二元一次方程组的概念和解法(同步)

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1、学习必备欢迎下载二元一次方程的基本概念1. 含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1 的方程叫二元一次方程判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：1方程两边的代数式都是整式一一整式方程；2含有两个未知数- 二元”；3含有未知数的项的次数为1 “一次” 2. 二元一次方程的一般形式：ax 亠 by 亠 c =0（a =0， b =0）3. 二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解一般情况下，一个二兀一次方程有无数个解u同步练习【例 1】下列各式是二元一次方程的是（)A. 3x -y +z =0B. xy 3y +x =01 22C. _

2、x 一 y =0D. +y -1 =023x【巩固】下列方程是二元一次方程的是（2B. 4x 3x=0 C. 2 y=3 D. 3x = y【例 2】若 x32-2y2 =5 是二元一次方程，则求 m、n 的值.【巩固】已知方程（m -2）xn暇才=m 是关于 x、y的二元一次方程，求 m、n 的值.【例 3】若 x3m-2y2=：5 是二元一次方程，则求 m、n 的值.【巩固】已知方程（m-2）xn_ 2 才二 m 是关于 x、y的二元一次方程，求 m、n 的值.A. 3x T =xy学习必备欢迎下载【例4】【巩固】【例5】ix - 2已知X是方程 kx_y=3 的解，那么k的值是（）八1A

3、.2B. -2C.1fx - 2已知一是方程 2x ay =.5 的解，则 a =|y =1-D. -1设 x、y为正整数，求 5x y =24 的所有解设 x、y为非负整数，求 2x y =5 的所有解设 x 为正数，y为正整数，求 3x y =6 的所有解【例6】【例7】A.2【巩固】【例8】【巩固】若方程 3x2m _5y3m 4n1=8是二元一次方程，则（m - n）（m2fx 2 已知是方程 kxy =3 的解，那么k的值是（）|y =1B.-2C.1D.-1x =2 已知_ 是方程2x a =5的解，则a =y -1方程 3x - y =10 的正整数解有几组？（）A.1 组B.3

4、 组C.4 组设 x、y为正整数，求 5x y = 24 的所有解设 x、y为非负整数，求 2x y =5 的所有解设 x 为正数，y为正整数，求 3x y =6 的所有解2 mn n ）的值为_D.无数组学习必备欢迎下载【巩固】一副三角板如图方式摆放，且方程组为（）-1 的度数比2的度数大50，若设/1=x，- 2 二 y，则可得到的【例9】若方程 3x2m- _5y3m+n丄=8 是二元一次方程，则（mn ）（m2+m n + n2）的值为_【巩固】若 xa- -2ya2 =11 是二元一次方程，那么的 a、b值分别是（）A、a = 1，b = 0B、a=0，b =1C、a = 2，b =

5、 1D、a = 2，b = 3二元一次方程组：1. 由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（元方程在这里也可看作另一未知数系数为0 的二元方程）Ox =6如2X6也是二元一次方程组3x - y =12. 二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数3x -2y =54-x =5C.A.B.xy =7y =44-x _3y =4丄 2x -4y =1GE.F._3x +y =5_2x -4y =111=y _ 3丄 2x-7y =0D.4=x 亠

6、 5#x -5z = 3y产x y = 44x - z =513H. 2x=34x - z =1:5x -3y =1【例11】如图，射线OC的端点O在直线AB上,方程组为（）.1的度数x比.2的度数 y 的2倍多10，则可列正确的AJx+y；180 x=y 10B.x y =180 x =2y 10C.2x+y=180 x =10 -2y【例10】下列方程组中，是二元一次方程组的是（） （多选）D. xy=90I y =2x -10学习必备欢迎下载【例 12】下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解?A. % 八27B. x 心 7C.x心7D.3x 2y 二 663x 2y =1003

7、x 2y =66-捐款3元的有y名同学，根据题意得，可列方程组()x y = 273x 2y 二 100 xy =1?x +2y =5x =1y =0 乂二2y =34 -4xx =8y =22x-7y3x -10 = 8y6x =54-y 二-5【巩固】 下列四组数对中x = -1y 八x =1y=2，|x =0，、丫=5是方程组?x+ 3y=8i3x + y = 5的解的序号f x 二 2【巩固】在，y =3fx 二 2f x 二 0y =1，y =2f x = 4(，y=0，X = 1y.这五对数值中，是方程 的解A. lX=丫-50 x y =180B. x =y50|x y =180

8、C.x=y-50 x y =90D.x =y 50 x y = 90【巩固】某校初三班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100兀，捐款情况如下表:表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染，已看不清楚,若设捐款2元的有 x 名同学,学习必备欢迎下载，x 2y =4 的解是2x - y = 3，的解是学习必备欢迎下载fx - 1【例13】请以X为解，构造一个二元一次方程组沪2-X _ 1【巩固】请以 一 一为解，构造一个二元一次方程组y=3(x _ a【例14】若 2 -是方程 3x+y=1 的一个解，则 9a+3b+4=_y =b二元一次方程组的解法代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组

9、中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程(组)经常用到的方法用代入法解二元一次方程组的一般步骤：1从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y ,用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y =ax b 的形式；2y 二 ax b 代入另一个方程中，消去y，得到一个关于 x 的一元一次方程；3解这个一元一次方程，求出x 的值；4回代求解：把

10、求得的 x 的值代入 y=ax F 中求出 y 的值，从而得出方程组的解(X = a5把这个方程组的解写成的形式y =b【例 15】把方程 2(x y) -3(y -x) =3 改写成用含 x 的代数式表示 y 的形式，则()A. y =5x -3B. y = -x -3C. y =5x 3D. y = -5x3学习必备欢迎下载的形式_【例16】用代入消元法求解下列二元一次方程组2x -y =53x 4y =2【巩固】用代入法解下列方程组2x 3“402xy=3?-y=-5fx-5y=11【例17】已知 0.5xaby与-xaJy3是同类项，那么（）3加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元

11、一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法用加减法解二元一次方程组的一般步骤：1变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；2加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；4回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；（X = a5把这个方程组的解写成的形式.y =b加减消元方法的选择:【巩固】已知关于 X、y的二元一次方程X2(by ( aa 3b均为常数），将其改写为用含 x 的代

12、数式表示y5X 2八253x 4y =15m n = 2 2m3n =14Lx、3x + 2 y = 8x _4y = _1y2x y =16x 1 c2y3y2(x 1) - y =11A.a - -1b = 2B.a =1b - -2C.a = _2b=1D.a =2b - -1学习必备欢迎下载1一般选择系数绝对值最小的未知数消元；2当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；3某一未知数系数成倍数关系时， 直接对一个方程变形， 使其系数互为相反数或相等， 再用加减消元求解;4当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两

13、个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解【例 18】用加减消元法、解下列方程2x -y =5 x y =1【巩固】用加减消元法解下列方程选用恰当的方法解下列方程组【巩固】解下列方程组:(1)3(y -1)=4(x -4)3x _2 2y -15(x -1)=3(y5)4574 310(xy)4(1x) _x2y =42x -y =23x _ y =74x _ 5y =17gx+2y =8gx-y=133x 2y =8 2x 374 x 2y6x -4y = -5【例 19】 选择合适方式解下列方程:8x 9y =2317x 6y =74学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载【例20】

14、已知x、y满足方程组鳥%，贝U x - y的值为【例21】元一次方程组33 2的解为x二f3x - . 2y 二 2 (32y x 16【例22】解方程组：4y2=2y 3x =7 -2x -y三元一次方程组解三元一次方程组的基本方法是将三元一次方程组通过消元的方式，转化为二元一次方程组来求解【例 23】解下列方程组3xyz=4x-yz=2 2x 3y -z =12 2x 4y-z=10 x yz=6x yz=4学习必备欢迎下载【巩固】 已知有理数 x、y、z 满足（x -z -2）2“|3x -6y -7| “|3y 3z -4 = 0，求 x、y、z 的值含参数方程组方程组解 x 与 y

15、之间数量关系【例 24】方程组 少-3y=k的解 x 与y的值相等，则k等于_2x +3y =52x _v =1 m【巩固】在方程组中，若未知数 x、y满足 x y 0，则 m 的取值范围为（）lx 2y =2A.m 3B.m：3C.m丄3D.m_3fx -2v - -k【例 25】已知关于 x、y的方程组 C2y，则x:y=_x +2y =7kx -2y z = 0【巩固】已知x,y，z满足方程组 7x4y-5z=0，且乂“，求：x:y:z的值.f 4x 亠 3v 二 1【巩固】若方程组 ax（ay-l）y=3 的解x与相等，则a的值等于 -学习必备欢迎下载I巩固】若联立方程式 2：；。的解

16、 x 与y之和是3,试求出此联立方程的解与a的值(3x 2y =2k【巩固】 若方程组的解之和 x-5，求k的值|5x 4y = k 3(3x 5y = k 2【巩固】若方程组 2：3y=k 的解:、y的值和为2，试求k的值同解方程【例 26】已知方程组3：一小4与2mx-3ny =19有相同的解，求 m、n 的值 Jmx ny 二 7 5y x 二 3i x - 2 y 二3f ax 亠 by 二 9【巩固】已知两组 x、y的二元一次方程组y与y有相同的解，试求 a、b的值-2axby=0_2xy=3(3x 亠 y 二 5(3ax - 2by 二 0【巩固】已知两组关于 x、y的二元一次方程

17、组 jy与y有相同的值，试求 a、b的值ax+2by=22x y=5ax - by = 4 ax by = 2【例27】已知方程组 2x.3y“与 4x-3y=2 的解相同，那么a学习必备欢迎下载错数与错解问题ax - y = 3【例 28】小明与小强同解 x、y的方程组，小明除了看错中 a 之外，无其他错误，求得_3x +by =15 (x -1f x - 2解为x;小强除了看错式中的b之外，无其他错误，求得解为2，试求出 a、b之值与卜=6y=方程组的解ax + by = 2f x = 3【巩固】甲、乙二生同解关于 x、y的二元一次方程组，甲生得正确解为；乙生将 c 看jCX-7y=8=

18、-2ix - 2错，得其解为，求 a、b、c 的值y =2引入参数【例 29】若-=-且 x y 24，求 x、y、z 的值345【巩固】解下列方程组丄上4562x 3y 4z 二-3【巩固】 求方程式=匕勺二红11中的 x、y的值学习必备欢迎下载342二元一次方程组解的讨论二元一次方程组盼如“2x +b2y =Q右- b，则该方程组有唯一解a2b2若=b ，则该方程组无解a2b?C2若a1乞=9，则该方程组有无数组解a26C2aiX 亠 by 二 G【例 30】解二兀一次方程组（a1、b、C|、a2、b2、c2、均不为0）02X +b2y =C2【例 31】已知二元一次方程 x+2y=3 与

19、 2x+ay=b 可化为同一个方程，即它们的解完全相同，则 a =_b =_【例 32】关于 x、y的方程组4X 4ky0有无穷多组解，求k的值|8y 4x =1y = kx + b【巩固】k、b满足什么条件时，方程组y =(3k1)x+2有唯-组解无解有无穷组解学习必备欢迎下载ax 2 y =1【巩固】已知关于 x、y的方程组，分别求出当 a 满足什么条件时，方程组有唯一一组解;2x+2(a-1)y=3无解；有无穷多组解【例 33】已知关于 x、y的二元一次方程(a -2)x (a - 2)y 5-2a =0 ,当 a 每取一个值时，就有一个方程,而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解课后

20、练习、- -1、 已知方程 2xm临+3y1n=17 是二元一次方程，则m =_ ， n=_2 _k2、 已知 y=3x 是二元一次方程，那么k的值是()A.2B.3C.1D.0fx 二 1f x 二 23、 已知 g，都是方程 ax-by=1 的解，则 a=_ ， b =_ly = -2ly =0学习必备欢迎下载10、已知 x、y是有理数且（x 1）2+（2y+1）2=0，那么xy等于_11、若 2x 5y 4z =0 , 3x y -7z =0，则xy -z等于（4、用代入法解方程组3x y =72x 5y =135、解二元一次方程组：3m -4n = 79m -10n25 =06、解下列

21、方程组:x y =72 32x y _17_4 -1m n n - m2!3 44m - =13I 3匕汽0.4x 0.7y =2.85x - y =1203y -11x =1207、已知方程组：2x3ya（xy“0），求：x:y:zK-2y+3z=0已知；4x _3y _6z=0 则 2x2+y2_6z2丿、2222y-7z=022，则 x25y23z9、方程组ax by =2的解是x二2，c，求出解为，则正确的e 值为_学习必备欢迎下载ax 亠 5y -13 x -13、甲、乙两人解方程组y-由于看错了方程中的 a 而得到方程组的解为一4x _by 二 _2y 二f x 二 5方程中的b而得到的解为，假如按正确的 a、b计算，试求出原方程组的解y =4x y =714、已知关于 x、y的方程组ax 亠 2y =c当 a、c 满足什么条件时，方程组有唯一解当 a、c 满足什么条件时，方程组有无数组解当 a、c 满足什么条件时，方程组无解A.不能求出B.0C.1D.212、设 A =3x y ,B=y，若3A2B=4且2B A=1，则可得 x、y的联立方程式为(11x 亠 y =411x - y =4A.B.5x _y =15x _y =1C. 11xy=4D.皿一八4|5x;乙看错了