高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质课件1 新人教A版选修21

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1、第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程2.4.2 2.4.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质.1物线，则这个点的轨迹是抛是常数的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点elFMl.FMd.1.le定点F是抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线，常数 是抛物线的离心率xOyK抛物线标准方程抛物线标准方程0p 是焦准距22ypx1、抛物线的定义：、抛物线的定义：标准方程标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo)0 ,2(pF.yxoF2px)2,0(pF.xoyF2py)0(22ppxy)0 ,2(pF 2px ) 0(2

2、2ppyx)2,0(pF2py 2、抛物线的标准方程：、抛物线的标准方程：方程性质)0( 12222babyax)0, 0( 12222babyax图形范围bybaxa,Ryaxax,或对称性轴及原点对称关于yx,轴及原点对称关于yx,顶点坐标), 0(), 0()0 ,(),0 ,(2121bBbBaAaA)0 ,(),0 ,(21aAaA 叫短轴叫长轴2121,BBAA叫虚轴叫实轴2121,BBAA离心率) 10( ,eace) 1( ,eace3、椭圆和双曲线的性质：、椭圆和双曲线的性质：结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索其的几何性质其的几

3、何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比探索类比探索x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴对称轴又叫抛物线的轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.yxoF(4)离心率离心率(5)焦半径焦半径(6)通径通径e=1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2P方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 =

4、-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它但它没有渐近线没有渐近线;2.抛物线只有抛物线只有一条一条对称轴对称轴,没有对称中心没有对称中心;3.抛物线只有抛物线只有一个一个顶点、顶点、一个一个焦点、焦点、一条一条准线准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率

5、是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔-本质是成比例地放大！本质是成比例地放大！例例1. 顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2, )的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程.2 2 当焦点在当焦点在x或或y轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=mx(m 0) 或或x2=my (m0),可可避免讨论！避免讨论！思考思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？22(,)xy11(,)xy 与直线与直线的

6、倾斜角的倾斜角无关无关! 很奇怪很奇怪!11(,)xy11(,)xy解完后回味一下解完后回味一下, ,这是一个很好的解题习惯这是一个很好的解题习惯, ,利于提高利于提高! !11(,)xy22(,)xyMNMNEKQMNK这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动. 坐标法是一种非常好的证明坐标法是一种非常好的证明, ,你你还有没有其他好方法呢还有没有其他好方法呢? ?本题几何法也是一个极佳的思维本题几何法也是一个极佳的思维! !判断直线与抛物线位置关系的操作程序：判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程

7、得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离总结：总结：方程性质图形范围Ryx , 0对称性轴对称关于x顶点坐标)0 , 0(坐标原点离心率1e)0( ,22ppxy设抛物线方程为：lFMdxOyK焦半径000|,(,)2pMFxM xypAB2|通径一、抛物线的几何性质：一、抛物线的几何性质：方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 y

8、RxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）lFAxyBB1pp1211222(0)( ,)(,)ypx pFA x yB xy00如图所示，弦AB过抛物线的焦点 ，设、，弦AB的中点为P(x ,y ).11BP11111111111从点A、B、P分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A、 、 ，依据抛物线的定义，|AF|=|AA|,|BF|=|BB|所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|,又PP是梯形AA BB的中位线，所以|AA|+|BB|=2|PP|.因此，我们容易得到A1二、抛物线的焦点弦：二、抛物线的焦点弦：120(1)|2(2)ABxxpxpAB以为直径的圆必与准线相切另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组，我们还可以推得以下结论：22(1)|.sinPAB若直线的倾斜角为 ，则2212(2),.4ABpy yp 12、 两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即x x(4)所有的焦点弦中，通径是最短的.12(3)|,|,.AFm BFnmnp1设则lFAxyBB1pp1A1通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值22|sinPAB抛物线的焦点弦的如下性质: