中考数学复习课件：四边形与证明

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1、(5)四边形四边形 探索并了解多边形的内角和与外角探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概和公式，了解正多边形的概 念。念。 掌握平行四边形、矩形、菱形、正掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。间的关系；了解四边形的不稳定性。 探索并掌握平行四边形的有关性质探索并掌握平行四边形的有关性质1和四边形是平行四边形的条件和四边形是平行四边形的条件2。 探索并掌握矩形、菱形、正方形的探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质有关性质3和四边形是矩形、菱形、正和四边形是矩形、菱形、正方形的条件方形的条件

2、4 探索并了解等腰梯形的有关性质探索并了解等腰梯形的有关性质5和四边形是等腰梯形的条件和四边形是等腰梯形的条件6。 探索并了解线段、矩形、平行四边探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义形、三角形的重心及物理意义(如一根如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心心)。 通过探索平面图形的镶嵌，知道任通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。单的镶嵌设计。 【备注【备注2】：】： 1平行四边形的对边相等、对角相等、

3、平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。对角线互相平分。 2一组对边平行且相等，或两组对边一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形。是平行四边形。 33矩形的四个角都是直角，对角线矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。垂直平分。 4三个角是直角的四边形，或对角三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形；四边相线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。行四边形是菱形。 5等

4、腰梯形同一底上的两底角相等，等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等。两条对角线相等。 6同一底上的两底角相等的梯形是同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。等腰梯形。 (1)(1)了解证明的含义了解证明的含义 理解证明的必要性。理解证明的必要性。 通过具体的例子，了解定义、命题、定理通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件的含义，会区分命题的条件( (题设题设) )和结论。和结论。 结合具体例子，了解逆命题的概念，会识结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。一定成立。 通过具体的例

5、子理解反例的作用，知道利通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。用反例可以证明一个命题是错误的。 通过实例，体会反证法的含义。通过实例，体会反证法的含义。 掌握用综合法证明的格式，体会证明的过掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。程要步步有据。4 4图形与证明图形与证明 (2)(2)掌握以下基本事实，作为证明的依掌握以下基本事实，作为证明的依据据 一条直线截两条平行直线所得的一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。同位角相等。 两条直线被第三条直线所截，若两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。同位角相等，那么这两条直线平行。 若两个

6、三角形的两边及其夹角若两个三角形的两边及其夹角( (或两角及其夹边，或三边或两角及其夹边，或三边) )分别相等，分别相等，则这两个三角形全等。则这两个三角形全等。 全等三角形的对应边、对应角分全等三角形的对应边、对应角分别相等。别相等。 (3)(3)利用利用(2)(2)中的基本事实证明下列命题中的基本事实证明下列命题11 平行线的性质定理平行线的性质定理( (内错角相等、同内错角相等、同旁内角互补旁内角互补) )和判定定理和判定定理( (内错角相等或同旁内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行内角互补，则两直线平行) )。 三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理及推论( (三角形三角形的外角

7、等于不相邻的两内角的和，三角形的的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角外角大于任何一个和它不相邻的内角) )。 直角三角形全等的判定定理。直角三角形全等的判定定理。 角平分线性质定理及逆定理；三角形角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点的三条角平分线交于一点( (内心内心) )。 垂直平分线性质定理及逆定理；三角垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点形的三边的垂直平分线交于一点( (外心外心) )。 三角形中位线定理。三角形中位线定理。 等腰三角形、等边三角形、直角三角等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。形的

8、性质和判定定理。 平行四边形、矩形、菱形、正方形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。等腰梯形的性质和判定定理。 (4)(4)通过对欧几里得通过对欧几里得原本原本的介绍，感的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。价值。 四边形四边形一、四边形的分类及转化一、四边形的分类及转化二、几种特殊四边形的性质二、几种特殊四边形的性质三、几种特殊四边形的常用判定方三、几种特殊四边形的常用判定方法法四、中心对称图形与中心对称的区四、中心对称图形与中心对称的区别和联系别和联系五、有关定理五、有关定理六、主要画图六、主要画图七、典型举例七

9、、典型举例 一、四边形的分类及转化一、四边形的分类及转化任意四边形任意四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱菱形形正方形正方形梯形梯形等腰梯形等腰梯形直角梯形直角梯形两组对边平行两组对边平行一个角是一个角是直角直角邻边相等邻边相等邻边邻边相等相等一个角是一个角是直角直角一个角是一个角是直角直角两腰相等两腰相等一组对边平行一组对边平行另一组对边不平行另一组对边不平行 项目项目四边形四边形对边对边角角对角线对角线对称性对称性平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形等腰梯形等腰梯形平行且相等平行且相等平行且相等平行且相等平行平行且四边相等且四边相等平行平行且四边相等且四边相等两底平行两底平行两

10、腰相等两腰相等对角相等对角相等邻角互补邻角互补四个角四个角都是直角都是直角同一底上同一底上的角相等的角相等对角相等对角相等邻角互补邻角互补四个角四个角都是直角都是直角互相平分互相平分互相平分且相等互相平分且相等互相垂直平分，且每一互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角条对角线平分一组对角相等相等互相垂直平分且相等，每互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形中心对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形中心对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形中心对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形二、几种特殊四边形的性质：二、几种特殊

11、四边形的性质： 四边形四边形条件条件平行平行四边形四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形等腰梯形等腰梯形三、几种特殊四边形的常用判定方法：三、几种特殊四边形的常用判定方法：1 1、定义：两组对边分别平行、定义：两组对边分别平行 2 2、两组对边分别相等、两组对边分别相等3 3、一组对边平行且相等、一组对边平行且相等 4 4、对角线互相平分、对角线互相平分1 1、定义：有一外角是直角的平行四边形、定义：有一外角是直角的平行四边形 2 2、三个角是直角的四边形、三个角是直角的四边形3 3、对角线相等的平行四边形、对角线相等的平行四边形1 1、定义：一组邻边相等的平行四边形、定义：一组邻边相等的平行四边

12、形 2 2、四条边都相等的四边形、四条边都相等的四边形3 3、对角线互相垂直的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形1 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2 2、有一组邻边相等的矩形、有一组邻边相等的矩形 3 3、有一个角是直角的菱形、有一个角是直角的菱形1 1、两腰相等的梯形、两腰相等的梯形 2 2、在同一底上的两角相等的梯形、在同一底上的两角相等的梯形 3 3、对角线相等的梯形、对角线相等的梯形四、中心对称图形与中心对称的区别和联系四、中心对称图形与中心对称的区别和联系中心对称图形：中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180

13、后与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。如果把一个图形绕着某一点旋转180后与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心。ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDCABABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC1、中心对称的两个图形是全等图形2、中心对称的两个图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分中心对称图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分

14、oo五、有关定理：五、有关定理：1、四边形的内角和等于 ，外角和等于 。 n边形的内角和等于 ，外角和等于 。2、梯形的中位线 于两底，且等于 。平行平行360（n - 2）180360两底和的一半两底和的一半360条件：在梯形条件：在梯形ABCD中，中，EF是中位线是中位线3、两条平行线之间的距离以及性质：平行线段平行线段两条平行线两条平行线夹在两条平行线间的 相等夹在 间的垂线段相等AB两条平行线中，一条直线上任意一两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫这两条点到另一条直线的距离，叫这两条平行线的距离。平行线的距离。ABFEDC如：如：ABCDL1L2如：如：ABCDL1L

15、2如：如：结论：结论：EFABCD，EF= （AB+CD）124、一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 则在其它直线上截得的线段也 。5、过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必过 。6、过梯形一腰的中点，且平行于底边的直线，必过 。ABCDEF条件：条件：ADBECF，AB=BC结论：结论：DE=EFABCDE条件：在条件：在ABC中，中，AD= BD ， DEBC结论：结论：AE=ECABFEDC条件：在梯形条件：在梯形ABCD中，中，AE=DE ，ABEFDC结论：结论：BF=FC相等相等第三边的中点第三边的中点另一腰的中点另一腰的中点六、主要画图：六、主要画图：1、画平行四边形、

16、矩形、菱形、正方形、等腰梯形如：画一个平行四边形如：画一个平行四边形ABCD，使边，使边BC=5cm,对角线对角线AC=5cm，BD=8cm.ABCDO452.5452.5OBCAD2、用平行线等分线段CNC如图：点C就是线段AB的中点AB把线段把线段AB二等分二等分AB把线段把线段AB五等分五等分EDFH如图：点C就是线段AB的中点2、用平行线等分线段CNCAB把线段把线段AB二等分二等分AB把线段把线段AB五等分五等分如图：点D、E、F、H就是线段AB的五等分点七、典型举例：七、典型举例：例例1：如图，四边形：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长为平行四边形，延长BA至至E，延长，延长D

17、C至至F，使，使BE=DF，AF交交BC于于H，CE交交AD于于G.求证：求证：E=FABHFCDEG证明：四边形ABCD是平行四边形ABCD=BE=DFAECF=四边形AFCE是平行四边形注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。E=F例例2：如图，在四边形：如图，在四边形ABCD中，中，AB=2，CD=1，A=60， B= D=90 ，求四边形，求四边形ABCD的面积。的面积。BADCE注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边连结对角线、延长两边等。解：延长AD

18、，BC交于点E，在RtABE中，A=60，E=30又AB=2BE=3AB=2 3在RtCDE中，同理可得 DE=3CD= 3S四边形ABCD=S RtABE - S RtCDE= ABBE - CDDE1212= 223 - 131212= 33221例例3：如图，在梯形：如图，在梯形ABCD中，中，ABCD，中位线，中位线EF=7cm，对角线对角线ACBD，BDC=30，求梯形的高线，求梯形的高线AHABCHDFE析：求解有关梯形类的题目，常需添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形来求解，添加辅助线一般有下列所示的几种情况：平移一腰作两高平移一对角线过梯形一腰中点和上底一端作直线延长两腰例例

19、3：如图，在梯形：如图，在梯形ABCD中，中，ABCD，中位线，中位线EF=7cm，对角线对角线ACBD，BDC=30，求梯形的高线，求梯形的高线AHABCHDFEM解：过A作AMBD，交CD的延长线于M又ABCD四边形ABDM是平行四边形，DM=AB，AMC= BDC=30又中位线EF=7cm，CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm又ACBD， ACAM，AHCD，ACD=60AC= CM=7cm12AH=ACsin60= 3(cm)72注：解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形。本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方

20、法，是数学中常用的“方程思想”。例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。ABCDFEOD解：设折痕为EF，连结AC，AE，CF，若A，C两点重合，它们必关于EF对称，则EF是AC的中垂线 ，故AF=FC，设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm254解得x= AF=FC= ,FD=8 x=25474答：折痕的长为7.5cm则FD=AD AF=8 - x在RtCDF中，FC = FD + CD222 x = （8 - x）+ 6222H在RtFEH中， EF = FH + EH222EF =6 + （ - ） 22225474EF=7.5(负根舍去）作FHBC于H例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。ABCDFEOFOCDAOAD=FO658=FO=154FE=152解法解法2