中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.7 实践与探究（试卷部分）课件

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1、8.7实践与探究中考数学中考数学 (河北专用)一、拓展与探究一、拓展与探究好题精练1.(2018河南,22,10分)(1)问题发现如图1,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40,连接AC,BD交于点M.填空:的值为;AMB的度数为.(2)类比探究如图2,在OAB和OCD中,AOB=COD=90,OAB=OCD=30,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及AMB的度数,并说明理由.ACBDACBD(3)拓展延伸在(2)的条件下,将OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.7解析解析(1)1.(1分

2、)40.(注:若填为40,不扣分)(2分)(2)=,AMB=90.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(4分)理由如下:AOB=COD=90,OAB=OCD=30,=,又COD+AOD=AOB+AOD,即AOC=BOD.AOCBOD.(6分)=,CAO=DBO.AOB=90,DBO+ABD+BAO=90.CAO+ABD+BAO=90.AMB=90.(8分)(3)AC的长为2或3.(10分)【提示】在OCD旋转过程中,(2)中的结论仍成立,即=,AMB=90.如图所示,当点C与点M重合时,AC1,AC2的长即为所求.ACBD3CODOAOBO3ACBDCODO333ACBD3思路分析思路分析

3、 (1)证明AOC BOD,得AC=BD,OAC=OBD,AMB=AOB=40;(2)证明AOCBOD,得=,OAC=OBD,AMB=AOB=90;(3)作图确定OCD旋转后点C的两个位置,分别求出BD的长度,根据=得出AC的长.ACBDCODO3ACBD3方法规律方法规律 本题为类比探究拓展问题,首先根据题(1)中的特例感知解决问题的方法,类比探究,可以类比(1)中解法,解(2)中的问题,得出结论,总结解答前两个问题所用的方法和所得结论,依据结论对(3)中的问题分析,通过作图,计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可以先求出BD的两个值,根据=,再求出AC的两个值.ACBD32

4、.(2017河南,22,10分)如图1,在RtABC中,A=90,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想图1中,线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;(2)探究证明把ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出PMN面积的最大值.解析解析(1)PM=PN;PMPN.(2分)(2)等腰直角三角形.(3分)理由如下:由旋转可得BAD=CAE.又AB=AC,AD=AE,BAD CAE.BD

5、=CE,ABD=ACE.(5分)点P,M分别是DC,DE的中点,PM是DCE的中位线.PM=CE且PMCE.同理可证PN=BD且PNBD.PM=PN,MPD=ECD,PNC=DBC.(6分)MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD,DPN=PNC+PCN=DBC+PCN.MPN=MPD+DPN=ACD+ABD+DBC+PCN=ABC+ACB=90,即PMN为等腰直角三角形.(8分)(3).(10分)详解:同(2)可证PMN是等腰直角三角形,PM=PN,PMPN.1212492又知PM=EC,所以SPMN=PM2=EC2,所以当EC最大时,SPMN最大.如图,EC的最大值为AE+AC=AD

6、+AB=4+10=14,SPMN的最大值为.1212184923.(2015湖北随州,24,10分)问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.【类比引申】如图(2),四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E、F分别在边BC、CD上,则当EAF与BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD.【探究应用】如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,B=60,

7、ADC=120,BAD=150,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AEAD,DF=40(-1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:=1.41,=1.73)323解析解析 【发现证明】证明:ADG ABE,AG=AE,DAG=BAE,DG=BE,又EAF=45,即DAF+BEA=EAF=45,GAF=FAE,在GAF和FAE中,AFG AFE(SAS).GF=EF.又DG=BE,GF=BE+DF,BE+DF=EF.【类比引申】BAD=2EAF.理由如下:如图,延长CB至M,使BM=DF,连接AM,AGAEGAFFAEAFAF ABC+D=180,ABC

8、+ABM=180,D=ABM,在ABM和ADF中,ABM ADF(SAS),AF=AM,DAF=BAM,BAD=2EAF,DAF+BAE=EAF,EAB+BAM=EAM=EAF,在FAE和MAE中,FAE MAE(SAS),EF=EM=BE+BM=BE+DF.即EF=BE+DF.【探究应用】如图,连接AF,延长BA,CD交于点O.,ABADABMDBMDF ,AEAEFAEMAEAFAM 易知AOD=90,在RtAOD中,ODA=60,OAD=30,AD=80米,AO=40米,OD=40米,OF=OD+DF=40+40(-1)=40米,在RtOAF中,AO=OF,OAF=45,DAF=45-3

9、0=15,EAF=90-15=75,EAF=BAD.由【类比引申】的结论可得EF=BE+DF=40(+1)109米.333123二、思考与探究二、思考与探究(2017江苏南京,27,11分)折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对折矩形纸片ABCD(ABBC)(图),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图).第二步,如图,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到PBC.(1)说明PBC是等边三角形.【数学思考】(2)如图,小明画出了图的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把PBC经过图形变化,

10、可以得到图中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.(3)已知矩形一边长为3cm,其邻边长为acm.对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围.【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为cm.解析解析(1)证明:由折叠可知PB=PC,BP=BC,因此PBC是等边三角形.(2)本题答案不唯一,下列解法供参考.如图,以点B为中心,在矩形ABCD中把PBC按逆时针方向旋转适当的角度,得到P1BC1;再以点B为位似中心,将P1BC1放大,使点C1的对应点C2落在C

11、D上,得到P2BC2.(3)本题答案不唯一,下列解法供参考.(4).如图,CEF是直角三角形,CEF=90,CE=4cm,EF=1cm.165四边形ABCD是正方形,A=D=90.易证RtAEFRtDCE,=,设AE=xcm,CD=4xcm,则DE=3xcm.在RtCDE中,CE=5x=4cm,x=,AD=4x=cm,所需正方形边长最小值为cm.AECDEFCE1445165165思路分析思路分析(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC,PB=CB,得出PBC是等边三角形;(2)依据旋转的性质和位似的性质即可得出答案;(3)利用等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算,即

12、可画出图形;(4)证明AEFDCE,得出=,设AE=xcm,则AD=CD=4xcm,DE=AD-AE=3xcm,在RtCDE中,由勾股定理得出方程,进而得出边长的最小值.AEDCEFCE14三、实践与探究三、实践与探究(2016山西,22,12分)综合与实践问题情境在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将一张菱形纸片ABCD(BAD90)沿对角线AC剪开,得到ABC和ACD.操作发现(1)将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=BAC,得到如图2所示的ACD,分别延长BC和DC交于点E,则四边形ACEC的形状是;(2)创新小组将图1中的A

13、CD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=2BAC,得到如图3所示的ACD,连接DB,CC,得到四边形BCCD,发现它是矩形.请你证明这个结论;实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13cm,AC=10cm,然后提出一个问题:将ACD沿着射线DB方向平移acm,得到ACD,连接BD,CC,使四边形BCCD恰好为正方形,求a的值.请你解答此问题;(4)请你参照以上操作,将图1中的ACD在同一平面内进行一次平移,得到ACD,在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明.图4解析解析(1)菱形.(2)证明:如图,作AECC于

14、点E.由旋转得AC=AC,CAE=CAE=BAC.由题意知BA=BC,BCA=BAC.CAE=BCA,AEBC.同理,AEDC,BCDC.又BC=DC,四边形BCCD是平行四边形.又AEBC,CEA=90,BCC=180-CEA=90,四边形BCCD是矩形.(3)过点B作BFAC,垂足为F.12BA=BC,CF=AF=AC=10=5(cm).在RtBCF中,BF=12(cm).在ACE和CBF中,CAE=BCF,CEA=BFC=90,ACECBF.=,即=,解得CE=.当四边形BCCD恰好为正方形时,分两种情况:点C在边CC上,a=CC-13=-13=.点C在CC的延长线上,a=CC+13=+

15、13=.综上所述,a的值为或.(4)答案不唯一.例:如图.121222BCCF22135CEBFACBC12CE1013120132401371132401340913711340913平移及构图方法:将ACD沿着射线CA方向平移,平移距离为AC的长度,得到ACD,连接AB,DC.结论:四边形ABCD是平行四边形.12一、拓展与探究一、拓展与探究教师专用题组教师专用题组1.(2017江西,23,12分)我们定义:如图1,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB,把AC绕点A逆时针旋转得到AC,连接BC.当+=180时,我们称ABC是ABC的“旋补三角形”,ABC边BC上的中线AD

16、叫做ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.特例感知(1)在图2,图3中,ABC是ABC的“旋补三角形”,AD是ABC的“旋补中线”.如图2,当ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;如图3,当BAC=90,BC=8时,则AD长为.猜想论证(2)在图1中,当ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.拓展应用(3)如图4,在四边形ABCD中,C=90,D=150,BC=12,CD=2,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使PDC是PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.图43解析解析(1).(1分)4.(3分

17、)(2)猜想:AD=BC.(4分)证明:证法一:如图,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE.AD是ABC的“旋补中线”,BD=CD,四边形ABEC是平行四边形,ECBA,EC=BA,ACE+BAC=180.由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC,1212ACE=BAC,EC=BA.ACE CAB.AE=CB.(6分)AD=AE,AD=BC.(7分)证法二:如图,延长BA至F,使AF=BA,连接CF.BAC+CAF=180.由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC,CAB=CAF,AB=AF,ABC AFC,BC=FC.(6分)1212BD=CD,BA=A

18、F,AD是BFC的中位线,AD=FC,AD=BC.(7分)证法三:如图,将ABC绕点A顺时针旋转CAC的度数,得到AEC,此时AC与AC重合,设D的对应点为D,连接AD.由定义可知BAC+BAC=180,由旋转得BAC=EAC,BAC+EAC=180,E,A,B三点在同一直线上.(6分)1212AB=AB=AE,ED=DC,AD是EBC的中位线,AD=BC,AD=BC.(7分)(注:其他证法参照给分)(3)存在.(8分)如图,以AD为边在四边形ABCD的内部作等边PAD,连接PB,PC,延长BP交AD于点F,则有ADP=APD=60,PA=PD=AD=6.1212CDA=150,CDP=90.

19、过点P作PEBC于点E,易知四边形PDCE为矩形,CE=PD=6,tan1=,1=30,2=60.(9分)PEBC,且易知BE=EC,PC=PB,3=2=60,APD+BPC=60+120=180.又PA=PD,PB=PC,PDC是PAB的“旋补三角形”.(10分)3=60,DPE=90,DPF=30.ADP=60,BFAD,AF=AD=3,PF=AD=3.在RtPBE中,CDPD2 363312323PB=4.BF=PB+PF=7.在RtABF中,AB=2.(11分)PDC是PAB的“旋补三角形”,由(2)知,PAB的“旋补中线”长为AB=.(12分)求解“旋补中线”补充解法如下:如图,分别

20、延长AD,BC相交于点G,ADC=150,BCD=90,GDC=30,GCD=90.22PEBE22CDBE22(2 3)63322BFAF22(7 3)3391239在RtGDC中,GD=2=4.GC=GD=2,GA=6+4=10,GB=2+12=14.过A作AHGB交GB于点H,在RtGAH中,AH=GAsin60=10=5,GH=AG=5.HB=GB-GH=14-5=9,在RtABH中,AB=2.(10分)PDC是PAB的“旋补三角形”,由(2)知,PAB的“旋补中线”长为AB=.(12分)(注:其他解法参照给分)cos30CD332123231222AHBH22(5 3)9391239

21、2.(2015山东德州,23,10分)(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,DPC=A=B=90.求证:ADBC=APBP.(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当DPC=A=B=时,上述结论是否依然成立?说明理由.(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:如图3,在ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足DPC=A,设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,DC为半径的圆与AB相切时,求t的值.解析解析(1)证明:DPC=A=B=90,ADP+APD=90,BPC+APD=90,AD

22、P=BPC,ADPBPC.(1分)=.ADBC=APBP.(2分)(2)结论ADBC=APBP仍成立.(3分)理由:BPD=DPC+BPC,又BPD=A+ADP,DPC+BPC=A+ADP.DPC=A=,BPC=ADP.又A=B=,ADPBPC.(4分)=.ADBC=APBP.(5分)(3)如图,过点D作DEAB于点E.ADBPAPBCADBPAPBCAD=BD=5,AB=6,AE=BE=3,在RtBED中,由勾股定理得DE=4.(5分)以D为圆心,DC为半径的圆与AB相切,DC=DE=4,BC=5-4=1.又AD=BD,A=B.DPC=A,DPC=B.由(1)、(2)的经验可知ADBC=AP

23、BP.(7分)AP=t,BP=6-t,t(6-t)=51.(8分)解得t1=1,t2=5.t的值为1或5.(10分)二、思考与探究二、思考与探究1.(2018山西,22,12分)综合与实践问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:图1证明:BE=AB,AE=2AB.AD=2AB,AD=AE.四边形ABCD是矩形,ADBC.=.(依据1)B

24、E=AB,=1.EM=DM.即AM是ADE的DE边上的中线,又AD=AE,AMDE.(依据2)AM垂直平分DE.反思交流:(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;探索发现:(3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个

25、顶点EMDMEBABEMDM在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.图2图3解析解析(1)依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).(1分)依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).(2分)点A在线段GF的垂直平分线上.(3分)(2)证明:过点G作GHBC于点H.(4分)四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=GHC=90.1+2=90.四边形CEFG为正方形,CG=CE,GCE=90.1+3=90,2=3.GHC CBE.(6分)HC=BE.四边形ABCD是矩形

26、,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH.GH垂直平分BC.点G在BC的垂直平分线上.(7分)(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).(8分)证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N.(9分)BMN=ENM=ENF=90.四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=90.四边形BENM为矩形.(10分)BM=EN,BEN=90.1+2=90.四边形CEFG为正方形,EF=EC,CEF=90.2+3=90.1=3.CBE=ENF=90,ENF EBC.(11分)NE=BE.BM=BE.四边形ABCD是矩形,A

27、D=BC.AD=2AB,AB=BE,BC=2BM.BM=MC.FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上.(12分)证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.(9分)四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=N=90.1+3=90.四边形CEFG为正方形,EC=EF,CEF=90.1+2=90,2=3.ENF CBE.(10分)NF=BE,NE=BC.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a.BF=a,CE=a,CF=CE=a.(11分)BF=CF.点F在BC边的垂直平分线上.(12分)22BNF

28、N22(3 )aa1022BCBE22(2 )aa522CEEF2102.(2017山东临沂,25,11分)数学课上,张老师出示了问题:如图1,AC、BD是四边形ABCD的对角线,若ACB=ACD=ABD=ADB=60,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图2,延长CB到E,使BE=CD,连接AE,证得ABE ADC,从而容易证明ACE是等边三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD.小亮展示了另一种正确的思路:如图3,将ABC绕着点A逆时针旋转60,使AB与AD重合,从而容易证明ACF是等边三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD.在此基础上,

29、同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图4,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=45”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出结论,并给出证明;(2)小华提出:如图5,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结论,不用证明.解析解析(1)BC+CD=AC.证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE.ACB=ACD=ABD=ADB=45,BAD=90,BC

30、D=90,AD=AB.ABC+ADC=180,又ABE+ABC=180,ADC=ABE.ADC ABE.AC=AE,CAD=EAB.EAC=BAD=90.CE=AC,BC+CD=AC.(2)BC+CD=2ACcos.(证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE.222ACB=ACD=ABD=ADB=,BAD=180-2,BCD=2,AD=AB.BAD+BCD=180,ABC+ADC=180.又ABE+ABC=180,ADC=ABE,ADC ABE,AC=AE.过点A作AFCE,则EC=2CF.在RtACF中,CF=ACcos.EC=2ACcos,BC+CD=2ACcos.)一题多解一题多

31、解(1)BC+CD=AC.证明:ACB=ACD=ABD=ADB=45,BAD=90,BCD=90.ABC+ADC=180.将ABC绕着点A逆时针旋转90至ADF,使AB与AD重合.DF=BC,F=ACB=45,CAF=90,ADF=ABC.ADF+ADC=180.C、D、F三点在同一条直线上.CF=AC.BC+CD=AC.222三、实践与探究三、实践与探究1.(2018陕西,25,12分)问题提出(1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为.问题探究(2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值.问题解决(3)如图所

32、示,AB、AC、是某新区的三条规划路,其中,AB=6km,AC=3km,BAC=60,所对的圆心角为60.新区管委会想在路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F,也就是,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)BCBCBCBC解析解析(1)5(2分)详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心,OA=OB=OC,又AB=A

33、C,AOB AOC,BAO=CAO,BAC=120,BAO=60,ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5.即ABC的外接圆半径R的值为5.(2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P,连接OA,OP.M是弦AB的中点,OMAB,AM=AB=12.在RtAOM中,OM=5.(4分)PMOM+OP=OM+OP=MP=18,当点P运动到P时,PM取得最大值,为18.(5分)(3)如图,设P为上任意一点,分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2,分别与AB、AC相交于点E、F,连接PE,PF,1222AOAMBCPEF的周长=P1E+EF+P2F=P1P2,对于点P及分别在AB、A

34、C上的任意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P1P2.即PEF周长的最小值为P1P2的长.(7分)连接AP1,AP,AP2,则AP1=AP=AP2,P1AB=PAB,P2AC=PAC,P1AP2=2BAC=120,P1P2=AP1=AP.(8分)要使P1P2最短,只要AP最短即可.设O为所在圆的圆心,连接OB、OC、OP、OA,且OA与相交于点P,33BCBC则AP+POAO.APAP.(9分)连接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90,BC=ACtan60=3km.BOC=60,OB=OC,BO=BC=3km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90.在RtABO中

35、,AO=3km.(11分)AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km.P1P2的最小值为AP=(3-9)km.PE+EF+FP的最小值为(3-9)km.(12分)3322ABBO226(3 3)7333732132121思路分析思路分析(1)设O是ABC的外接圆的圆心,根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等可证ABO是等边三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)当PMAB时,PM有最大值,根据垂径定理可得AM=AB=12,再根据勾股定理求得OM=5,进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3)分别以AB、AC所在的直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为P1,关于AC的对称点

36、为P2,易得PEF的周长为P1P2的长,根据P1P2=AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA与交于点P,此时使得线段PE、EF、FP之和最短,然后先判定ABC为直角三角形,求出BC的长,在RtABO中由勾股定理求出AO的长,进而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.123BC难点分析难点分析本题难点在于第(3)问如何确定P点的位置及何时PE+EF+FP取得最小值.读懂题目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短路线问题,同时结合圆半径和线段OA的长度求出AP的最小值.2.(2017陕西,25,12分)问题提出(1)如图,ABC是等边三角形,AB=12,若点O是ABC的内心,则OA

37、的长为;问题探究(2)如图,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18.如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由;问题解决(3)某城市街角有一草坪,草坪是由ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水.于是,他让喷灌龙头的转角正好等于AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌),同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射

38、程就可以了.如图,已测出AB=24m,MB=10m,AMB的面积为96m2;过弦AB的中点D作DEAB交于点E,又测得DE=8m.请你根据以上提供的信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少为多少米时,才能实现他的想只用喷灌龙头AB法,为什么?(结果保留根号或精确到0.01米)解析解析(1)4.(3分)(2)存在.如图,连接AC、BD,相交于点O,连接PO并延长交BC于点Q,则线段PQ将矩形ABCD的面积平分.(5分)点O为矩形ABCD的对称中心,CQ=AP=3.过点P作PMBC于点M,则PM=AB=12,MQ=12.PQ=12.(6分)(3)如图,作射线ED交AM于点C.AD=DB,DEAB,为

39、劣弧,所在圆的圆心在射线DC上.32ABAB假设圆心为O,半径为rm,连接OA,则r2=122+(r-8)2.解之,得r=13.OD=5.(8分)过点M作MNAB,垂足为N.SABM=96,AB=24,MN=8,MB=10,NB=6,AN=18.易得ADCANM,=.DC=.ODMG.即MFMG.(11分)过点O作OHMN,垂足为H,则OH=DN=6,MH=3.OM=3.MF=OM+r=3+13.喷灌龙头的射程至少为(3+13)米(约为19.71米).(12分)555思路分析思路分析(1)根据等边三角形的轴对称性和内心可知:ABC的内心与外心重合,构造直角三角形运用勾股定理求出OA的长;(2)

40、运用矩形的中心对称性可知PQ一定经过矩形ABCD的对称中心O,通过构造直角三角形,运用勾股定理可以求出PQ的长;(3)一是根据圆的对称性找出圆心,运用垂径定理和勾股定理可求出该圆的半径,二是利用相似判断出点O与三角形AMB的位置关系,最后根据“三角形的两边之和大于第三边”确定喷灌龙头的最远射程为MF的长.易错警示易错警示本题容易出错的地方是第(3)问,误把MA的长当作草坪上的点到点M的最大距离.3.(2016陕西,25,12分)问题提出(1)如图,已知ABC.请画出ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在边BC、CD上

41、分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3)如图,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米.现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使EFG=90,EF=FG=米,EHG=45.经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AFBF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件.试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出裁得的四边形EFGH部件的面积;若不能,请说明理由.5解析解析(1)如图,ADC即为所画.(2分)(2)存在.理由如下:如图,作点E关于

42、CD所在直线的对称点E,作点F关于BC所在直线的对称点F,连接EF,交BC于点G,交CD于点H,连接FG、EH,则FG=FG,EH=EH,所以此时四边形EFGH的周长最小.这是因为:在BC上任取一点G,在CD上任取一点H,则FG+GH+HE=FG+GH+HEEF.(4分)由作图及已知得:BF=BF=AF=2,DE=DE=2,AF=6,AE=8.又A=90,EF=10,又由已知可得EF=2,(6分)四边形EFGH周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+EF=2+10.在BC、CD上分别存在点G、H,使四边形EFGH的周长最小,最小值是2+10.(7分)(3)能裁得.(8分)理由如下:如图,E

43、F=FG=,EFG=90,A=B=90,且易知1=2,AEF BFG.AF=BG,AE=BF.设AF=x,则AE=BF=3-x.x2+(3-x)2=()2.解之,得x=1或x=2(舍去).AF=BG=1,BF=AE=2.(9分)DE=4,CG=5.55555连接EG,作EFG关于EG所在直线的对称EOG,则四边形EFGO为正方形,EOG=90.以点O为圆心,OE长为半径作O,则使EHG=45的点H在O上.连接FO,并延长交O于点H,则点H在EG中垂线上.连接EH、GH,则EHG=45.此时,四边形EFGH是要想裁得的四边形EFGH中面积最大的.连接CE,则CE=CG=5.点C在线段EG的中垂线上.点F、O、H、C在一条直线上.又EG=,FO=EG=.1010又知CF=2,OC=.又OH=OE=FG=,OHOC.点H在矩形ABCD的内部.(11分)可以在矩形板材ABCD中,裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH部件,这个部件的面积=EGFH=(+)=5+.当所裁得的四边形部件为四边形EFGH时,裁得了符合条件的最大部件,这个部件的面积为m2.(12分)101051212101055 225 252