一元二次方程根的判别式的综合应用

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1、一元二次方程根的判别式的综合应用一、知识要点：1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac。定理1 ax2+bx+c=0(a0)中，0方程有两个不等实数根.定理2 ax2+bx+c=0(a0)中，=0方程有两个相等实数根.定理3 ax2+bx+c=0(a0)中，0方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理4 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个不等实数根0.定理5 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个相等实数根0.定理6 ax2+bx+c=0(a0)中，方程没有实数根0.注意：（1）再次强调：根的判别式是指=b

2、2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.二.根的判别式有以下应用： 不解一元二次方程，判断根的情况。例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a0)解：(1) 2x2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,=b2-4ac=32-42(-4)=410方程有两个不相等的实数根。(2)a0,

3、方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，=(-b)2-4a0=b2,无论b取任何关数，b2均为非负数，0，故方程有两个实数根。 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。例2k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知（1）0；（2）=0；（3）0；解：=(-4)2-4(k-5)=16-4k+20=36-4k（1）方程有两个不相等的实数根，0，即36-4k0.解得k9（2）方程有两个不相等的实数根，=0，即36-4k=0.解得k=9（3）方程有两

4、个不相等的实数根，0，即36-4k9 证明字母系数方程有实数根或无实数根。例3求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 证明：=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2不论m取任何实数(m2+2)20, -4(m2+2)20, 即0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ABC为Rt。 证明：整理原方程：方程c(x2+m)+b(x2-

5、m)- 2ax =0.整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0(c+b)x2-2ax +cm-bm=0根据题意：方程有两个相等的实数根，=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0ma2-c2m+b2m=0=m(a2+b2-c2)=0又 m0,a2+b2-c2=0a2+b2=c2又a,b,c为ABC的三边，ABC为Rt。 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）; （2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）

6、;分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即=0解：（1）令16a2+ka+1=0方程有两个相等的实数根，=k2-41625=0k=+40或者-40（2）令ka2+4a+15=0方程有两个相等的实数根，=16-4k=0 k=4 可以判断抛物线与直线有无公共点例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x2m只有一个公共点？解:列方程组消去y并整理得x2+x-m-1=0 ，抛物线与直线只有一个交点，0，即4m+5=0 ( 说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。) 可以判断抛物线与x轴有几个交点分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 （）当y

7、=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形： 当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。当 时，抛物线与x轴没有交点。例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数： （）（）

8、（） 解：（）16-12=40 抛物线与x轴有两个交点。 （）36-36=0 抛物线与x轴只有一个公共点。 （）4-16=-120，即 4m+80 m2 (2)抛物线和x轴只有一个公共点，0，即 4m+8=0 m=2 当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= -1，抛物线与x轴公共点坐标为（-1,0）。 (3)抛物线与x轴没有公共点，0，即4m+82 当m2时，抛物线与x轴没有公共点。 利用根的判别式解有关抛物线（0）与x轴两交点间的距离的问题.分析:抛物线 （0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法：例9: 求当a为何值时?二次函数图象与x轴的两个交点间的距离是3。 解：令y=0，得方程，设这个一元二次方程的两根分别为x1和x2，则由得，即。进而得a=或a=。 当时，图象与x轴两个交点间的距离是3。