非对称随机波动模型的有效估计方法及沪深股市的应用研究

《非对称随机波动模型的有效估计方法及沪深股市的应用研究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非对称随机波动模型的有效估计方法及沪深股市的应用研究（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2008年数量经济学年会宁波第1组 计量经济理论与方法非对称随机波动模型的有效估计方法及沪深股市的应用研究郑挺国 刘金全(吉林大学数量经济研究中心，130012)内容摘要：非对称随机波动(SV)模型是当前金融计量学研究的一个重要课题。本文在Yu (2005)的非对称SV模型设定下，按照Kim et al. (1998)对SV模型进行对数平方转换，给出了一种基于扩展Kalman滤波和前向滤波、后向抽样(FFBS)算法的马尔科夫链蒙特卡罗(MCMC)估计方法。为考察该MCMC估计方法的有限样本性质，本文构建了随机模拟实验，结果表明杠杆效应系数模拟结果与Yu (2005)及Kawakatsu (20

2、07)的模拟结果相似，且明显优于Jacquier et al. (2004)的模拟结果，其余参数的模拟结果随样本长度变大趋于真实值。最后，我们对我国沪深股市收益率进行了应用研究，证实了该估计方法的有效性、准确性，并获得了存在杠杆效应的经验证据。关键词：非对称SV模型；杠杆效应；MCMC估计；FFBS算法；扩展Kalman滤波作者简介：郑挺国，男，1979年6月，吉林大学数量经济学专业博士研究生，已在China Economic Review、Frontiers of Economics in China、经济研究、管理世界和世界经济等国内外经济学杂志上发表学术论文18篇。Email信箱：或。通

3、讯地址：吉林省长春市前进大街2699号，吉林大学数量经济研究中心，邮编130012。刘金全，男，1964年6月，博士，吉林大学数量经济学专业教授、博士生导师，已在Frontiers of Economics in China、中国社会科学、经济研究、管理世界和世界经济等国内外经济学杂志上发表学术论文100多篇。Email信箱：或。通讯地址：吉林省长春市前进大街2699号，吉林大学数量经济研究中心，邮编130012。一、引 言波动率和资产收益率之间的关系已成为金融计量学广泛研究的一个重要课题。大量研究表明股票价格运动和波动率之间呈负相关，这称为杠杆效应，例如Black (1976)、Christ

4、ie (1982)及Engle and Ng (1993)。通常当有利空消息产生时，公司股票价格下跌并暗示公司财务杠杆提高，人们相信这意味着更多的不确定性及更高的波动率。Black (1976)和Christie (1982)最早发现杠杆效应的证据，即波动率对利空消息趋于上升，而对利好消息趋于下降。Christie (1982)在Modigliani/Miller经济模式下提供了杠杆效应的理论解释。事实上，如Hull and White (1987)所述，当在SV模型中未考虑非对称特征时，期权价格实质上可能是有偏的。然而，Black (1976)、Christie (1982)及Schwert

5、 (1989)的实证结果表明，杠杆效应自身作用太小，不足以解释股票价格中发现的不对称性。许多方法可以用来检验杠杆效应，这主要取决于波动率如何定义。Christie (1982)通过以季度计算来自天数据的波动率，并将波动率与收益率建立相关性，这实际上产生了杠杆效应的一种最简单检验。在ARCH族文献中，通常条件方差被设定为收益率大小和符号的函数，如Glosten et al. (1993)及Nelson (1991)。于是，波动率对收益率的非对称响应就可以通过检查相关系数的显著性来检验。而在SV文献中，已有一些研究将波动率与收益率的符号建立联系，如Harvey and Shephard (1996

6、)、Jacquier et al. (2004)及Yu (2005)。在期权定价文献中，非对称SV模型通常根据随机差分方程(stochastic differential equation, SDE)进行公式表示，广泛使用的非对称SV模型将资产价格和对应波动率的过程设定如下(1)其中和为两布朗运动，且，参数代表杠杆效应。为简单起见，我们假设收益率方程漂移为零，即。然而，由于布朗增量的波动过程是一个随机过程，连续复利收益率分布在闭型形式下未知。在经验研究中，上述模型通常以离散化形式给出并进行估计。设为对数收益率，并考虑Euler-Maruyama时间离散化的近似表示，我们有(2)其中为连续复合收

7、益率，。因此，和均为独立同分布零均值、单位方差的正态分布，即，且两者之间存在相关性，即。非对称SV模型的参数估计在金融计量经济学中十分重要，但实际上估计参数受到许多问题的困扰。一方面，基本对称随机波动(SV)模型的似然推断严重依赖于高维积分，引入非对称形式后更加大了似然函数的复杂性，导致模型估计更为困难。另一方面，一些经典算法不容易直接运用到非对称随机波动模型的估计上来，如广义矩估计(GMM)，伪极大似然估计(QML)等。近年来，一些经验研究探讨了非对称SV模型的估计问题。最简单的估计方法就是Harvey and Shephard (1996)基于Harvey et al. (1994)的QM

8、L方法，他们采用对数转换并采用Kalman滤波对线性Gaussian状态空间模型进行极大似然估计。该方法在对数转换之后，用正态分布密度直接近似对数卡方分布密度，由于这些近似是不准确的，这种方法称为伪(quasi)极大似然方法。但这种方法的优点就在于估计的简便性，由于似然函数可直接建立在预测误差及其均方误差上，计算速度非常非常快。然而，更多的估计方法则倾向于采用贝叶斯马尔科夫链蒙特卡罗(MCMC)方法，其严格依赖于似然推断结果。首先，Jacquier et al. (2004)基于Jacquier et al. (1994)的MCMC方法对非对称SV模型进行似然推断，并给出了模型的估计策略；其次

9、，Yu (2005)基于Harvey and Shephard (1996)的非对称SV模型设定并结合Meyer and Yu (2000)的算法给出了估计策略，他还认为Harvey and Shephard (1996)的非对称SV模型设定严格依赖于随机差分方程，而Jacquier et al. (2004)的非对称SV模型设定不是并因此与有效市场假说不一致；另外，Artigas and Tsay (2004)及Tsay (2005)基于Carter and Kohn (1994)的前向滤波、后向抽样(FFBS)算法和非线性状态空间转移方程的一阶泰勒近似方法对Jacquier et al.

10、(2004)的非对称SV模型设定采用MCMC估计，由于FFBS算法可以成块地抽取隐状态变量(对数波动率)，该算法一般被称为多步Gibbs抽样法，并比Jacquier et al. (2004)和Yu (2005)的单步移动方法更为有效。但与Jacquier et al. (2004)一样，Artigas and Tsay (2004)及Tsay (2005)在非对称SV模型设定也有一定缺陷。Omori et al. (2007)基于Kim et al. (1998)的混合抽样方法也提出了一种基于前向滤波、后向抽样算法的MCMC方法。其它一些方法则依赖于模拟方法，例如Kawakatsu (200

11、7)基于数值积分Gaussian滤波的极大似然方法、Durham (2006)的模拟极大似然方法等等。本文将主要关注非对称SV模型正确设定形式的MCMC估计，这不同于Jacquier et al. (2004)和Artigas and Tsay (2004)的研究。事实上，为以下估计算法的简便性，我们可以直接考虑Yu (2005)给出的模型形式。如果我们令，且，则非对称SV模型重新表示为(3)这里和均为，且满足。显然，对方程(3)，这表明这是一个关于的线性函数，表明如果且其它参数均为常数，那么股票价格或收益率下降将导致的增加，因此杠杆效应成立。本文第二部分给出非对称SV模型的MCMC估计方法，

12、我们将对方程(3)进行对数平方变换并采用Kim et al. (1998)和Omori et al. (2007)的混合正态分布近似，然后通过扩展Kalman滤波和Carter and Kohn (1994)的前向滤波、后向抽样(FFBS)算法实现隐对数波动率的成块抽取。第三部分对该MCMC估计方法进行随机模拟实验，讨论估计方法的有限样本性质。第四部分对我国沪深股票市场波动率进行实证研究。最后为本文结论部分。二、MCMC估计方法2.1. Gibbs抽样在许多金融时间序列模型中，参数和变量的联合分布是相当复杂、高维分布的，因此不可能直接从这个分布中抽取样本。然而，建立在马氏更新算法上马尔科夫链蒙

13、特卡罗(MCMC)技术可以间接地从所关心参数的联合密度中生成样本，而不必直接设定这些密度的确切形式。最简单的MCMC算法就是Geman and Geman (1984)论文提出的Gibbs抽样，它通过模拟更易获取的条件分布密度，并采用一种迭代程序来构造马尔科夫链。如此，在大样本的模拟下，预期能够收敛到目标分布。假设我们要从联合分布中进行抽样，其中为划分为块的未知参数向量或隐变量。给定任意初始迭代值：，算法从中抽取，从中抽取，从中抽取，这里。这种连续抽样可能包括从标准密度(如gamma，正态，学生t等密度)进行简单抽取或采用Metropolis-Hastings算法从非标准密度中进行抽取。Gib

14、bs抽样产生了一组随机变量：。在某种正则条件下，结果表明对充分大的样本，这组序列就渐近等价于一组从参数和隐变量联合分布密度中的随机抽样，见Geweke (1999)，Tierney (1994)及Smith and Roberts (1993)对Gibbs抽样收敛条件的详细讨论。由于马尔科夫链需要一些时间才能收敛，通常前个抽样作为预烧(burn-in)抽样舍去。结果，后验均值、标准差或密度估计值等后可直接构建在抽样样本之上。关于Gibbs抽样方法以及MCMC方法的详细讨论，请参见Gelfand and Smith (1992)及Tierney (1994)。2.2. MCMC估计技术的实现对非

15、对称SV模型，目的就是采用MCMC方法从联合分布中进行抽取，为此我们可以利用Metropolis-Hastings算法、Gibbs抽样法或两者结合的混合(hybrid)MCMC抽样法来推断SV模型。为实现MCMC算法，我们必须从合适的条件分布中进行抽样。注意到方程(3)中关于和的设定是不可识别的，直接进行抽取比较困难。考虑到这一点，我们进行如下的参数变换，令和，方程(3)定义的非对称SV模型可重新表示为(4)显然，参数和可通过以下估计算法轻松实现，而为得到和的估计值，我们只需通过转换等式和进行恢复即可。Artigas and Tsay (2004)及Tsay (2005)对和的实现与Jacqu

16、ier et al. (2004)的方法一致，都是通过构造和的双变量正态分布密度进行实现。显然，这种形式更为直观、更为简便，也保留了模型本身的理论含义。令表示到时刻的隐对数波动率向量，表示到时刻的观测值向量，表示非对称SV模型中的未知参数，注意且。因此，对全样本来说，我们有，且。由贝叶斯定理和模型假设，我们有(5)其中，。为参数先验分布密度，且假设每个参数在先验上是独立的。如果假设，那么(6)给定一定的先验分布密度，利用Metropolis-Hastings算法或Gibbs抽样方法，我们可以轻松地实现该非对称SV模型的估计。下面，我们分别从参数向量和隐对数波动向量两方面的内容进行描述：2.2.

17、1. 抽样参数向量在MCMC算法中，给定隐对数波动向量和观测值向量，参数可从它们的条件分布密度中进行抽取。正如许多研究讨论的那样，例如Jacquier et al. (1994, 2004)、Shephard (1996)、Kim et al. (1998)及Chib et al. (2002)，这些参数可直接从正态分布和逆Gamma分布中抽样，或间接地采用Metropolis算法从Beta分布中抽样。第1步：参数的抽取给定，隐对数波动和样本观测值，的全条件密度为(7)其中，且。如果我们对使用扩散先验(diffuse prior)，即，那么就从中进行抽取。另外，如果先验密度设定为一个正态分布，

18、那么对此参数的后验就是共轭的。第2步：参数的抽取给定，隐对数波动和样本观测值，的全条件密度为(8)由于这个条件分布密度不是一个传统分布密度，直接从它进行抽取是不可能的。按照Kim et al. (1998)，我们首先假设对超参数的某种选择，的先验密度为一个尺度化的Beta分布，即(9)也可以使用其它先验，例如Shephard (1996)使用平直先验(flat prior)，Chib and Greenberg (1994)及Marriott and Smith (1992)对自回归模型讨论了其它先验。Chib and Greenberg (1994)表明可用Metropolis-Hastin

19、gs算法进行抽样，算法描述如下：1) 在第次迭代，已知当前值；2) 从控制密度(proposal density)中抽取，其中， 3) 以概率接受，其中第3步：参数的抽取给定，隐对数波动和样本观测值，的全条件密度为(10)其中，。如果我们对采取扩散先验(diffuse prior)，即，那么就从中进行抽取。不然，只要对取正态先验密度，那么的后验密度仍为正态，即为共轭的。第4步：参数的抽取给定，隐对数波动和样本观测值，的全条件密度为(11)假设的先验为逆Gamma，即，则后验密度为共轭的，这意味着得后验分布密度也为逆Gamma，即，其中， 表示逆Gamma分布。2.2.2. 抽样隐对数波动向量隐

20、对数波动序列的Gibbs抽取是非对称SV模型估计的难点，目前普遍认为一种好的算法应具备两点条件：(1) 随机抽样的有效性；(2) 技术实现的收敛速度。为此，我们这里考虑用Kim et al. (1998)的状态空间变换并结合Carter and Kohn (1994)的前向滤波、后向抽样算法进行非对称SV模型的估计。与Harvey et al. (1994)、Kim et al. (1998)相似，通过对方程(3)第一个方程的两边取对数平方转换，非对称SV模型形式可重新表示为：(12)其中。由于，不是正态分布，一般称之为对数卡方分布。将方程(12)处理为一个经典状态空间模型，除不为Gaussi

21、an外我们有状态空间形式。为克服非正态困难，Kim et al. (1998)使用七正态分布的混合来近似的分布，而Omori et al. (2007)将之用10个正态分布的混合密度进行近似，见表1和图1。图1(b)结果表明Omori et al. (2007)的10个正态分布的混合密度近似结果比Harvey et al. (1994)的单正态分布近似结果和Kim et al. (1998)的7个正态分布的混合密度近似结果更好，近似密度与真实密度之差(见实线部分)几乎接近于零。表1对数卡方分布密度的10正态混合分布近似结果Kim et al. (1998)Omori et al. (2007)

22、ipimipimi123456789100.007300.000020.105560.257500.340010.245660.04395-11.40039-9.83726-5.24321-2.35859-0.650980.524781.507465.795965.179502.613691.262610.640090.340230.167350.001150.015750.055910.120470.188420.227150.206740.130570.047750.00609-14.65000-8.68384-5.55246-3.46788-1.97278-0.851730.022660

23、.735041.347441.926777.333424.165912.544981.574690.985830.626990.406110.267680.177880.11265注：本表数值结果摘自Kim et al. (1998)表4和Omori et al. (2007)表1。图1 对数卡方密度的近似结果Normal-QML为Harvey et al. (1994)采用的单正态密度近似；Mixture-KSC为Kim et al. (1998)采用7个正态分布的混合密度近似；Mixture-OCSN为Omori et al. (2007)采用10个正态分布的混合密度近似如前所述，本文采用

24、Omori et al. (2007)的近似结果来逼近对数卡方分布密度，即， (13)其中为指示变量，满足且。为实现对数波动的成块抽样，我们首先应确定，且的分布状况，即要获得，的确定值，这样就要对指示变量先进行抽取。然后给定指示变量，且下，和是确定的，那么(12)式第一个方程就是确定的Gaussian形式，因此这使得我们轻松地实现前向滤波、后向抽样(FFBS)算法。第5步：混合正态及指示变量的抽取首先，基于隐对数波动向量，观测值向量和正态分布混合密度的近似参数，令， (14)其中表示标准正态随机变量的累积分布函数，概率值为给定和下的似然函数值。表1的概率值构成了的一个先验分布，因此的后验分布为

25、， (15)我们可以采用这种后验分布来抽取的实现值。如果随机抽样为，那么我们就定义和，。第6步：隐对数波动向量的抽取虽然通过对数平方变换之后非对称SV模型的观测方程变为线性，但是转移方程中与的函数关系仍为非线性。为此，我们采用扩展Kalman滤波(EKF)对非线性转移方程进行近似，扩展Kalman滤波方法见Hamilton (1994，计量经济学手册第4卷)，另外Artigas and Tsay (2004)也采用该方法对非对称SV模型进行近似。假设，方程(12)的第二个方程就可用在附近的一阶泰勒近似式替代。引入和，方程(12)表示为(16)其中扰动项，用来近似，并且我们定义(17)(18)于

26、是，基于观测值向量，以及参数向量，扩展Kalman滤波可表示如下：(19)其中表示基于到时刻的所有信息对时刻变量的期望估计值，表示基于到时刻的所有信息对时刻变量的期望估计值，和分别表示对数波动及其方差，和分别表示对数波动预测误差及其方差。接下来，我们运用Carter and Kohn (1994)的多步移动Gibbs抽样方法，这种方法的优点就在计算的有效性和快速收敛性。首先，假设滤波状态向量，和预测向量，由扩展Kalman滤波获得，且给定，下，我们的目标就是从以下联合分布中抽取隐对数波动向量，(20)由于方程(16)中为一个马尔科夫过程，最后等式成立，因此基于，独立于。方程(19)表明状态向量

27、可先从条件密度中抽取，然后迭代地从条件密度中抽取，。首先，对时刻的状态变量，它可从以下条件分布中生成：(21)其中和均为来自扩展Kalman滤波最后一次迭代的结果。其次，对，要从条件密度中获得的抽样，我们需要构造和双变量的正态分布，其多元正态分布为(22)其中为和的协方差。于是，根据多元正态分布的条件分布公式(见Kim and Nelson，1999，24页)可得(23)显然，根据公式(23)，我们很容易递归地抽取出，。2.3. MCMC算法概括如上所述，本文对非对称SV模型采取MCMC估计方法的步骤如下：(1) 给定和的初始值；(2) 抽取；(3) 采用Metropolis-Hasting算

28、法抽取；(4) 抽取；(5) 抽取；(6) 从中抽取；a) 抽取，并记，；b) 给定，采用扩展Kalman滤波及前向滤波、后向抽样(FFBS)算法，先抽取，并对，迭代地抽取。(7) 令和，记，并令，返回第(2)步。三、随机模拟实验3.1. 实验设计前一部分给出了非对称SV模型贝叶斯框架下的一种MCMC估计方法，为考虑这种方法的有限样本性质，这部分我们构建蒙特卡罗模拟实验进行证明。我们将考虑四组不同真实参数值，分别设为(0, 0.95, 0.30, 0)、(0, 0.95, 0.30, -0.30)、(0, 0.95, 0.30, -0.60)和(0, 0.95, 0.30, -0.90)。参数

29、选取主要基于来自股票数据和汇率数据经验研究的相关结果，一般而言，持续性参数相对较高，介于0.8和0.995之间，相关系数用以度量波动率与收益率之间的杠杆效应，介于和0之间。持续性参数和波动参数则满足变化系数平方小于1，见Fridman and Harris (1998)。这里对每组参数值分别考虑两种不同的样本长度，分别令和。因此，我们将对不同参数设定和不同样本长度实现8种随机模拟实验。下面，对每组数据进行次重复随机模拟实验。具体实验步骤描述如下：(1) 根据方程(3)生成非对称SV模型的随机样本；(2) 采用前一部分描述的MCMC估计方法对第(1)步模拟的样本数据进行估计。这里对每组样本数据进

30、行6000次抽样，其中前1000次抽样作为预烧迭代舍去。在实现MCMC估计中，我们对参数采用Kim et al. (1998)的先验设定：为扩散先验；，满足，这表明有均值为0.8623、标准差为0.1036的先验分布；转换标准差参数的先验满足，这表明有均值为0.1201、标准差为0.0486的先验分布；转换参数的先验密度为扩散先验。而且，这里假设上述先验分布相互独立。(3) 计算并储存第(2)步获得的相关参数迭代抽取值，其中和分别通过等式和计算得到；(4) 重复(1)(3)步，直至。随机模拟实验采用Ox和Gauss矩阵语言进行编程，在Windows Vista系统上运行。这样一来，我们对样本大

31、小为500的模拟数据进行每次实现需大约58秒，而对样本大小为1000的模拟数据进行每次实现需大约120秒。这些数值和计算速度使得我们完全可以扩展到更大的数据样本中，在第五部分将考虑更大的数据样本。3.2. 模拟结果表2给出了非对称SV模型以上随机模拟样本的实验结果。首先，考虑参数时的情形，这有助于我们考察其余参数的有限样本性质。如表所示，当样本长度从增加到时，参数，和均从明显越接近于真实参数值，模拟参数的均方根误差变得越小，这说明这三个参数随样本长度增加趋于收敛于参数的真实值。其次，考虑参数分别等于、和的情形，这解释了参数的有限样本性质。如表所示，当样本长度从增加到时，参数与真实值的偏离越大，

32、且为正，然而参数的标准差却逐渐变小。纵向来看，当杠杆效应系数绝对值越大时，参数与真实值的偏离逐渐变大，我们注意到仅为时，这种偏离可能最小，即非常接近于零。除此之外，其余参数，和的变化情况基本与时的情形相似。为讨论本文估计方法的准确性及模拟结果的可信程度，我们将本文模拟结果与其他研究的同类结果进行比较。首先，本文的模拟结果优于Jacquier et al. (2004)的模拟结果。在Jacquier et al. (2004)的文献中，他们仅考虑非对称SV模型的有限样本性质，获得的模拟结果为，这表明模拟估计值与真实值的偏离相当大，显然这个结果并非令人满意，这可能是因为他们对非对称SV模型的错误设

33、定导致的。其次，本文的模拟结果之一与Yu (2005)的非常相似。在Yu (2005)的文献中，他们也对考虑了的有限样本性质，获得模拟结果为，均方根误差为0.085，这与本文结果非常一致。另外，本文的所有模拟结果与Kawakatsu (2007)的模拟结果基本一致。Kawakatsu (2007)采用基于数值积分Gaussian滤波方法的极大似然估计，对各种三种情形进行了讨论，其基于的真实值与模拟值的偏离大小分别约为、和，而本文的结果则分别为、和，显然结果基本是一致的。表2随机模拟实验结果T = 500T = 1000参数真实值均值均方根误差均值均方根误差0-0.00070.0167-0.00

34、020.01090.950.93870.02490.94460.0166v0.300.29090.05600.29250.043500.01290.14560.00190.09580-0.00070.01750.00040.01110.950.94310.02060.94640.0162v0.300.28280.05410.28950.0405-0.30-0.28140.1410-0.27820.090700.00100.01590.00090.01040.950.94720.01940.95140.0118v0.300.26740.04330.27490.0321-0.60-0.56450.

35、1082-0.55140.080000.00020.0137-0.00010.00960.950.95330.01240.95120.0085v0.300.24910.02750.26670.0196-0.90-0.84960.0494-0.83150.0405注：均值和均方根误差分别为100次重复实验的模拟均值和均方根模拟误差，每次实验结果通过MCMC估计方法得到，基于6000次Gibbs抽样，前1000次抽取作为预烧抽样舍去。和的真实值分别由公式和得到。四、沪深股票收益率的经验应用4.1. 数据描述这部分将第二部分给出的MCMC估计方法作应用研究。这里考虑的数据为我国沪深股票市场综合指数1

36、996年1月2日至2006年12月29日的天价格数据，其中沪市共2663个观测值，深市共2658个观测值。数据来源于清华金融数据库(THFD)。观测值序列为收盘价格，其连续复利收益率计算为，见图2(a)和图2(b)。图2(b)的沪深收益率图表明两组高频数据的时间序列均存在明显的时变波动性和波动聚类特征，即价格变化高低波动率时段的聚集。另外，图2(c)还给出了两组收益率序列无条件分布的非参数密度估计值及相应的正态近似值，显然与正态密度作比较，沪深收益率的真实密度都为尖峰厚尾特征，图2(d)给出收益率序列的Q-Q图进一步证实了这个结果。因此，以上结果促使本文采用非对称SV模型用来描述这种时变波动率

37、的特征。图2 沪市收益率序列描述性统计图：样本区间1996年1月2日至2006年12月29日(a) 指数价格；(b) 收益率序列；(c) 非参数密度估计值和正态近似值，柱状图为频率发生值；(d) Q-Q图4.2. 估计结果在前面部分，我们都将均值过程考虑为零均值过程，但在实际应用中，往往这种去均值操作会导致遗失一些信息，例如中心化会使人们忽略了收益率序列的偏度特征。当然，对一些高频数据而言，收益率序列可能还是一个ARMA过程，也可能为一个风险溢出过程或SVM(SV in Mean)过程，可能情形非常复杂。为讨论简便起见，我们这里只考虑包含均值过程常数项的非对称SV模型，这个模型与前面方程(1)

38、的连续时间模型一致。根据Yu (2005)，离散化非对称SV模型可表示为：(24)这里为均值过程的均值参数。在第二部分，我们已讨论时的模型估计策略。引入均值参数后，我们实际上只需考虑给定观测值序列和隐对数波动序列下，对均值参数的抽样，即(25)其中，。如果假设为正态先验，那么的后验密度仍为正态密度，因此是共轭的。如果为扩散先验，那么仍为正态后验分布。在这部分应用中，我们将均值参数的先验设定为，即扩散先验，其他参数仍然采用Kim et al. (1998)的先验设定，如下：为扩散先验；，满足；转换标准差参数；转换参数先验密度为扩散先验。而且，这里假设上述先验分布相互独立。图3 沪市收益率的参数后

39、验估计结果(a) MCMC迭代的抽样序列图；(b) 参数的条件后验分布密度；(c) MCMC迭代序列的自相关图现在，我们对沪深股票市场收益率序列的非对称SV模型采用MCMC方法进行估计，Gibbs抽样共进行51000次抽取，其中前1000次迭代作为预烧抽样舍去。图3和图4分别给出了沪深股市收益率非对称SV模型参数估计的相关结果。在图中，我们分别给出MCMC迭代或Gibbs抽样的抽取序列图、参数的条件后验分布密度及MCMC迭代序列的自相关图，参数条件后验密度采用GiveWin制图软件以适当窗选择的Gaussian核密度计算得到。从迭代的自相关图来看，参数的MCMC估计均以较快速度地衰减为零，参数

40、估计收敛性较快，这说明我们采用的基于FFBS算法的多步移动Gibbs抽样方法要优于Jacquier et al. (1994, 2004)提倡的单步移动Gibbs抽样方法，本文的结果与Kim et al. (1998)非常相似。图4 深市收益率的参数后验估计结果(a) MCMC迭代的抽样序列图；(b) 参数的条件后验分布密度；(c) MCMC迭代序列的自相关图表3和表4分别给出了沪深股市收益率非对称SV模型的相应参数估计结果。这里，我们计算了参数的后验估计值、参数标准差、中值、95%置信区间、无效性因子(inefficiency factor)及参数的后验相关性，其中无效性因子计算方法与Kim

41、 et al. (1998)的相同。从参数估计显著性结果来看，除沪深两市收益率均值过程均值参数在传统显著性水平下不显著外，其余参数均在5%显著性水平下显著，这表明非对称SV模型适合于描述我国沪深股市时变波动率特征。特别是，我们的结果表明沪市波动率持续性水平弱于深市波动率持续性，而前者对收益率的杠杆效应则微强于后者对收益率的杠杆效应。另外，我们关注后验参数模拟估计的无效性因子，结果发现所有参数的无效性因子均低于100，除参数和相对较大之外，其余均非常小。这个结果显示了本文基于FFBS算法和扩展Kalman滤波方法进行MCMC估计的强有效性。表3沪市股票收益率参数估计值95%置信区间参数均值标准差

42、中值2.5%97.5%INEF后验相关性0.02900.02360.0291-0.01700.07523.351-0.06-0.050.040.190.03570.00970.03510.01800.056223.201-0.650.500.020.92690.01490.92810.89420.952567.711-0.81-0.07v0.36500.03580.36320.30100.441193.3310.01-0.15800.0504-0.1586-0.2547-0.056413.301注：参数值通过MCMC估计方法得到，基于51000次Gibbs抽样，前1000次抽取作为预烧抽样舍去

43、。“INEF”表示无效性因子。参数，和的先验密度均以扩散先验表示，其均值和标准差为0。表4深市股票收益率参数估计值95%置信区间参数均值标准差中值2.5%97.5%INEF后验相关性0.02840.02520.0284-0.02160.07753.721-0.02-0.070.090.220.03230.00870.03190.01630.050322.621-0.700.500.050.94930.01040.95000.92730.967952.501-0.75-0.10v0.31020.02910.30890.25660.370884.0010.05-0.13410.0530-0.134

44、7-0.2364-0.028714.651注：参数值通过MCMC估计方法得到，基于51000次Gibbs抽样，前1000次抽取作为预烧抽样舍去。“INEF”表示无效性因子。参数，和的先验密度均以扩散先验表示，其均值和标准差为0。图5给出了非对称SV模型平滑随机波动率的估计值，即基于所有样本信息下对的期望值，我们通过2000次随机抽取的平均值获得。如图所示，沪市和深市随机波动率的变化特征与图2(b)收益率变化大小的特征完全吻合，表明非对称SV模型较好地描述了两市收益率变化的条件方差或时变波动特征。图5 平滑随机波动率估计值为进一步考虑非对称SV模型对收益率变化的解释或描述能力，我们给出了沪深股市

45、收益率的一些标准化结果，这里包括标准化收益率序列、标准化收益率序列的非参数密度估计及正态密度近似及标准化收益率序列的Q-Q图，见图6。粗略来看，标准化收益率序列基本上落在的区间上，见图6(a)，这表明标准化后的收益率序列基本上呈现为标准正态分布，这个结果可以与密度估计图6(b)和Q-Q图6(c)的结果进行对应比较。显然，Q-Q图的结果是相当令人满意的，经验Q-Q线与45度直线基本重合，这说明经过非对称SV模型拟合后，沪深两市标准化收益率序列都基本上为一个标准正态分布。图6 标准化收益率的相关结果(a) 标准化收益率序列；(b)非参数密度估计和正态近似值，柱状图为对应频率发生值；(c) Q-Q图

46、五、概述和结论本文探讨了一种具有杠杆效应的随机波动模型的有效MCMC估计问题。在Yu (2005)关于非对称SV模型的正确设定下，按照Kim et al. (1998)对SV模型进行对数平方转换，我们给出了一种基于扩展Kalman滤波和前向滤波、后向抽样(FFBS)算法的MCMC估计方法。虽然这里讨论的方法与Artigas and Tsay (2004)和Tsay (2005)的MCMC方法非常相似，但后者是基于Jacquier et al. (2004)关于非对称SV模型的错误设定进行的，并且我们在实现参数和的Gibbs抽取方法上有明显不同。更为重要的是，本文讨论了非对称SV模型的这种MCM

47、C估计方法的有限样本性质，并进行了随机模拟实验，这种实验结果可以与Kawakatsu (2007)基于数值积分Gaussian滤波的极大似然估计方法的模拟结果相比较。通过随机模拟实验和关于我国沪深股市的应用研究，本文获得主要结论为：首先，随机模拟实验结果表明杠杆效应系数随样本长度变大，真实值对模拟均值的偏离越大，但标准差减小，随杠杆效应系数绝对值变大，真实值对模拟估计值的偏离也越大，其余参数随样本长度变大，模拟均值趋于逼近参数真实值。而且，结果表明本文方法明显优于Jacquier et al. (2004)对非对称SV模型的实现方法，与Yu (2005)和Kawakatsu (2007)的模拟

48、结果比较一致；其次，对沪深股市收益率非对称SV模型的MCMC估计中，参数MCMC迭代的自相关图和无效性因子表明本文给出的非对称SV模型估计方法是非常有效的，MCMC估计的收敛性较快；第三，通过非对称SV模型拟合后，获得的随机波动率较好地描述了我国沪深股市的波动情况，标准化后的收益率序列基本上服从为标准正态分布；最后，研究结果还表明我国沪深股市波动率对收益率杠杆效应显著存在，且沪市杠杆效应强于深市杠杆效应。事实上，本文讨论的估计方法可以在许多方面作进一步研究。首先，关于先验敏感性和抽样大小的敏感性讨论。例如，在随机模拟实验和应用研究中，我们将参数和考虑为扩散先验，这可以继续比较正态先验的结果，而

49、Gibbs抽样可以考虑为其他不同大小的。其次，将对非对称SV模型的各种不同估计方法进行综合的比较，例如Harvey and Shephard (1996)的QML方法、Kawakatsu (2007)的基于数值积分Gaussian滤波的极大似然方法、Yu (2000，2005)的单步移动Gibbs抽样方法及Omori et al. (2007)基于Kim et al. (1998)的混合抽样(mixture sampler)方法等。最后，我们认为本文的估计方法可以推广到厚尾SV模型、多因子SV模型、多变量SV模型等情形，这可以参照Chib et al. (2002)及Omori et al.

50、(2007)相关研究的深入讨论。参考文献Artigas, J.C. and Tsay, R.S., 2004. Effective estimation of stochastic diffusion models with leverage effects and jumps. Working paper, Graduate School of Business, University of Chicago.Black, F., 1976. Studies of stock market volatility changes. Proceedings of the American Stat

51、istical Association, Business and Economic Statistics Section, 177181.Carter C.K, Kohn R., 1994. On Gibbs sampling for state space models. Biometrika 81, 541553.Chib, S., Greenberg, E., 1994. Bayes inference for regression models with ARMA (p,q) errors. Journal of Econometrics 64, 183206.Chib, S., N

52、ardari, F., Shephard, N., 2002. Markov Chain Monte Carlo methods for stochastic volatility models. Journal of Econometrics 108, 281316.Christie, A.A., 1982. The stochastic behavior of common stodck variances. Journal of Financial Economics 10, 407432.Durham, G.B., 2005. Monte Carlo methods for estim

53、ating, smoothing, and filtering one- and two-factor stochastic volatility models. Journal of Econometrics 133, 273305.Engle, R., Ng, V., 1993. Measuring and testing the impact of news in volatility. Journal of Finance 43, 17491778.Fridman, M., Harris, L., 1998. A maximum likelihood approach for non-

54、Gaussian stochastic volatility models. Journal of Business and Economic Statistics 16, 284291.Gelfand, A.E., Smith, A.F.M., Lee, T.M., 1992. Bayesian Analysis of constrained parameters and truncated data problems using Gibbs Sampling. Journal of the American Statistical Association 87, 523532.Geman,

55、 S., Geman, D., 1984. Stochastic relaxation, Gibbs distributions and the Bayesian restoration of images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 6, 721741.Geweke, J.F., 1999. Using simulation methods for Bayesian econometric models: inference, development and communication. Ec

56、onometric Reviews 18, 1127. Glosten, L.R., Jagannanthan, R., Runkle, D., 1993. Relationship between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. Journal of Finance 48, 17791802.Hamilton, J.D., 1994. State-Space Models. Handbook of Econometrics 4, Chapter 50, 30393080

57、.Harvey, A.C., Ruiz, E., and Shephard, N., 1994. Multivariate stochastic variance models. Review of Economic Studies 61, 247264.Harvey, A.C., Shephard, N., 1996. The estimation of an asymmetric stochastic volatility model for asset returns. Journal of Business and Economic Statistics 14, 429434.Hull

58、, J., White, A., 1987. The pricing of options on assets with stochastic volatilities. Journal of Finance 42, 281300.Jacquier, E., Polson, N.G., Rossi, P.E., 1994. Bayesian analysis of stochastic volatility models. Journal of Business and Economic Statistics 12, 371389.Jacquier, E., Polson, N.G., Ros

59、si, P.E., 2004. Bayesian analysis of stochastic volatility models with fat-tails and correlated errors. Journal of Econometrics 122, 185212.Kawakatsu, H., 2007. Numerical integration-based Gaussian mixture filters for maximum likelihood estimation of asymmetric stochastic volatility models. Economet

60、rics Journal 10, 342358.Kim, C.J., Nelson, C.R., 1999. State Space Models with Regime Switching. MIT Press.Kim, S., Shephard, N., Chib, S., 1998. Stochastic volatility: likelihood inference and comparison with ARCH models. Review of Economic Studies 65, 361393.Marriott, J.M., Smith, A.F.M., 1992. Re

61、parameterization aspects of numerical Bayesian methodology for autoregressive moving-average models. Journal of Time Series Analysis 13, 327343.Meyer, R., Yu, J., 2000. BUGS for a Bayesian analysis of stochastic volatility models. Econometrics Journal 3, 198215.Nelson, D., 1991. Conditional heterosk

62、edasticity in asset pricing: a new approach. Econometrica 59, 347370.Omori, Y., Chib, S., Shephard, N., Nakajima, J., 2007. Stochastic volatility with leverage: fast likelihood inference. Journal of Econometrics 140, 425449.Schwert, G.W., 1989. Business cycle, financial crises, and stock volatility. Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy 39, 83126.Shephard, N., 1996.