DA21导数概念

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1、第二章第二章微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数)一元函数的微分学一元函数的微分学微积分学的创始人微积分学的创始人: 德国数学家德国数学家 Leibniz 英国数学家英国数学家 Newton第一节第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 导导 数概念数概念 第二章第二章 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则则 到到 的平均速度为的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而

2、在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt so)(0tf)(tft机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、导数的概念一、导数的概念 2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线曲线)(:xfyCNT0 xM在在 M 点处的切线点处的切线x割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T(当当 时时)割线割线 M N 的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线切线 MT 的斜率的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyo)(xfy

3、C两个问题的共性两个问题的共性:瞬时速度瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是是速度增量速度增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是转角增量转角增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是质量增量质量增量与与长度增量长度增量之比的极限之比的极限是是电量增量电量增量与与时间增量时间增量之比的极

4、限之比的极限变化率问题变化率问题即即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000定义定义 . 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 记作记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 在点在点0 x处处可导可导, 在点在点0 x的的导数导数. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 运动质点的位置

5、函数运动质点的位置函数)(tfs 在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt )(0tf 曲线曲线)(:xfyC在在 M 点处的切线斜率点处的切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0 xf 说明说明: : 在经济学中在经济学中, ,边际成本率边际成本率, ,边际劳动生产率边际劳动生产率 和边际税率等从数学角度看就是导数和边际税率等从数学角度看就是导数.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd

6、)(d0若上述极限不存在若上述极限不存在 ,在点在点 不可导不可导. 0 x就说函数就说函数若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数.记作记作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf就称函数就称函数在在 I 内可导内可导. 若若,lim0 xyx也称也称)(xf在在0 x的导数为的导数为无穷大无穷大 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. 求函数求函数Cxf)(C 为常数为常数) 的导数的导数. 解解:yxCCx0lim0即即0)(C例例2. 求函数求函数)N()(nxxfn

7、.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：对一般幂函数对一般幂函数xy ( 为常数为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函数求函数xxfsin)(的导数的导数. 解解:,xh令则则)(xf hxfhxf)()(0

8、limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin类似可证得类似可证得xxsin)(cosh机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )1(lnxh例例4. 求函数求函数xxfln)(的导数的导数. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或或机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则令,0hxt原式原式htfhtfh2)

9、()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作是否可按下述方法作:例例5. 证明函数证明函数xxf)(在在 x = 0 不可导不可导. 证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在 , .0不可导在即xx例例6. 设设)(0 xf 存在存在, 求极限求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xy0y

10、= f (x)M)(0 xf xN yxx 0)( xf 考考虑虑)()(00 xfxxfy MNKxy xy 斜斜率率是是.x0令令 x0导数的几何意义导数的几何意义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xy0y = f (x)M)(0 xfxyx0lim )()(00 xfxxfy MNKxy )(0 xf = tan 处处切切线线的的斜斜率率 ) )表表示示曲曲线线在在点点0(xxf . .x0令令 x0.)( xf 考考虑虑.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线曲线)(xfy 在

11、点在点),(00yx的切线斜率为的切线斜率为)(tan0 xf 若若,0)(0 xf曲线过曲线过上升上升;若若,0)(0 xf曲线过曲线过下降下降;xyo0 x),(00yx若若,0)(0 xf切线与切线与 x 轴平行轴平行,称为称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若若,)(0 xf切线与切线与 x 轴垂直轴垂直 .曲线在点曲线在点处的处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1111例例. 问曲线问曲线3xy 哪

12、一点有垂直切线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处哪一点处的切线与直线的切线与直线131xy平行平行 ? 写出其切线方程写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令令,3113132x得得,1x对应对应,1y则在点则在点(1,1) , (1,1) 处与直线处与直线131xy平行的切线方程分别为平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即即023 yx故在原点故在原点 (0 , 0) 有垂直切线有垂直切线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系注意注意: 函数在点函数在点 x 连续未必可

13、导连续未必可导.xyoxy 反例反例:xy 在在 x = 0 处连续处连续 , 但不可导但不可导.处可导在点xxf)(定理定理.处连续在点xxf)(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点0 x的某个的某个右右 邻域内邻域内单侧导数单侧导数)(xfy 若极限若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为则称此极限值为)(xf在在 处的处的右右 导数导数,0 x记作记作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在在 x = 0 处有处有,1)0(f1)0(

14、fxyoxy 定义定义 . 设函数设函数有定义有定义,存在存在,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理. 函数函数在点在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf简写为简写为显然显然:)(xf在闭区间在闭区间 a , b 上可导上可导,)(baCxf可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是若函数若函数)(xf)(af)(bf与与都存在都存在 , 则称则称)(xf在开区间在开区间 内可导内可导,),(ba在闭区间在闭区间 上可导上可导.,ba且且在点在点处处右右 导数存在导数存在0

15、x定理定理. 函数函数)(xf)(xf在点在点0 x必必 右右 连续连续.(左左)(左左)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1. 导数的实质导数的实质:3. 导数的几何意义导数的几何意义:4. 可导必连续可导必连续, 但连续不一定可导但连续不一定可导;5. 求导公式求导公式 ;6. 判断可导性判断可导性不连续不连续, 一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.axf)(02. axfxf)()(00增量比的极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

16、 结束结束 思考与练习思考与练习1. 函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别区别:)(xf 是函数是函数 ,)(0 xf 是数值是数值;联系联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数与导函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 设设)(0 xf 存在存在 , 则则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知已知,)0(,0)0(0kff则则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若若),(x时时, 恒有恒有,)(2xxf问问)(xf是否在

17、是否在0 x可导可导?解解:由题设由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可导可导, 且且0)0( f机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5. 设设0,0,sin)(xxaxxxf, 问问 a 取何值时取何值时,)(xf 在在),(都存在都存在 , 并求出并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故故1a时时,1)0( f此时此时)(xf 在在),(都存在都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在显然该函数在 x = 0 连续连续 .

18、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: 因为因为6. 设设)(xf 存在存在, 且且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(xf在在 0 x处连续处连续, 且且xxfx)(lim0存在，存在， 证明证明:)(xf在在0 x处可导处可导.证：因为证：因为xxfx)(lim0存在，存在， 则有则有0)(lim0 xfx又又)(xf在在0 x处连续处连续,0)0(f所以所以xxfx)(lim0即即)(xf在在0 x处可导处可导.7. 设设xfxfx)0()(lim0)0(f 故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束