高考数学一轮复习北师大版(理)基本不等式及其应用名师精编教案

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1、名校名师推荐17复习讲义第卞章3等式7.4基本不等式及其应用基础知识自主学习ET知识梳理a+b1 .基本不等式/ab2ab(a,bCR).(2)-+a2(a,b同号).ab一(3)ab0,b0,则a,b的算术平均数为一厂，几何平均数为强.(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小壬它犯的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项.4 .利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2Vp.(简记：积定和最小)2(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当。工时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等

2、式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立？f(x)minA(xCD)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立？f(x)maxA(xCD)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立？f(x)minA恰在区间D上成立？f(x)A的解集为D;不等式刈3恰在区间D上成立？耳刈0且y0”是“x+yR2”的充要条件.(X)yx(4)若a0,则a3+3的最小值为2.(x)a(5)不等式a2+b22ab与a2也强有相同的成立条件.(x)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(V

3、)考点自测1 .(教材改编)设乂0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82答案Cx+y解析.x0,y0,2yxy即xyW(x，y)2=81,当且仅当x=y=9时，(xy)max=81.2 .已知f(x)=x+1-2(x0),则f(x)()xA.最大值为0B,最小值为0C.最大值为一4D,最小值为4答案C解析f(x)W2一x(X=2=4,当且仅当X=1时，f(X)max=4.3 .(2015陕西)设f(x)=lnx,0ab,若p=f(Vab),q=f(a2b),r=g(f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是()A.q=rpB.p=rpD.p=rq答案B解析

4、f(x)=lnx,p=f(ab)=ln/ab,a+ba+bq=f(-2-)=ln-2-，1r=2(f(a) + f(b) =ln a+ ln b2=ln ab= pa+b又./ab2-(0ab),f(x)=lnx在(0,+8)上是增加的，abp=r=lnTab2/4xy=4xy,21-xy(4)=X11 x2时，(xy)max=：16.当且仅当x=4y=2,即y=85.(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是m2答案25解析设矩形的一边为xm,1则另一边为2X(20-2x)=(10-x)m,y=x(10-x)=25,当且仅当x=10-x,即x=5时，ymax=

5、25.题型分类深度剖析题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式例1(1)已知0vx1,则x(43x)取得最大值时x的值为5(2)已知 x1)的最小值为xI答案(1)2(2)1(3)23+23解析(1)x(43x)=1(3x)(43x)13x+(：-3x2=43323当且仅当3x=4-3x,即x=|时，取等号.35(2)因为x0,一一11贝Uf(x)=4x2+4=(54x+5-4-)+3&2+3=1.,一.1一，.一，当且仅当5-4x=即x=1时，等号成立.54x，,1故f(x)=4x2+的最大值为1.4x-5(3)y=x2+2(x22x+1/(2x213x1x1(x12+2(

6、x1计3x-1=(x-1)+-+22V3+2.x-1当且仅当(x-1)=-J,即x=W+1时，等号成立(xT)命题点2通过常数代换法利用基本不等式例2已知a0,b0,a+b=1,则1+1的最小值为ab答案4解析a0,b0,a+b=1,1_+aa+b2+a+*+24震=4,即9（的最小值为4,当且仅当a=b=2时等号成立引申探究i.条件不变，求（1+；）（i+：）的最小值.到，11a+ba+b解（1+?（1+=（1+）（1+丁）ba=（2+a）（2+b）=5+2（1+b）5+4=9.，一.，1，一，一当且仅当a=b=2时，取等号.112,已知a0,b0,g+b=4,求a+b的取小值.,11-11

7、解由丁得布+4T1,.111ba-a+b=怎+而(a+b)=2+4a+4b2+2篙 4b1.当且仅当a=b= 2时取等 11.3.将条件改为a+2b=3,求-+i的取小值. a b解-.a+2b= 3,-3a+lb=1111121 2 a 2b.a+b= (a+b)(3a+3b)=3+3+3b+&1 + 2a 辿=1 +3b 3a2,23当且仅当a=42b时，取等号.思维升华（1）应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值,相等”是指满足等号成立的条件.三相“一、（2）在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，

8、配凑出积、和为常数的形式, 然后再利用基本不等式.（3）条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系, 二是将条件灵活变形，然后代入代数式转化为函数的最值求解;利用常数“1”代换的方法构跟踪训练1造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.（2016西藏民族学院附中期末）若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是（24A.? B.285 C.y D-6（2）已知xyC (0, i ),2 3= （2）y,若；+：蜘0）的最小值为3,则m=答案(1)B(2)4解析 （1）方法一 由x+3y=5xy,可得=15y 5x13x+4y=(3x+4y)

9、(目+=，4+3x+但=5.555y5x55当且仅当新蝮,即x=1，1 ,，.一 ，y=2时，等号成立,，3x+4y的最小值是5.方法二 由x+3y=5xy,得x1x。，yo,-.y5,3x+ 4y=9y5y- 1卜4y =5y- 1卜4y13 9 5 一， 1=T + 己+4(y5)，(3x+ 4y)min = 5.(2)由2x(了，得x+y=3,1m11mx+y=3(x+y)(x+y)1y,mx=3(1+m+x+7)o(1+m+2Vm)3（当且仅当y=f，即y=4mx时取等号）,1(1+m+2师=3,3解得m=4.题型二基本不等式的实际应用例3(2016淄博模拟)某工厂某种产品的年固定成本

10、为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时，C(x)=1x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时,30.05万元.通过市场分析，该厂生产的商C(x)=51x+10000-1450(万元).每件商品售价为x品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千彳)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05X1000x万元，依题意得:当0Vx80时,L(x)= 1 000xX 0.05 (51x +10 000-1 450)-250=1200-(x+

11、10000)x八-1x2+40x-250(0x 80 .(2)当0Vx80时，L(x)=1200(x+0),即x=80时成立.x8(2)年平均利润为x=-x-25+18=-(x+25)+18,-x+22、/x型=10,xxy=18(x+25)w1810=8,当且仅当x=25,即x=5时，取等号.题型三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(1)(2016荷泽一模)已知直线ax+by+c1=0(b,c0)经过圆x2+y22y5=0的圆心,则4+1的最小值是()bcA.9B.8C.4D.2(2)(2016山西忻州一中第一次联考)设等差数列an的公差是d,其前n项和是Sn

12、,若a1=d=1,则十的最小值是，一9答案(1)A(2)9解析(1)圆x2+y22y5=0化成标准方程,得x2+(y1)2=6,所以圆心为C(0,1).因为直线ax+by+c1=0经过圆心C,所以aX0+b*1+c1=0)即b+c=1.rpir4.1z.4.14cb匚因此-+-=(b+c)(-+-)=+-+5.bcbc7bc因为b,c0,所以蛆碗=4.bcbe当且仅当华=2时等号成立.bc由此可得b=2c,且b+c=1,即b=,c=J时，2+1取得最小值9.33ben(1+n1(2)an=ai+(n-1)d=n,Sn=-V一J色屋.Sn+82116,小-=-n+1)ann2n当且仅当n=4时取

13、等号.包则的最小值是!an2命题点2求参数值或取值范围例5(1)已知a0,b0,若不等式0+工一恒成立，则m的最大值为()aba+3bA.9B.12C.18D.24x?+ax+11(2)已知函数f(x)=-(adR),若对于任意的xCN+,f(x)3恒成立，则a的取值范围入II是.答案(1)B(2)-1,+oo)解析(1)由，aba+3b得m2m+6=12(当且仅当生=时等号成立),abab，mw12,，m的最大值为12.x2+ax+11a(2)对任意xCN+,f(x)3恒成立，即-.一)3恒成立，即知a-(x+-)+3.X1x设g(x)=x+8,xCN+,则g(2)=6,g(3)=17.x3

14、17,g(2)g(3)，g(x)min=定，3-(x+8)+3-|,故a的取值范围是8,+8).33思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.跟踪训练(1)(2016福建四地六校联考)已知函数f(x)=x+2的值域为(一8,0U4,x+),则a的值是()13A，2B，2C.1D.2(2)已知各项均为正数的等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得苗=4a1,则

15、工+4的最小值为()mnA.3B.5C.9D.252346答案(1)C(2)A解析(1)由题意可得a0,当x0时，f(x)=x+22/a+2,当且仅当x=6时取等号；x当x0, y0,且1+：=1,则x+ y的最小值是(2)函数y= 1 2x 3(x0 , y0 ,1 = x+ y 2Jyxy,而 2小，.x+y2而=4依，x+y的最小值为442.(2) /2x+32V6, .-.y=1-2x- 3 1-276. xx函数 y= 1 2x- 3(x0, y0,、，1 2-x+y= (x+y)(x+y)= 3 + y+ 管3+2*（当且仅当y=M2x时取等号）,.当乂=m+1, y=2 + V2

16、时，(x+y)min=3+22.3 ,，3(2) x 1 + 2 xx(-2x )3x= 1 + 2V6,故函数y= 1 当且仅当x=-华日2x 3(x2JabB.a+2ba_a,b2,.2Cb+aD.a+b2ab答案C解析因为a和卜同号，ba所以1a+b|=昌+101封2.baba12 .下列不等式一定成立的是()A.lg(x2+1)lgx(x0)1 、B.sinx+_2(xwktt,kCZ)sinxC.x2+12|x|(xR)1D.x2TV1(xCR)答案C解析当x0时，x2+42x2=x,所以lg(x2+4)lgx(x0),故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，

17、而当xwktz,kCZ时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；,一.1，当x=0时，有x=1,故选项D不正确.2x3 .当x0时，函数心)=若彳有()A.最小值1B,最大值1C.最小值2D.最大值2答案B2x22，一.，一，一解析电)=毋彳=二7，=1,当且仅当x=i时取等号.Xx+x4 .已知a0,b0,a+b=2,贝U丫=1+：的最小值是()ab79A，2B.40.2D.5答案C一r14114解析依题息，得a+g=2(a+b)(a+b)=15+(b+5+2反尸|,当且仅当b_ 4a a ba a0, b0,即a=2，b = 4时取等号,3314即勺最小值是5.

18、(2016平顶山至阳中学期中)若函数f(x)=x+；(x2)在x=a处取最小值，则a等于()X2A.1+皿B.1+我C.3D.4答案C解析当x2时，x-20,f(x)=(x-2)+22A/(x-2jX-+2=4,当且仅当x-2x2fx21 1，一一r,r一，=-；(x2),即x=3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x=3,即a=3,故选C.x26.已知x0,y0,且4xy-x-2y=4,贝Uxy的最小值为（）A.B,2啦C/T2D.2答案D解析.x0,y0,x+2y22xy,4xy-（x+2y）/2,40,.V2xy2,-xy2.1119坤7.（2016吉林九校第二次联考）若正数a,b满足a

19、十11,则十一的取小值是（）A.1B.6C.9D.16答案B11a19解析:正数a,ba+b=1,i=口0,解得a1.同理可得b1，所以口+-=9-a-1 a- 1三1+9缶一D2、/1 9（a1尸6,当且仅当1一一4_,9(a 1), 即 a = 一时 a-13等号成立，所以最小值为6.故选B.8. （2016唐山一模）已知x,yCR且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为答案4,1222x2+4y2解析.12xy=6(x+4y),而2xyW2，2ox24y2(x+4y2)4(当且仅当x=2y时取等号).又.(x+2y)2=6+2xy0,即2xy-6,z=x2+4y2=

20、6-2xy254=0.又a,2 .a b+1b为正实数,的取值范围是（0, +8）.10,设a0,b0,若姆是3a与3b的等比中项，则1+（的最小值为答案4解析由题意知3a3b=3,即3a+b=3,.-a+b=1,a0,b0,*11.（2016东莞*II拟）函数y=loga（x+3）-1（a0,且awl）的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m,n均大于0,则+（的最小值为.答案8解析y=loga（x+3）1的图像恒过定点A（-2,1）,由A在直线mx+ny+1=0上.得一2mn+1=0,即2m+n=1.工+2=2m土口+2(2m土旦)=口+细+42皿+4=8(当且仅当n=4

21、m,即m=1,n4时等mnmnmnmn4212.已知x0,y0,且2x+5y=20.(1)求u=lgx+lgy的最大值；1 1,一，(2)求1+y的取小值.解(1).x0,y0,.由基本不等式，得2x+5y2yi函.2x+5y=20,.210xy20,xy10,当且仅当2x=5y时，等号成立.2x+5y=20,x=5,因此有解得f2x=5y,y=2,此时xy有最大值10.u=lgx+lgy=lg(xy)0,y0,= 2107+5y+2x工工 x y 207+2 :5y 2xx-77+271020，当且仅当争寸，等号成立.仔x+5y=20, 由 5y_2xx y _10710-20Ix=3，解得

22、20-4V10y=3，冷的最小值为得产.13.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1wtw30,tCN+)的旅1旃人数f(t)(万人)近似地满足f(t)=4+f而人均消费g(t)(兀)近似地满足g(t)=120-|t-20|.(1)求该城市的旅游日收益W(万元)与时间t(1wtW30,tCN+)的函数关系式;(2)求该城市旅游日收益的最小值.1解(1)W(t)=f(t)g(t)=(4+,)(120-|t-20|)1t20,20t401 + 2= 441(t=5时取最小值).当te(20,30时，因为W(t)=559+1404t递减,所以t=30时，W(t)有最小值W(

23、30)=443|.一.2因为4410)表木的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；a不超过(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km,试问它的横坐标多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.199斛(1)令y=0,得kx)(1+k)x=0.由实际意义和题设条件知x0,k0,法20k20120故、=用7=二3万=10当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10km.k的方程122(2)因为a0,所以炮弹可击中目标?存在k0,使3.2=ka20(1+k)a成乂？关于a2k220ak+a2+64=0有正根？A=(-20a)2-4a2(a2+64)0?0a6.所以当a不超过6km时，可击中目标.