《集合、简易逻辑、函数易错点以及典型例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合、简易逻辑、函数易错点以及典型例题（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型1 .研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定，互异，无序)；已知集合A=x,xy,lgxy,集合B=0,IxI,y,且A=B,则x+y=2 .研究集合，首先必须弄清代表元素，才能理解集合的意义。已知集合M=y|y=x2,x口R，N=yIy=x2+1,xCR,求MAN;与集合M=(x,y)|y=x2,xR,N=(x,y)|y=x2+1,xCR,求MAN;以及M=x|y=x2,xR,N=y|y=x2xR,Q=(x,y)|y=x2,xR,求MPN,MnQ,QnN的区别。3-区别与。：表示空集，:不是空集，是指含的一个元素。4 .集合A、B,AB时，注意“极
2、端”情况：A或B;求集合子集AB时否忘记.eg.a2x22a2x10对一切xR包成立，求a范围，讨论了a=2情况了吗？5 .对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n1,2n1,2n2.如满足条件1M1,2,3,4的集合M共有多少个6 .解集合问题的基本工具是韦恩图；某文艺小组共有10名成员，每人至少会唱歌和跳舞中的一项，其中7人会唱歌跳舞5人会，现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目，问有多少种不同的选法？7,两集合之间的关系。Mxx2k1,kZ,Nxx4k1,kZ（CuA）n（Cub）=cu（aub）（Ci_a）u（cub
3、）=Cu（aab）；abbba；8.可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”p、q形式的复合命题的真值表：pqP且qP或q真真真真真假假真假真假真假假假假9 .命题的四种形式及其相互关系互逆逆互互为互逆逆否否否原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.注意区别否命题与命题的否定。10 .对映射的概念了解了吗？映射f:ZB中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？11 .函数的几个重要性质：如果函数yfx对于一切xR,都有faxfax或f(2a-x)=f(x),那么函数yfx的图象关于直线xa对称.如果函数yfx对于一切xR,都有faxf
4、ax或f(2a-x)=-f(x),那么函数yfx的图象关于点(a,0)对称.函数yfx与函数yfx的图象关于直线x0对称；函数yfx与函数yfx的图象关于直线y0对称；函数yfx与函数yfx的图象关于坐标原点对称.若奇函数yfx在区间0,上是递增函数，则yfx在区间，0上也是递增函数.若偶函数yfx在区间0,上是递增函数，则yfx在区间，0上是递减函数.函数yfxa(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数yfxa(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向右平移a个单位得到的；函数yfx+a(a0)的图象是把函数yfx助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数yfx+a
5、(a0)的图象是把函数yfx助图象沿y轴向下平移a个单位得到的.12 .求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？13 .求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=v，x(4x2的定义域是一lg(x3)复合函数的定义域弄清了吗？函数f(x)的定义域是0,1,求f(lOg0.5x)的定义域.函数f(x)的定义域是a,b,ba0,求函数F(x)f(x)f(x)的定义域14 .含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数y=asin2x+2cosx-a-2(aR)的最小值为m求m的表达15 .函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则若
6、aCA,则a=f-1f(a);若bCC,则b=ff-1(b);若pCC,求f-1(p)就是令p=f(x),求 x.（x e A）即 f 1bfba.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,16 .互为反函数的两个函数具有相同的单调性；原函数yfx在区间a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数yf1x也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.17 .判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数；18 .根据定义证明函数的单调性时，规范
7、格式是什么？(取值，作差，判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。19 .知道函数yxaa0的单调区间吗？(该函数在，、反和X/?上单调递增；x在ma和oja上单调递减)这可是一个应用广泛的函数！20 .解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论呀.21 .对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？(logab或史，|oganbnlogab)logca22 .还记得对数恒等式吗？(alogabb)23 .”实系数一元二次方程ax2bxc0有实数解转化为“b24ac0，你是否注意到必须a0;当a=0时，“方程有解”不能转化
8、为b24ac0,若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？2,24 .f(x)axbxc,区别f(x)恒大于0,与f(x)能取大于0的全体数情况。25 .函数值的求法(1)直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1.,._.y例1.求函数x的值域。A0解：二、0/.x显然函数的值域是：(，0)(。，)例2.求函数y36的值域。解：0&0,3&3故函数的值域是：，3(2)配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数yx22x5，x1，2的值域。2解：将函数配方得：y(x1)4Vx1，2由二次函数的性质可知：当x=1时，ymi
9、n4,当x1时，ymax8故函数的值域是：4,8(3)判别式法d21xxy-例4.求函数1x的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程(y1)x2(y1)x01_3(1)当y 1 时，x R1当y=1时，x 0,而1 31 32,2故函数的值域为2,2(1)24(y1)(y1)0解得：2y2例5.求函数yxJx(2x)的值域。.-.、,_2.、2一解：两边平方整理得：2x2(y1)xy0xR.4(y1)28y0解得：1V2y12但此时的函数的定义域由x(2x)0,得0x222由0,仅保证关于x的万程：2x2(y1)xy0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0,2上，即不能确保方程(1)有实
10、根，由0求出的范围可能比13y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为2,2可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。.0 x 2 丫 x -x(2 x) 0 yminx1解得：2224 20,2 x1即当10,y 1 72代入方程(1)2，2 24 22 时，原函数的值域为：0,1行注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。(4)反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x4例6.求函数5x6值域。x46y46y3xyX解：由原函数式可得：5y3则其反函数为：y5x3,其定义域为：53,一故所求函数
11、的值域为：5(5)函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。Xe1y例7.求函数ex1的值域。exrJrJo解：由原函数式可得：y1Vex0.y1解得：1y1故所求函数的值域为(1，Dcosx.,.一.y例8.求函数sinx3的值域。解：由原函数式可得：ysinx8sx3y,可化为：3y-2sinx(x)27V1sinx(x)3y即vy1.xR/.13y1也红红巨即621解彳#sinx(x)11:彳y丁故函数的值域为44(6)函数单调性法例9.求函数y2x5log3vxi(2x10)的值域。解：令y12x5，y2啮3477则y1，y2在2,10上
12、都是增函数所以yy1y2在2,10上是增函数当x=2时，ymin2log3v21851,33当X=10时，ymax2logs/933故所求函数的值域为：8例10.求函数y八1*x1的值域。2解：原函数可化电孔1令y1C,V2或1,显然y1,y2在1,上为无上界的增函数所以yy、y2在1，上也为无上界的增函数22所以当x=i时，yyiy2有最小值行，原函数有最大值瓢,显然y0,故原函数的值域为。、(7)换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例ii.求函数yx口的值域。解：令
13、x1t,40)xt21212.ytti(t-)乙34又t0,由二次函数的性质可知当t。时，ymin1当t。时，y故函数的值域为1，)例12.求函数yx21(x1)2的值域。2解：因1(x1)0即(x八21)1故可令x1cosycos1,1cos2sincos12sin(40,1_544sin()10,02240.2sin(-)11、.2故所求函数的值域为0，1扬3xxy-例13.求函数x2x1的值域。解:原函数可变形为:1.y-sin2cos22k_当了8时，ymin故所求函数的值域为1 2x1x22 1x21x2可令xtg1ksin4ymax4当28时，14而此时tan有意义。11,442x
14、，则有1x214sin2,1x21x22cos1)(cosx 1)1) sin x cosx方,2的值域。sin x cosx 1例14.求函数y(sinx解.y(sinx1)(cosx令sinxcosx-tsinxcosxt,则122(t1)12y2(t1)2可得：了.当t也时122(t)由tsinxcosx=x34-X4-1(7)递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式例8设f(x)是定义在N上的函数满足f(1)1对任意的自然数a,b都有f(a)f(b)f(ab)ab,求f(x)Mvf(a)+f(b)=f(a+b)-abta.be*二不妨令。=工：匕=1，得；/(x)+/(I)=/(r+l)-x又/(I)=l加(x+D-7a)=2分别令中的工12打一1得；/-/(2)=3,/-75-1)=4将上述各式相加得：/W-/(l)=2+3+-n,价+D-/=”+建工昼反x|x2或x-y1-3xx:ly-解：.定义域为22由y2x1得2y31y11y133故,2y32或2y32解得y2或y2(4)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。27.函数奇偶性的常用结论:(1)如果一个奇函数在处有定义，则，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则(反之不成
集合、简易逻辑、函数易错点以及典型例题
