圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线中的探究性(存在性)问题

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1、圆锥曲线中的典型问题与处理方法数学之家出品圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。一、是否存在这样的常数例1在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由解：（）由已知条件

2、，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或即的取值范围为（）设，则，由方程，又而所以与共线等价于，将代入上式，解得由（）知或，故没有符合题意的常数练习1：（08陕西卷20）（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点处的切线与平行；（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由xAy112MNBO解法一：（）如图，设，把代入得，由韦达定理得，点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，即（）假设存在实数，使，则，又是的中点，由（）知轴，又 ，解得即存在，使解法二：（

3、）如图，设，把代入得由韦达定理得，点的坐标为，抛物线在点处的切线的斜率为，（）假设存在实数，使由（）知，则，解得即存在，使练习2.直线 与曲线相交于P、Q 两点。（1） 当 a为何值时，；（2） 是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。解：（1）联立方程，即，设P、Q两点的坐标为，所以，化简得即为所求。（3） 假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O， 二、是否存在这样的点例2.（2009全国卷）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值；（II）上是否存在点P

4、，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 ，故 ， ， 由 ，得 ，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （）知椭圆C的方程为+=6. 设 () 假设上存在点P，且有成立，则，整理得 故 将 于是 , =, ， 代入解得，此时于是=， 即 因此， 当时， ； 当时， 。（）当垂直于轴时，由知，C上

5、不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.例3.（2009福建卷）（本小题满分14分）已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。 （I）求椭圆的方程； （）求线段MN的长度的最小值； （）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而 即又，由得 故又 ，当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值（）由（）可知，当取最小值时，

6、此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线，则由解得或 练习：1.（2008湖北卷20题）（本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：由条件知，设，解法一：（I）设，则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点，使为常数当

7、不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数练习2.（08山东卷22) (本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在,求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在,请说明理由.（）证明：由题意设

8、由得，则 所以因此直线MA的方程为直线MB的方程为所以 由、得因此，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（）解：由（）知，当x0=2时， 将其代入、并整理得：所以x1、x2是方程的两根，因此又所以由弦长公式得又，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或（）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD的中点坐标为设直线AB的方程为由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，代入得若D（x3,y3）在抛物线上，则因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.（2）当，对于D(0，0)，此时又ABCD，

9、所以即矛盾.对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以，直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.练习3.（2007广东理18） (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 (1)求圆的方程； (2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距

10、离等于圆的半径，则=2 即=4 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 ，m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得， 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2)=5，a2=25，则椭圆的方程为其焦距c=4，右焦点为(4，0)，那么=4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=，y=即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。三、是否存在这样的直线例4.（2007湖北理19）（本小题满分12分）NOACByx在平面直角坐标

11、系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由（此题不要求在答题卡上画图）解析：本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解法1：（）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得由韦达定理得，于是，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为，NOACByxl，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为

12、，即抛物线的通径所在的直线解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得从而，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则设直线与以为直径的圆的交点为，则有令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线练习1.已知双曲线方程为，问：是否存在过点M(1，1)的直线，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由。解：显然x=1不满足条件，设.联立和，消去y得，由0，得k，由M(1，1)为PQ的中点，得，解得，这与0）过M（2，） ，N(，1)两点，O

13、为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a，b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综

14、上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系五、是否存在这样的最值例7已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为 （I）求椭圆的方程； （II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为， （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为

15、直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则， 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1掌握研究解析几何问题的基本方法近几年解析几何的考题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降，突出对解析几何基本思想和基本方法的考查，重点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法课堂教学中选择例题要突出题目的普遍性，解题方法要具有代表性，即通性通法所以在复习时应做到:1牢固掌握圆锥曲线定义 圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质

16、属性，是构建有关知识网络的基础。同时，定义直接用于解题常常使一些看似很难解决的问题变得简单。 2重视基础知识，基本题型的复习 （1）注意课本典型例题、习题的延伸 教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通。如教材中题:“过抛物线y2=2px焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1,y2，求证y1y2=-p2。” 给出的结论是关于抛物线焦点弦的一条重要性质，而其证明方法也是解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题的最基本最典型的方法。 （2）注意转化条件，优化解题方法 解析几何中有一些基本问题，如两直线垂

17、直的证明、求弦的中点、弦长的计算等等，对这些问题的处理方法是熟知的。但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，此时，可考虑对条件进行适当的转化，使解题过程纳入到学生所熟悉的轨道。 3重视判别式的作用 有关直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常都是利用一元二次方程来解决的。其中，根的判别式往往起着关键的作用。4强化数学思想方法的训练和运用 （1）函数与方程思想 解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”，很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质。（2）分类讨论思想解析几何中，有些公式，性质是有适用条件的，解题时必须注意分类讨论、区别

18、处理。例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在，截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况，两点式不适用于与坐标轴垂直的直线。（3）数形结合思想解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性。圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（二）题型一定值、定点问题例1已知椭圆C：1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，请说明理由破题切入点(1)待定系

19、数法(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式，.把，用点A，B的横坐标表示出来，只要证明的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值解(1)依题意得b，e，a2b2c2，a2，c1，椭圆C的方程为1.(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，又F坐标为(1,0)，设直线l方程为yk(x1)，求得l与y轴交于M(0，k)，设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理，.所以当直线l的倾斜角变化时，直线的值为

20、定值.题型二定直线问题例2在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由破题切入点假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解解方法一(1)依题意，点N的坐标为N(0，p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxp，与x22py联立得消去y得x22pkx2p20.由根与系数的关系得x1x22pk，x1x22p2.于是SABNSBC

21、NSACN2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2，当k0时，(SABN)min2p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，AC的中点为O，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则OHPQ，Q点的坐标为(，)OPAC，OH|2ay1p|，PH2OP2OH2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa)，PQ2(2PH)24(a)y1a(pa)令a0，得a，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y，即抛物线的通径所在的直线方法二(1)前同方法一，再由弦长公式得AB|x1x2|2p，又由点到直线的距离公式得d.从而SABNdAB2p 2p2.当k0时，(SABN

22、)min2p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，则以AC为直径的圆的方程为(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，将直线方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0，则x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有PQ|x3x4| 2.令a0，得a，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y，即抛物线的通径所在的直线题型三定圆问题例3已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2y22kx4y210(kR)的圆心为

23、点Ak.(1)求椭圆G的方程；(2)求AkF1F2的面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由破题切入点(1)根据定义，待定系数法求方程(2)直接求(3)关键看长轴两端点解(1)设椭圆G的方程为1(ab0)，半焦距为c，则解得所以b2a2c236279.所以所求椭圆G的方程为1.(2)点Ak的坐标为(k,2)，SAkF1F2|F1F2|2626.(3)若k0，由620212k0211512k0，可知点(6,0)在圆Ck外；若k0，可知点(6,0)在圆Ck外所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G.即不存在圆Ck包围椭圆G.总结提高(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想

24、是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m)(3)定直线问题一般都为特殊直线xx0或yy0型1在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知条件，得直线l的方程为ykx，代入椭圆

25、方程得(kx)21.整理得(k2)x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k24(k2)4k220，解得k.即k的取值范围为(，)(，)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程，得x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而A(，0)，B(0,1)，(，1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)，将代入上式，解得k.由(1)知k，故不存在符合题意的常数k.2已知双曲线方程为x21，问：是否存在过点M(1,1)的直线l，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由解显然x1不满足条件，设l：

26、y1k(x1)联立y1k(x1)和x21，消去y得(2k2)x2(2k22k)xk22k30，由0，得k，x1x2，由M(1,1)为PQ的中点，得1，解得k2，这与k0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)因为椭圆E：1(a，b0)过M(2，)，N(，1)两点，所以解得所以椭圆E的方程为1.(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为ykxm，A(x1，y

27、1)，B(x2，y2)，解方程组得x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280，则16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，即8k2m240.故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2.要使，需使x1x2y1y20，即0，所以3m28k280，所以k20.又8k2m240，所以所以m2，即m或m，因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r，r2，r，所求的圆为x2y2，此时圆的切线ykxm都满足m或m，而当切线的斜率不存在时切线为x与椭圆1的两个交点为(，)或(，)满足，综上，存在圆心在原点的圆x2y2，使得该圆的任

28、意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.4(2014重庆)如图，设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，2，DF1F2的面积为.(1)求该椭圆的标准方程(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.由2，得DF1c，从而SDF1F2DF1F1F2c2，故c1，从而DF1.由DF1F1F2，得DFDFF1F，因此DF2.所以2aDF1DF22，故a，b2a2c21.因此，所求椭圆的

29、标准方程为y21.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2.由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)，再由F1P1F2P2，得(x11)2y0.由椭圆方程得1(x11)2，即3x4x10，解得x1或x10.当x10时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在当x1时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，由CP1F1P1，得1.而求得y1，故y0.

30、圆C的半径CP1 .综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2(y)2.5(2014江西)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：MNMN为定值，并求此定值(1)证明依题意可设AB方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28.直线AO的方程为yx；BD的方程为xx2.解得交点D的坐标为注意到x1x2

31、8及x4y1，则有y2.因此动点D在定直线y2上(x0)(2)解依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0.由0得(4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2，y2得N1，N2的坐标为N1(a,2)，N2(a，2)，则MNMN(a)242(a)28，即MNMN为定值8.6(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切

32、线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论解方法一(1)设S(x，y)为曲线上任意一点，依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y.(2)当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变证明如下：由(1)知抛物线的方程为yx2，设P(x0，y0)(x00)，则y0x，由yx，得切线l的斜率ky|xx0x0，所以切线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得A(x0,0)由得M(x0，3)又N(0,3)，所以圆心C(x0，3)，半径rMN|x0|，AB .所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变方法二(1)设S(x，y)为曲线上任意一点，则|y(3)|2，依题意，点S(x，y)只能在直线y3的上方，所以y3，所以y1，化简，得曲线的方程为x24y.(2)同方法一