浅谈三角函数的图象与性质的教学

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1、浅谈三角函数的图象与性质的教学 江苏省南通市如东县岔河中学 胡文建 邮编226403 摘要：三角函数的图象与性质是高考的热点，涉及的内容包括三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性，这些都是三角函数的核心内容。近年来,各级各类考试命题者不断变换考查的角度,相继推出了许多新颖别致,极富思考性和挑战性的创新题型,给此类问题注入了新的活力。同学们重点要掌握的有关三角函数的知识有：y=sinx，y=cosx，y=tanx的定义域、值域（最值）、周期性、奇偶性、对称性及单调性；y=Asin（x+）+k模型（图象变换、性质）及应用。 关键字：高中数学；三角函数；图像；性质三角函数是高中数学的基本内容

2、之一，三角函数的图象和性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）是三角函数的重点。函数图象是研究函数性质、解决函数相关问题的重要工具。通过解决函数图象问题既能够考查函数性质的掌握情况，也能够通过创设新的情景，考查创新和知识迁移能力，所以是各类考试的热点问题。由于三角函数的图象及性质有许多独特的表现，因此近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。一、已知函数图象求函数解析式方面的问题应用函数图象来解决问题，我们需要增强读图和识图能力，捕捉图象中包含的信息。从图象的交点、极值点、范围、位置、对称轴和对称中心、上升和下降等信息来判断函数的单调性、奇

3、偶性、最值、定义域、值域等性质。已知图象求函数y=Asin(x+)（A0, 0）的解析式，是“五点法”作图的逆向思维问题，解题的关键在于利用图象上的特殊点，确定参变量A、的值。本文就一般情况例析如下。 (一)A值的确定方法：A等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半。(二)值的确定方法： 方法：在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期，然后据，求得的值。 方法：“特殊点坐标法”。特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A与的值之后，可由特殊点的坐标来确定的值。(三)值的确定方法：方法：“关键点对等法”。确定了的值之后，把已知图象上五个

4、关键点之一的横坐标代人x+，它应与曲线sinx上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得的值。此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线ysinx在区间0，2上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2，若设所给图象与曲线y=sinx上对应五点的横坐标为XJ(J1,2,3,4,5),则顺次有x1+0、x2+、x3+、x4+、x5+2,由此可求出的值。方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定的值。方法3：“特殊点坐标法”。（与2中的方法2类同）。(四)k值的确定方法：|K|等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k为正值，下移时k为负值。另外A、的值还可以通过“

5、解方程（组）法”来求得。例如：图1是函数2sin（x+）(，|)的图象，那么正确的是（） .,p, ， ，解：可用“筛选选项法”。题设图象可看作由y2sinx的图象向左平移而得到，所以0排除B和D，由A,C知；值的确定可用“关键点对等法”，图1因点（,0）是“五点法”中的第五个点，+2，解得，故选C。又如：图2是函数yAsin(x+)图象上的一段,（A0，0,（0，）,求该函数的解析式。解法一：观察图象易得A2,T2（-），2,y2sin(2x+)。下面用“关键点对等法”来求出的值,由2+（用“第三点”），得，所求函数解析式为y2sin(2x+)。说明：若用“第二点”，可由2+求得的值；若用“

6、第五点”，可由2+2，求得的值。解法二：由解法一得到T=，=2后，可用“解方程组法”求得与A的值，点（0，）及点（，0）在图象上，由(2)得，k-(kZ)，又（0，)，只有K1，得，代人（1）得A2。所求函数解析式为y2sin(2x+)。二、有关三角函数图像对称性方面的问题函数的奇偶性表现为其图像对称性（中心对称或轴对称），三角函数的图像经过伸缩或平移后，仍具有对称的特征。一般地，基本三角函数sinx,cosx,tanx, cotx的图像具有以下对称性：y=sinx的图像有无数条对称轴 x=k+/2，无数多个对称中心（k,0），k 。y=cosx的图像有无数条对称轴x=k，无数多个对称中心k+

7、/2，0，k。 y=tanx与y=cotx的图像有无数多个对称中心k/2，0，k。例如，苏教版三角函数的图像和性质中131中的例2：求函数f(x)=cos2x的周期。解：设周期为T。f(x)=cos2x=cos(2x+2)，f(x+T)=cos2(x+T)，由f(x)= f(x+T)得，2x+2=2(x+T)，解得T=2/2= 函数f(x)=cos2x的周期。注意：运用了换元方法，u=2x；f(u)=cosu的(最小正)周期是2；即cosu=cos(u+2)；由于cos(2x+2) =cos2(x+T)对任一x的值都成立，所以2x+2=2(x+T)；f(x)= cos2x的周期与f(u)=co

8、su的周期是两个不同的概念。总结：一般地，函数y=Asin(x+)及函数y=Acos(x+)（其中A，为常数，且A0，0）的周期T=。又如：已知函数y=sin(2x+)，求其图象的对称轴和对称中心。解析：利用余弦函数的性质，由2x=k（kZ）可求得其图象的对称轴方程，由2x=k+（kZ）可求得其图象的对称中心。解：y=sin（2x+）=cos2x，由2x=k（kZ）得其图象的对称轴方程为x=，kZ；由2x=k+（kZ）得：x=+，kZ，其图象的对称中心为（+，0），kZ。三、与三角函数的图象变换有关的问题在三角函数图象的三种变换中，相位变换与周期变换比较复杂，稍有不慎，极易出错。关于三角函数图

9、象变换的位移问题，只需抓住函数图象的“起点”变化，便可迎刃而解。这类问题多以选择填空的形式出现。画出三角函数y=Asin（x+）+k的图象有两种常用的方法：（1）“五点作图法”，即令x+=0，/2，3/2，2时，求出相对应的x的值及相应的y的值，进而列表，描点，作出函数的图象。这五个点是使得三角函数在一个周期内取得极大值与极小值，以及曲线与x轴相交的点。（2）“图象变换法”，即三角函数y=Asin（x+）+k的图象可由函数y=sinx的图象经过平移变换，周期变换，振幅变换等得到的。振幅变换：由A的变化引起的。即函数y=Asinx的图象可由函数y=sinx的图象上的所有点的纵坐标伸长（A1）或缩

10、短。周期变换：由的变化引起的.即函数y=sinx的图象可由函数y=sinx的图象上的所有点的横坐标伸长（01）到原来的1D倍，纵坐标不变。 平移变换：包括左右平移（即相位变换）和上下平移。左右平移：即函数y=sin（x+）的图象可由函数y=sinx的图象上的所有点向左（0）或向右（0）或向下（k0）平移|k|个单位。周期变换和振幅变换统称为伸缩变换，在进行三角函数图象变换时，因周期变换，振幅变换，相位变换的顺序不同而产生不同的变换方式。要注意虽然各种变换的顺序可以是任意的，但在不同的变换顺序下，平移的单位可能是不同的。例如，苏教版三角函数的图像和性质中133中的例1：若函数y=3sin（2x-

11、）表示一个振动量:(1)求这个振动的振幅、周期、初相;(2)不用计算机和图形计算器,画出该函数的简图。解：(1) 函数y=3sin（2x-）的振幅为3,初相为,周期为.(2)方法一“五点法”：周期T=p,令X=2-则=+。列表： 2-0p2p3sin(2-) 03 0-30作图：x1y=sin(x-)y=sin(2x-)y=3sin(2x-)y0方法二(先周期后相位)：作出正弦曲线，并将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin2x的图象；再将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y=3sin（2x-）的图象；再将函数y=sin（2x-）的图象上每一点的纵

12、坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数y=3sin（2x-）的图象。y=sinxy=sin2xy=sin（2x-）y=3sin（2x-）。方法三(先相位后周期)：作出正弦曲线，并将其向右平移个单位长度，得到函数y=sin（x-）的图象;再将函数y=sin（x-）图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x-）的图象;再将函数y=sin（2x-）图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数y=3sin（2x-）的图象。y=sinxy=sin（x-）y=sin（2x-）y=3sin（2x-）。总结参数A，函数yAsin(x)的影响。（1）振幅变

13、化，由A的变化引起;（2）周期变化，由的变化引起;（3）相位变化，由或的变化引起。总之，对于三角函数图像与性质部分，我们没有必要花费大量的精力在较难题上，而应把重点放在三角函数自身的性质的理解和掌握上，注重落实课本中例题习题以及其变式、组合的应用。熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化。在教师的引导下,让学生积极、主动地提出问题,自主分析,再合作交流,达到殊途同归。参考文献：1徐勇.三角函数的图象与性质J.数学教学通讯2011(29);2段赛花.概念课之差异教学研究三角函数的图象与性质J.中学数学月刊2012(10);3朱金祥.反比例函数的图象与性质的教学实录与反思J.基础教育课程2013(05);4李健康.浅谈如何提高高中三角函数课堂教学的有效性J.中学数学研究(华南师范大学版).2013(11);