一阶微分方程59824

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1、医用高等数学”医用高等数学第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程医用高等数学( ) ( )dyf x g ydx形如形如一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程的方程称为可的方程称为可分离变量的微分离变量的微分方程分方程 即等式右端的函数可分解成即等式右端的函数可分解成 的函数与的函数与 的函的函数相乘的形式数相乘的形式.xy医用高等数学(2) 两边积分两边积分即得微分方程的通解即得微分方程的通解.解法解法(1) 将方程改写成变量分离形式将方程改写成变量分离形式( )( )dyf x dxg y(

2、)( )dyf x dxg y医用高等数学 例例5-55-5 求例求例5-15-1关于细菌存在量的微分方程关于细菌存在量的微分方程( )( )dN tkN tdt的通解的通解, ,并求满足初始条件并求满足初始条件 的特解的特解. .04000t tN解解 将方程改写成变量分离形式将方程改写成变量分离形式dNkdtN两边积分两边积分dNkdtN得得lnlnNktC即即ktNCe医用高等数学所以所求微分方程的通解为所以所求微分方程的通解为ktNCe将将 代入以上通解之中代入以上通解之中,得得04000t tN04000ktCe04000ktCe于是得到满足初始条件的特解为于是得到满足初始条件的特解

3、为0()4000k t tNe医用高等数学解解分离变量分离变量,可化原方程为可化原方程为21ydydxyx 两端积分两端积分21dydxyx 例例5-65-6 求微分方程求微分方程 的通解的通解2(1)0ydxxydy211ln(1)ln2yxC 得得1222(1)Cxye整理整理211ln(1)ln2yxC 记记 ,则本例所求的通解为则本例所求的通解为12CeC22(1)xyC医用高等数学例如例如2dyyxdx是线性的是线性的, ,223yxy是非线性的是非线性的. .( )( )dyP x yQ xdx( )0,Q x 当称为齐次的称为齐次的. .( )0dyP x ydx称为非齐次的称为

4、非齐次的. .( )0,Q x 当( )( )dyP x yQ xdx 所谓所谓线性线性是指微分方程中出现的是指微分方程中出现的 及它的各阶导数及它的各阶导数都是一次幂都是一次幂.y二、一阶线性微分方程的方程为一的方程为一阶线性微分阶线性微分方程方程形如形如医用高等数学( )0(1)dyP x ydx为一阶线性齐次微分方程为一阶线性齐次微分方程(1)的的通解通解.一阶线性齐次微分方程的通解一阶线性齐次微分方程的通解( )dyP x dxy 分离变后分离变后, ,得得解法解法( )dyP x dxy 两边积分两边积分ln( )lnyP x dxC 得得dxxPCey)(即即医用高等数学( )(

5、)dyP x yQ xdx讨论讨论( )( ),dyQ xP xdxyy两边积分两边积分( )ln( )Q xydxP x dxy( )( ),Q xdxu xy记为ln( )( )yu xP x dx一阶线性非齐次微分方程的通解一阶线性非齐次微分方程的通解( )( )( )( )u xP x dxP x dxyeeC x e故故这里这里 为待定的函数为待定的函数.( )C x医用高等数学dxxPdxxPexPxCexCy)()()()()(作变换作变换( )( )P x dxyC x e非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比( )CC xyy将 和 代入原方

6、程得( )( )( )P x dxC x eQ x积分得积分得( )( )( )P x dxC xQ x edxC医用高等数学所以一阶线性非齐次微分方程的所以一阶线性非齐次微分方程的通解通解为为对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解( )( )( )P x dxP x dxyQ x edxC e( )( )( )( )P x dxP x dxP x dxCeeQ x edx常数变易法常数变易法 把齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数的方法. .医用高等数学 解法一解法一 (1) 求出对应齐次方程求出对应齐次方程 的通解的通解

7、0yyxyCx(2) 设设 ,则则( )yC x x( )( )yC x xC x(3) 将将 、 代入原方程后代入原方程后,得得yy( )C xx积分后得积分后得21( )2C xxC所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为212yxC x例例5-75-7 求微分方程求微分方程 的通解的通解21yyxx医用高等数学112dxdxxxyexedxCln2lnxxexedxCxxdxC212xC x1( ),P xx 2( )Q xx解法二解法二医用高等数学coscossinxdxxdxxyeeedxCsinsinsinxxxeeedxCsinxexC( )cos ,P xxsin( )xQ xe解解例例5-85-8 求微分方程求微分方程 的通解的通解sincosxyyxesinsinxxxeCe医用高等数学一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法 主主 要要 内内 容容可分离变量的微分方程及其解法可分离变量的微分方程及其解法一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的解法一阶线性非齐次微分方程的解法: :常数变易法常数变易法作业：作业：思考与练习思考与练习 1. 2. 3. 4.