高一数学必修三必修五综合测试

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1、1.已知数列an中，ai=3,a2=6,an+2=an+1an,则a5=()A.6B.6C.3D.32 .在等差数列an中，若a2=2,a5=5,则数列an的通项公式为()A.an=nB.an=2nC.an=n1D.an=2n13 .不等式x(1-3x)0的解集是()A.(-8,1)B.(-8,0)U(0,1)C.(,+8)D.(0,1)JJJJ(rCxy-iqA.3B.3C.1D.j5.在ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c,sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a,则cosB的值为(1 wA.B.4q6.已知aabab)C莫d亚C-.D-KbabaC.abaab2D

2、abab2a7 .等差数歹U中，a1+a2+a3=24,a18+a19+a20=78,贝U止匕数歹U前20项和等于()A.160B.180C.200D.2201a20+alc8 .已知等比数列an的各项都是正数，且3%,不a3，2a2成等差数列，则工=()已ai8+anA.1B.3C.6D.99 .若x,yR+,且2x+8y-xy=0,贝x+y的最小值为()A.12B.14C.16D.1810 .已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a52,a2=2,则a1=()A.BC.二D.22211.已知数列an的前n项和Sn=3n2,nN*,则（）A.an是递增的等比数列B.an是递增数列，但不

3、是等比数列C.an是递减的等比数列D.an不是等比数列，也不单调12.不等式x2+2x0,b0,若a+b=4,则上，的最小值为.16 .如图，在一个半径为3,圆心角为土的扇形内画一个内切圆，3若向扇形内任投一点，则该点落在该内切圆内的概率是三、解答题17.三角形ABC中,BC=7,AB=3,sinB（i）求ac；（n）求/A.18.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=Sn(nCN*)(1)求a2,a3,a4的值;（2）求数列an的通项公式.19.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.分组频率频卒组距1000,150

4、0)10001500200025003000350040001500,2000)0.00042000,2500)2500,3000)0.00053000,3500)3500,40000.0001合计(1)根据频率分布直方图完成以上表格；(2)用组中值估计这10000人月收入的平均值；(3)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2000,3500)(元)月收入段应抽出多少人？20.某种产品有一等品、二等品、次品三个等级，其中一等品和二等品都是正品.现有6件该产品,从中随机抽取2件来进行检测.(1)若6件产品中有一等品3

5、件、二等品2件、次品1件.抽检的2件产品全是一等品的概率是多少？抽检的2件产品中恰有1件是二等品的概率是多少？(2)如果抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率不小于-,则6件产品中次品最多有多5少件？一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列an中，a二3,a2=6,an+2=an+1an，则a5=()A.6B.6C.3D.3【考点】数列递推式.【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列.【分析】利用递推关系即可得出.【解答】解：0的解集是()A.(-,-)B.(-h0)U(0,1)C.(J,+8)D.(0,)UJ

6、UU【考点】一元二次不等式的解法.【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用.【分析】根据不等式x(1-3x)0对应的方程以及二次函数的关系，即可写出该不等式的解集.【解答】解：不等式x(13x)0对应的方程x(13x)=0的两个实数根为0和1,且对应二次函数y=x(1-3x)的图象开口向下，所以该不等式的解集为(0,).故选：D.a3=a2a1=3,同理可得：a4=36=3,a5=33=6.【点评】本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于基础题.sin2B=sinAsinC,.由正弦定理可得b2=ac4.已知x,y满足约束条件K+y-1c=2a，b二&z,A.3B.-3C.1D.

7、cosB=a+cb=a+4a2a2ac匕42ap2a简单线性规划.故选B.计算题.【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，正确先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值,z=2x+y表示直线在y轴上的截距,运用正弦定理、余弦定理是关键.只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.6.已知a0,1baab2d.abab2a易知可行域为一个三角形,当直线z=2x+y过点A（2,-1）时，z最大是3,故选A.【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值,属于基础题.【考点】不等关系与不等式.【专题】不等式的解法及

8、应用.【分析】根据题意，先确定最大的数ab0,【解答】解：a0,1b0,1b20,再确定最小的数0ab2aA.aabab2B.ab2abaa,从而得出正确的结论.5.在ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c,sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a则cosB的值为（abab2a.B-I正弦定理的应用；余弦定理的应用.【点评】本题考查了不等式的性质的应用问题，解题时应根据题意,确定每个数值的大小，也可以解三角形.用特殊值法进行判断，是基础题.利用等比数列的性质，结合正弦定理可得b2=ac,再利用c=2a,可得b二企，利用ai8+ai9+a20=78,则此数列前20项和等于（

9、2,2_,2cosB=-,可得结论.2ac【解答】解：sinA、sinB、sinC成等比数歹U,A.160B.180C.200D【考点】等差数列的性质.【专题】计算题.【分析】先根据a1+a2+a3=-24220*7.等差数列中，ai+a2+a3=24a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18,再由等差数列的前20项和的式1a如十%8.已知等比数列an的各项都是正数，且 3ai, j a3，2a2成等差数列，则 -=()2a181aI7A. 1B.3 C. 6D. 9【考点】等差数列与等比数列的综合.【专题】等差数列与等比数列.【分析】设各项都是正数的等比数列an的公比为q,(q0)

10、,由题意可得关于 q的式子，解之子可得到答案.【解答】解：-ai+a2+a3=24,ai8+ai9+a20=78ai+a20+a2+ai9+a3+ai8=54=3(ai+a20)a1+a20=1820Cai+)，-=180市一2故选B【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用.考查等差数列的性质.可彳导q,而所求的式子等于q2,计算可得.【解答】解：设各项都是正数的等比数列an的公比为q,(q0)由题意可得2x1a3=3a1+2a2,即q22q3=0,解得q=1(舍去)，或q=3,的2ggj=(18+&17)qq2=9a18+ana18+a1?故选：D.【点评】本题考查等差数列和等比数列

11、的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题.s59.设不为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0,则三厂等于()即A.11B.5C.8D.11【考点】等比数列的性质.【专题】等差数列与等比数列.【分析】由题意可得数列的公比q,代入求和公式化简可得.【解答】解：设等比数列an的公比为q,(qw。由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0,解得q=2,(1-q5)氾1-q51-(-2)5一故.=,_=1152al(1-q)1-q21-(-2)2rrq故选D【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题.2一一10 .已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a52,a

12、2=2,则a仔()A.:B.C.=D.2【考点】等比数列的通项公式.【专题】计算题.【分析】设公比为q0,由题意可得aa=2(已j,aq=2,由此求得a1的值.【解答】解：设公比为q0,由题意可得/q*%q*=2(1q4)a1q=2,解得a1=J=q,故选C.【点评】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.11 .已知数列an的前n项和Sn=3n2,nCN*,则()A. an是递增的等比数列B. an是递增数列，但不是等比数列C. an是递减的等比数列D. an不是等比数列，也不单调【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性.【专题】等差数列与等比数列.【分析】由数列的前n项和，分别

13、求出a1及n2时的通项公式，经验证数列从第二项起构成首项是6,公比为3的等比数列，所以得到结论数列an是递增数列，但不是等比数列.【解答】解：由Sn=3n2,当n=1时，,=S二31一2二1.当n2时，/二%-广(3“-2)-(3n-1-=2=2?3n1.n=1时上式不成立.1 (n=l)n|2-3n1(n2)因为a1=1,a2=6,当n2时4=3.所以数列an从第二项起构成首项是6,公比为3的等比数列.综上分析，数列an是递增数列，但不是等比数列.故选B.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，对于给出了前n项和求通项的问题，一定要讨论n=1和n2两种情形，此题是基础题.

14、12 .不等式x2+2x喷国二所以只需x2+2x8即(x2)(x+4)几米的气球(A)上测量铁桥(BC)的长，如果测得桥头B的俯角是60。,桥头C的俯角是30,则桥BC长为400米.【考点】解三角形.【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形.【分析】由已知条件求出/DAB的大小，结合AD=200,通过解直角三角形求出AB的长度，在等腰三角形ABC中，由腰长相等得BC的长度.【解答】解：如图，由/EAB=60,得/DAB=30,在RtAADB中，:AD=200,/DAB=30,AB=400.又/EAC=30,.ACB=30./EAB=60,/EAC=30,./BAC=30.在AABC中，/AC

15、B=/BAC,.BC=AB=400.故答案为：400.【点评】本题考查了解三角形的实际应用，关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题.14 .Sn为等差数列an的前n项和，S2=S6，a4=1贝：a5=1.【考点】等差数列的性质.【专题】计算题；压轴题.【分析】由S2=S6，a4=1,先求出首项和公差，然后再求a5的值+oo)【考点】一元二次不等式的解法.【专题】计算题；不等式的解法及应用.【解答】解：由题设知.f+2J,由正弦定理可得：(ab)(a+b)=(c-b)c,利用余弦定理可得A,再利用正弦定理即可得出.【解答】解：在ABC中，:a=1,(1b)(sinA+sinB)=(cb)sin

16、C,sinC,(ab)(sinA+sinB)=(cb)1-a1=7,d=2,由正弦定理可得：(ab)(a+b)=(c-b)c.a5=7+4 x( 2) = 1 .化为：b2+c2a2=bc.【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用.k2,2_21cosA=口。己=,AG(0,2bc2A KA=3计算题；转化思想；综合法；不等式.由正弦定理可得:sinB sinC1 4 1由已知得,=(a+b)(工,由此利用均值定理能求出1 g的最小值.2/b=sinB, c=3sinC,14c15 .设a0,b0,若a+b=4,则一+7的最小值为ac-4基本不等式. .ABC解：a0,

17、b0,a+b=4,-ia(a+b)(工爰)=?给+；+2ab4b4=4ab=1+b+c=1+-sinB+-sinC=1当且仅当4a堂口3BEi!.0善LinB+Kn(号-B),sin(B+)c(J,1,62故答案为：(2, 3.ABC周长的取值范围是(2,3.故答案为：4【点评】本题考查代数式和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力,运用.属于中档题.16 .在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=1,且(1-b)(sinA+sinB)=(c-b)三、解答题sinC,则

18、AABC周长的取值范围为(2,3sinC317.三角形ABC中，BC=7,AB=3,且一.sinbb余弦定理；正弦定理.(I)求AC;方程思想；转化思想；解三角形.(n)求/A.【分析】a=1,(1b)(sinA+sinB)=(cb)sinC,可得(ab)(sinA+sinB)=(cb)sinC,【考点】余弦定理；正弦定理.【专题】计算题.【分析】（I）由正弦定理，根据正弦值之比得到对应的边之比，把AB的值代入比例式即可求出AC的值；（n）利用余弦定理表示出cosA,把BC,AB及求出的AC的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.【解答】解：（I）

19、由AB=3,根据正弦定理得：_，5=理弃退至乎二sinBsinCACsinB53（n）由余弦定理得：亡蛆包上；尹25-49二,所以/A=i2o.2ABK_2X3X52【点评】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键.18.已知数列an的前n项和为Sn，a1=1,an+i=J&（nCN*）.（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列an的通项公式.【考点】数列递推式；等比关系的确定.【专题】点列、递归数列与数学归纳法.【分析】（1）根据an+1=Sn,分别令n=1,2,3即可求得a2,a3,a4的值；J（2）由an+i=S

20、n，得anK-i（口2）,两式相减可得数列递推式，由递推式可判断an从KJJ第2项起，以后各项成等比数列，从而得通项公式；【解答】解：（1）.an+i=Sn,a2-3E1=331=,1二1+二一二；,丁如寺落（%+%+&?）=|（吗将）若；（2）an+i=4Sn，anSn_t（n2）,JJ两式相减得：V%,（门2），:数列an从第2项起，以后各项成等比数列，an=X（弓）n-2（n2）,2乂）故数列an的通项公式为33.（n=1）【点评】本题考查由数列递推公式求数列通项公式，解决（2）问关键是明确关系式：5，n=l%也-，4219.已知an,是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-6x+8=0

21、的根.（I）求俑的通项公式；%（n）求数列的前n项和.严【考点】数列的求和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】（I）由题意列式求出a2,a4,代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案；（n）把等差数列的通项公式代入数列,然后由错位相减法求其和.2rl【解答】解：（I）在递增等差数列an中，a2,a4是方程x2-6x+8=0的根，贝ija?+a4=6a2=2，解得.七%二8（%二44-24-2=1an=a2+(n2)xd=2+n1=n+1；%n+1(n)=2n2IL，【解答】解:(2)b=2,(1)已知等式良辿=亚竺r，由正弦定理得cosB,2cosB=”+b2-4J,2

22、ac2sinA=/3cosB即tanB=/，sinAsinB.的前n2”项和:a2+c2=ac+4,n+1a2n又a2+c22ac1ac4当且仅当a=c取等号,-得:乱二11n+1232n2n+JS=acsinB,则ABC为正三角形时，Smax=/3.i-六=1+【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.1-12S=3-空n2n【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题.ginA-x/3cosB20.在ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且=ab(1)求角B的大小;(2)如果b=2,求AABC面积的最大值

23、.余弦定理；正弦定理.三角函数的求值；解三角形.(1)已知等式利用正弦定理化简，求出tanB的值，即可确定出B的度数;(2)利用余弦定理表示出cosB,将b与cosB的值代入，整理得到关系式，利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值.21.小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大

24、货车出售，能使小张获得的年平均利润最大?-总支出)根据实际问题选择函数类型；基本不等式.综合题；函数的性质及应用.(1)求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差,6万元，从第二年起,25万元.小张在该车运输累计收x年年底出售，其销售收入为25x(利润令其大于0,即可得到结论;利用利润=累计U入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论.【解答】解：(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元,则y=25x6x+x(x1)50=x2+20x50(0x0,可得105班x10+5/-2105屈3,故从第3年，该车运输累计收入超过总支出;(2)利润=累计U入

25、+销售收入-总支出，.二手车出售后，小张的年平均利润为(257=19(x+&)1&10=9MX当且仅当x=5时，等号成立.小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大.【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.22.已知在递增等差数列an中，a1=2,23是a1和a9的等比中项.(I)求数列an的通项公式；1(n)若bn=(+)8,S为数列bn的前n项和，是否存在实数m,使得Snm对于任意的n6N+恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由.【考点】数列递推式；等差数列的通项公式.【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等

26、比数列；不等式的解法及应用.【分析】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出.(n)存在m.由于bn=(4)(一+)，利用裂项求和”方法即可得出.【解答】解：(I)由an为等差数列，设公差为d,则an=a1+(n1)d, .123是a1和a9的等比中项， 1-a：=a1?a9，即(2+2d)2=2(2+8d),解得d=0(舍)或d=2,an=2+2(n1)=2n.(n)存在in-z.h1/l_1.n(口+1)%2nn+1:数歹Ubn的前n项和Sn=(1一4)+(-=i(12,2223nn+12n+12 存在实数my，使得Snm对于任意的n室+恒成立.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和“、放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.