出现的，比如1和本身是一对，出现奇数个因数的时候是因为其中有一对因数是相等的，即这个自然数是完全平方数。1000以内最大的完全平

9、方数是 312=961，所以这个希望数是 96121两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126。这两个数的和是_105或147_。解题过程：126=2123；这两个数是42和63，或21和12622甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是_32_。解题过程： 4 | 36 48=32 364=9 28849=823一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是_560_。解题过程：257=70；702，3，4，13，14=140，210，280，910，98024有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数

10、的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是_30_。解题过程：最小数、最大数均为奇数，中间有一个偶数，4个数和为11，分别为1、2、3、525两个整数相除得商数是12和余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是_30_。解题过程：设除数是X，则12X+26+X+12+26=454；X=3026在123100的积的尾部有_21_个连续的零。解题过程：尾数为5的共10个，尾数1个0的9个，2个0的1个，共21个027有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第5个数的末位数

11、字是_9_。解题过程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、4107、4170 1479、1497、1749、179428一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且他们既能被2整除又能被3整除。甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）的总和是_18_。解题过程：求?36?中能被3整除的偶数；甲为9366，乙为1362；9+6+1+2=1829把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数：1、2、3、9、10、11、12、，把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数：1、2、9、1、0、1、1、1、

12、2、1、3、。则第一串数中100的个位数字0在第二串数中是第_192_个数。解题过程：1-9（共9个），10-99（共180个），100（共3个）30某个质数与6、8、12、14之和都仍然是质数，一共有_1_个满足上述条件的质数。解题过程：除2和5以外，其它质数的个位都是1，3，7，9；6，8，12，14都是偶数，加上唯一的偶数质数2和仍然是偶数，所以不是2；14加上任何尾数是1的质数，最后的尾数都是5，一定能被5整除；12加上任何尾数是3的质数，尾数也是5；8加上任何尾数是7的质数，尾数也是5；6加上任何尾数是9的质数，尾数也是5；所以，这个质数的末位一定不是1，3，7，9；只有5符合31已

13、知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300。那么满足上述条件的自然数a、b、c共有_30_组。（例如a12，b300，c300，与a300，b12，c300是不同的两个自然数组）解题过程：（a，b）=12，a=12m，b=12n（m，n=1或5或25，且（m，n）=1）；a，c=300，b，c=300，c=25k（k=1，2，3，4，6，12）；当m=1，n=1时，a=12，b=12，c=25k当m=1，n=5时，a=12，b=60，c=25k当m=1，n=25时，a=12，b=300，c=25k 当m=5，n=1时，a=60，b=12，c=25k当m

14、=25，n=1时，a=300，b=12，c=25k故有30组32从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行。从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列。那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_1331_。解题过程：111111=133133在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8917，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9716；

15、取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7613，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3。继续这样求和，这样填写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4那么这个数串的前398个数字的和是_1990_。解题过程：1，9，|8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，|8，9，7，6，3，398-2=396；39612=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60；6033+10=1990二、判断题1两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。 （ ）2偶数的个位一定是0、2、4、6

16、或8。 （ ）3奇数的个位一定是1、3、5、7或9。 （ ）4所有的正偶数均为合数。 （ ）5奇数与奇数的和或差是偶数。 （ ）6偶数与奇数的和或差是奇数。 （ ）7奇数与奇数的积是奇数。 （ ）8奇数与偶数的积是偶数。 （ ）9任何偶数的平方都能被4整除。 （ ）10任何奇数的平方被8除都余1。 （ ）11相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。（ ）12任何一个自然数，不是质数就是合数。 （ ）13互质的两个数可以都不是质数。 （ ） 14如果两个数的积是它们的最小公倍数，这两个数一定是互质数。（ ）三、计算题1能不能将（1）505；（2）1010写成10个连续自然数之和？如果

17、能，把它写出来；如果不能，说明理由。解题过程：S=n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+4）+（n+5）+（n+6）+（n+7）+（n+8）+（n+9）=10n+45（一定是奇数）（1）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54（2）1010是偶数，不能写成10个连续自然数之和2（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？解题过程：（1）39984=999（个）2（2）考虑个位，选法有10种;十位，选法有10种;百位选法有10种;选定之后个位、十位、百位数字之和除以4

18、的余数有3种情况，余0、余1、余2、余3，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000个；1000-1=999（个）3请将1，2，3，99，100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，可移至第三行接着写）。解题过程：9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，9915，25，35，55，65，85，9521，35，49，77，9133，55，77，9925，35，55，65，85，95；15，9，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，

19、81，87，93，99；77，91，494一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13。求所有满足条件的自然数。解题过程：设这个数为n，除以9的余数r8，所以除以8得到的商q13-8=5，且q13n=8q+k=9p+r=k=9p+r-8p=9p+r-8（13-r）=9（p+r）-104=4q=5，n=85+4=44q=6，n=86+4=52q=7，n=87+4=60q=8，n=88+4=68q=9，n=89+4=76q=10，n=810+4=84q=11，n=811+4=92q=12，n=812+4=100q=13，n=813+4=1085有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色

20、的卡片各有3张。相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为：92、125、133、147、158、191。老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了。问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？解题过程：设四张卡片上的数从小到大分别为A、B、C、D，则六位同学所计算的分别为A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+D这6个和数，且最小的两个依次为A+B、A+C，最大的两个依次为C+D、B+D。（A+B）+（C+D）=（A+C）+

21、（B+D）=（A+D）+（B+C）；而92+191=283=125+158，133+147=280283；所以，A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147中有一个不正确。若147是正确的，则B+C=147，A+D=283-147=136。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33 = C=90，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101若133是正确的，则A+D=133，B+C=283-133=150。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33 = B=50，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108所以，四种颜色卡

22、片上所写各数中最小数是35或42。6有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。（说明理由）解题过程：设这三个数字从小到大分别为A、B、C，显然，它们互不相等且都不等于0。则222（A+B+C）=2886 = A+B+C=2886222=13百位数为1是最小的，另两个数分别为3和9；所以最小的三位数为1397求小于1001且与1001互质的所有自然数的和。解题过程：100171113121000=（11000）1000250050071421994（7994）1422710711122990（11990）902450451326988（1

23、3988）7623803877+154+231+924=（77+924）122=600691+182+273+910=（91+910）102=5005143+286+429+858=（143+858）62=3003500500710714504538038+6006+5005+30033603608三张卡片，在它们上面各写一个数字（如图）。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。解题过程：2、3、13、23、319一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2

24、，3，5，8，13，21，34，55，。问：这串数的前100个数是（包括第100个数）有多少个偶数？解题过程：1003=33（个）110从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。解题过程：5，17，29，41，5311有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过

25、程）解题过程：(1)如果15号说的不对，那么这个数不能被15整除，则它不能被3或者5之一整除，即3号或者5号说的不对，这与相邻编号两位同学说的不对矛盾！故而这个数能被15整除，同时也能被3和5整除。同理，如果14号不对，那么它不能被2或者7整除，矛盾。即这个数能被14整除，也能被2和7整除；同理，如果12号不对，那么它不能被4整除，矛盾。即这个数能被4和12整除。那么这个数能被2*5=10整除。将2到15中能被整除这个数的数划去，发现编号相邻的只有8和9，即8号和9号说的不对。(2)1号写的数为N。N能被22 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 60060整除，不能被23或者32整除；而又已知N是五位数，故N=60060。12一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a（见短除式（1）。又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，紧后得到一个商是a的2倍（见短除式（2），求这个自然数。解题过程：N=8（8（8a+7）+1）+1=17（172a+15）+4= a=3= N=1993