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1、第五章基本图形第五章基本图形(一一)第第19讲等腰三角形讲等腰三角形1了解等腰三角形的概念、等腰三角形的性质定理；底边上的高、中线及顶角平分线重合2掌握等腰三角形的判定定理，等边三角形的性质定理，以及等边三角形的判定定理3掌握线段垂直平分线的性质及判定，角平分线的性质及判定4能利用等腰三角形的特性来解决一些简单的实际问题1等腰三角形的概念、性质、判定，在选择题、填空题、解答题中均有出现2等腰三角形、正三角形是最常见的图形之一，可单独成题，也常与平行四边形、圆、三角函数等渗透在综合题中3主要体现数形结合思想、化归、分类的思想1(2014金华)如图，将RtABC绕直角顶点顺时针旋转90，得到ABC
2、，连结AA，若120，则B的度数是( )A70B65C60D552(2012金华)如图，在等腰ABC中，ABAC，BAC50，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则OEC的度数是 B1003(2014杭州)在ABC中，ABAC，点E，F分别在AB，AC上，AEAF，BF与CE相交于点P，求证：PBPC，并请直接写出图中其他相等的线段因为因为ABAC，所以，所以ABCACB，又因为又因为AEAF，AA，所以所以ABF ACE，所以所以ABFACE，所以，所以PBCPCB，所以所以PBPC，相等的线段还有，相等的线段还有BFCE，PFPE，BECF1(2014广东
3、)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )A17B15C13D13或17A等腰三角形的边、角等腰三角形的边、角2如图，ABC中，ABAC，D在BC上，且BDAD，DCAC.求B的度数【解析】第1题由于未说明两边哪个是腰，哪个是底，故需分两种情况讨论：(1)当等腰三角形的腰为3，(2)当等腰三角形的腰为7，从而得到其周长；第2题设B为x，分别表示出ADC，CAD，依据三角形内角和定理列出方程求解解：解：ABAC，BC.同理：同理：BBAD，CADCDA.设设B为为x，则，则Cx，BADx，ADC2x，CAD2x.在在ADC中，中，CCADADC180，x2x2x180，x361等腰
4、三角形是两边相等的特殊三角形，以顶角平分线所在的直线为对称轴2等腰三角形两_相等简称为“等边对等角”等腰三角形的边、角等腰三角形的边、角3(2014盐城)若等腰三角形的顶角为40，则它的底角度数为( )A40 B50 C60 D704(2013黔西南州)如图，已知ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CGCD，DFDE，则E 5(2013滨州)已知等腰三角形的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是 D15等腰三角形的边、角等腰三角形的边、角2.5x51把“等边对等角”这一性质用在不同的等腰三角形中，必要时需利用方程思想转化为方程来解题2. 等腰三角形中，边若没有指出是腰还是底
5、边，应分情况讨论，但一定要利用“三边之间的关系”来检验解的合理性等腰三角形的边、角等腰三角形的边、角1. (2014扬州)如图，已知AOB60，点P在边OA上，OP12，点M，N在边OB上，PMPN，若MN2，求OM.【解析】过P作PDOB，交OB于点D，由PMPN，利用三线合一得到D为MN中点，由ODMD即可求出OM的长解：过解：过P作作PDOB，交，交OB于点于点D，在，在RtOPD中，中，OP12，OD6，PMPN，PDMN，MN2，MDND MN1，OMODMD615等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定122(2014天津)如图，在RtABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且B
6、DBC，AEAC，求DCE的度数. 【解析】设DCEx，ACDy，则根据等边对等角得出AEC，BDC关于x，y的关系式然后在DCE中，利用三角形内角和定理列出方程，解方程即可求出DCE的大小解：设解：设DCEx，ACDy，则，则ACExy，BCE90ACE90 xy.AEAC，ACEAECxy，BDBC，BDCBCDBCEDCE90 xyx90y.在在DCE中，中，DCECDEDEC180，x(90y)(xy)180，解得，解得x45，DCE451等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)2等腰三角形_、_和_互相重合(简称为“三线合一”)
7、等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定3(2013绍兴)如图的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1P1P2P2P3P13P14P14A，则A的度数是 12等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定4(2014襄阳)如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBODCO；BECD；OBOC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程 (1)；(2)选选证明如下：证明如下：OBOC，OBCOCB，EBODCO，ABCACB，ABC是等腰三角形是
8、等腰三角形1要证明一个三角形为等腰三角形，需证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，这样往往就转化为证明两个三角形全等2等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角平分线“三线合一”，这个性质应用广泛，在遇到等腰三角形的问题时，尝试作这条辅助线，一是可以把这些线段进行转化，二是构造了全等的三角形等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定1(2014温州)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F.(1)求F的度数； (2)若CD2，求DF的长【解析】(1)根据平行线的性质可得EDCB60，根据三角形内角和定理即可求解；(2)判断E
9、DC也是等边三角形，再根据含30角的直角三角形的性质即可求解等边三角形等边三角形解：解：(1)ABC是等边三角形，是等边三角形，B60，DEAB，EDCB60，EFDE，DEF90，F90EDC30(2)ACB60，EDC60，EDC是等边三角形，是等边三角形，EDDC2，DEF90，F30，DF2DE41等边三角形性质：(1)等边三角形三条边都_，三个内角都_，且每个内角都等于_；(2)等边三角形有_条对称轴2等边三角形的判定：(1)三边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形等边三角形等边三角形2如图，点M，N分别在正三角
10、形ABC的BC，CA边上，且BMCN，AM，BN交于点Q.(1)证明BQM60.(2)若将点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到BQM60？说明理由(1)BMNC，ABMBCN，ABBC，ABM BCN，BAMCBN，BQMBAQABQMBQABQ60(2)ACMBAN120，CMAN，ACBA，ACM BAN，AMCBNA，NQANBCBMQNBCBNA18060120，BQM60等边三角形等边三角形等边三角形是一种特殊的等腰三角形，利用等边三角形的轴对称性，构造含有30的直角三角形，来计算解题等边三角形等边三角形1(2014钦州)如图，ABC中，A40，AB的垂直平分线MN交
11、AC于点D，DBC30，若ABm，BCn，则DBC的周长为 【解析】根据线段垂直平分线性质得出ADBD，推出AABD40，求出ABCC，推出ACABm，求出DBC的周长是DBBCCDBCADDCACBC，代入求出即可线段的垂直平分线线段的垂直平分线m+n1经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)2垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段的垂直平分线线段的垂直平分线2(2014贺州)如图，等腰ABC中，ABAC，DBC15，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则A的度数是 50线段的垂直平分线线段的垂直平分线3(2014汕尾)如图，在
12、RtABC中，B90，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连结MN，与AC，BC分别交于点D，E，连结AE.(1)求ADE；(直接写出结果)(2)当AB3，AC5时，求ABE的周长(1)由题意可知由题意可知MN是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线，ADE90(2)在在RtABC中，中，B90，AB3，AC5，BC 4，MN是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线，AECE，ABE的周长的周长AB(AEBE)ABBC347线段的垂直平分线线段的垂直平分线2253根据垂直平分线的性质，点到线段两个端点的距离相等，就能转化为等腰三角形问题线段的垂直平分线线段的垂直平分线
中考数学总复习 第5章 第19讲 等腰三角形课件
