平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题

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1、平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一 选择题（共5小题）1 如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则 FBD是（ ）34 , PC=OE=- 4=1 ,点P的坐标为：（-1 , 3）; 如图2所示：作PFL OA于F ,则 DF=: =4 , PC=OF=+4=9 ,点P的坐标为：（-9 , 3）;综上所述：点P的坐标为：（-4 , 3）,或（-1 , 3）,或（-9 , 3）; 故答案为：（-4 , 3）,或（-1, 3）,或（-9 , 3）.wBPcAFD 国20【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定 理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解

2、决问题的关键.三解答题（共31小题）10. （2012春？西城区校级期中）如图，正方形 ABCD中，AE=AB直线DE交BC【分析】设/ BAE=x，根据正方形性质推出 AB=AE=AD根据等腰三角形性质和 三角形的内角和定理求出/ AEB和/AED的度数，根据平角定义求出即可.【解答】解：设/ BAE=x，四边形ABCD是正方形，/ BAD=90，AB=AD, AE=AB AB=AE=AD/ ABE=Z AE畤(18。 BAE =9厂討/ DAE=90- x,/ AED=/ ADE十(180-/ DA日180-( 90 - x) =454x/ BEF=180-/ AEB-/ AED,=180

3、，( 90-陰x) -( 45gx)， =45）答：/ BEF的度数是45.【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用， 解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来， 题目比较典型，但是有一定的 难度.11. （2012秋?高淳县期中）如图，梯形 ABCD中，AD/ BC, AB=CD对角线AC BD交于点0，AC丄BD，E、F、G、H分别为AB BC CD DA的中点.（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3求正方形EFGH的边长.4 g D【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC丄BD入手，进行正方形的判断.（2）连接E

4、G,利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出 EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长.【解答】（1）证明：在厶ABC中， E、F分别是AB BC的中点，二 EF如,同理FGd二J.I，GH丄氏,HE丄上在梯形ABCD中， AB=DC AC=BDEF=FG=GH=HE四边形EFGH为菱形.设AC与EH交于点M在厶ABD中E、H分别是AB、AD的中点，.EH/ BD,同理 GH/ AC又 AC丄 BD,:丄 BOC=90./ EHG=/ EMC=Z BOC=90四边形EFGH为正方形.（2）解：连接EG,在梯形ABCD中, E、G分别是AB DC的中点， EG丄（AD+BC

5、蚂（1+3） =2，2 2在 RtAHEG中，EGEFf+HG2，4=2EFf，EHf=2，则 EH= :即四边形EFGH的边长为戌【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出 EH=HG=GF=FE这是本题的突破口.12. （2013秋?青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中 点，BE和CF交于点P.求证：AP=ABX. JLD【分析】延长CFBA交于点M，先证 BCEA CDF，再证 CDFAAMF得BA=MA 由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半， 可得RtAMBP中APjBM,即AP=AB2【解答】证明：

6、延长CF、BA交于点M ,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点， BC=CD / BCE=/ CDF CE=DF BCEA CDF/ CBEW DCFvZ DCF+Z BCP=90 ,/ CBEV BCP=90,Z BPM=Z CBEV BCP=90.又 v fd=fa z cdf=/maf,z cfd=/mfa, CDFA AMF, CD=AM.v cd=ab - ab=am. PA是直角 BPM斜边BM上的中线， AP丄BM,2【点评】本题考查了正方形各边长相等、 各内角为直角的性质，全等三角形的判 定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质， 本题中求 证厶

7、CDFA AMF是解题的关键.13. （2015春？禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PEXBC于 E, PF丄 DC于 F.(1) 求证：PA=EF(2) 若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.AD/72rs Ec【分析】(1)连接PC,证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC证厶ABPA CBP,推出AP=PC即可；(2)证厶CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解：证明：(1)连接PC,ADAzzBEC四边形ABCD是正方形， AB=CB / ABD=Z CBD=45,/ C=90, 在厶ABP与厶CBP中,AB=CBZ： ABD

8、二 Z CBD,BP=BP ABPA CBP( SAS , PA=PC PE! BC, PF丄 CD,/ PFC=90, / PEC=90.又/ C=90 ,四边形PFCE是矩形, EF=PC PA=EF(2)由(1)知四边形PFCE是矩形， PE=CF PF=CE又/ CBD=45,/ PEB=90, BE=PE 又 BC=a矩形 PFCE的周长为 2 ( PEfEQ =2 (BE+EC) =2BC=2a【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接 和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键.14. (2015秋？福建校级期中)如图1,在正方形ABCD中，点E为BC上一

9、点,连接DE,把厶DEC沿DE折叠得到厶DEF延长EF交AB于G,连接DG.(1)求/ EDG的度数.(2)如图2, E为BC的中点，连接BF.求证：BF/ DE;若正方形边长为6,求线段AG的长.图2【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA / A=Z B=Z C=Z ADC=90，由折叠的性质得出/ DFE=/ C, DC=DF / 1 = Z 2,再求出/ DFGW A, DA=DF 然后由 “HL证明RtADGA RtADGF,由全等三角形对应角相等得出/ 3=/ 4,得出/ 2+/ 3=45即可；(2)由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE / DEF=/ DEC,再由三

10、角形的外角性质得出/ 5=/ DEC然后利用同位角相等，两直线平行证明即可； 设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE 的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】(1)解：如图1所示：四边形ABCD是正方形, DC=DA / A=Z B=Z C=Z ADC=90 , DEC沿DE折叠得至厶DEF/ DFE=/ C, DC=DF / 仁/2,/ DFG=/ A=90, DA=DF 在 RtA DGA和 RtA DGF中， fDG=DG RtA DGA RtA DGF ( HL),/ 3=Z 4,丄(/ ADF+Z FDC ,丄X 90 =45(2)证明

11、：如图2所示：: DEC沿DE折叠得至厶DEF E为BC的中点, CE=EF=BE Z DEFZ DECZ 5=Z 6 ,vZ FECZ 5+Z 6 , Z DEF+Z DECZ 5+Z 6 , 2Z 5=2Z DEC即 Z 5=Z DEC BF/ DE;解：设 AG=x 贝U GF=x BG=6- x,v正方形边长为6 , E为BC的中点， CE=EF=B GE=E+GF=3hx ,在RtAGBE中，根据勾股定理得：(6-x) 2+32= (3+x) 2 ,解得：x=2,即线段AG的长为2.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形 的判定与性质、勾股定理、翻折变

12、换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行 推理论证与计算是解决问题的关键.15. (2016春?召陵区期中)如图，在正方形 ABCD中，F是对角线AC上的一 点，点E在BC的延长线上，且BF=EF(1) 求证：BF=DF(2) 求证：/ DFE=90;(3) 如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图)，当/ABC=50时,【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得 BC=DC对角线平分一组对角可得/ BCF DCF然后利用 边角边”证明即可；(2)易证/ FBEW FEB又因为/ FBE=/ FDC,所以可证明/ FEB2 FDC 进而 可证明/ DFE=90;(3) 根据全等三角形对

13、应角相等可得/ CBF= CDF根据等边对等角可得/ CBF= / E,然后求出/ DFE玄DCE再根据两直线平行，同位角相等可得/ DCE=/ ABC, 从而得解.【解答】(1)证明：在正方形 ABCD中，BC=DC / BCF/ DCF=45,在 BCF 和ADCF 中，BC=BCZBCF=ZDCF, BCFA DCF( SAS ; BF=DF(2)证明：BF=EF/ FBE/ FEB又/ FBE/ FDC,/ FEB/ FDC,又/ DGF=/ EGC,/ DFG=/ ECG=90,即/ DFE=90;(3) 证明：由(1)知, BCFA DCF,/ CBF/ CDF, EE=FB/ C

14、BF/ E ,/ DGF=/ EGC(对顶角相等), 180 -/ DGF-/ CDF=180-/ EGC- / E,即/ DFE=/ DCE AB/ CD,/ DCE/ ABC,/ DFE=/ ABC=50 ,故答案为：50.【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出/ BCF DCF是解题的关键.16. (2015秋？泗县期中)已知正方形 ABCD中，对角线AC、BD相交于O. 如图1,若E是AC上的点，过A作AG丄BE于G, AG BD交于F,求证：OE=OF 如图2,若点E在AC的延长线上，AG丄EB交EB的延长线于G,

15、 AG延长DB 延长线于点F,其它条件不变，OE=OF还成立吗？图卩 图 E【分析】由正方形的性质得出 OA=OB AC丄BD,得出/ BOEN AOF=90，由 角的互余关系得出/ OBEK OAF,由ASA证明 BOEA AOF,得出对应边相等 即可；由正方形的性质得出 OA=OB AC丄BD,得出/ BOEK AOF=90，由角的互余 关系得出/ OBEN OAF,由ASA证明 BOEAAOF,得出对应边相等即可.【解答】证明：四边形ABCD是正方形， OA=OB AC丄 BD,/ BOEK AOF=90,/ OEBfZ OBE=90, AG 丄 BE,/ AGE=90,/ OEBfZ

16、OAF=90,/ OBE2 OAF,在厶BOEftA AOF中,ZB0E=ZA0FOBOA,Z0BE=Z0AF BOEAAOF (ASA), OE=OF解：OE=OF还成立；理由如下：四边形ABCD是正方形， OA=OB AC丄 BD,/ BOE=/ AOF=90,/ OEBfZ OBE=90, AG 丄 BE,/ AGE=90,/ OEBfZ OAF=90,/ OBE=/ OAF,在厶BOEft AOF中，ZB0E=ZA0FOB=OA,Z0BE=Z0AF BOEA AOF (ASA), OE=OF【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形 的性质，并能进行推理论证

17、是解决问题的关键.17. (2016春?邳州市期中)如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB(1) 求证：PE=PD(2) 求证：/ PDC=/ PEB(3) 若/ BAD=80，连接DE,试求/ PDE的度数，并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得出 AB=BC=CD=ADAB/ CD,/ DCPW BCF,由SAS 证明 CDPA CBP得出PB=PD再由PE=PB即可得出结论；(2) 由等腰三角形的性质得出/ PBC=/ PEB由全等三角形的性质得出/ PDC= / PBC 即可得出/ PDC/ PEB(3) 由四边形内角和定理得出/ DPE=100 ,由等腰三角形的

18、性质和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)解：四边形ABCD是菱形， AB=BC=CD=ADAB/ CD,/ DCP=/ BCP在厶 DCPn BCP中,CD=CBZDCP=ZECP ,PC=PC CDPA CBP(SAS , PB=PD PE=PB 二 PE=PD(2)证明：PE=PB/ PBC/ PEB/ CDPA CBP/ PDC=/ PBC/ PDC=/ PEB(3) 解：如图所示：/ PDE=40;理由如下：在四边形DPEC中 ,v/ DPE=360-( / PDC+Z PEG/DCB=360-( / PEBf/PEG/ DCE)=360( 18080)=100v PE=PD

19、/ PDE=/ PED=40.等腰三角形的性质;【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、 熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.18. （2016春？昆山市期中）如图，正方形 ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任 意一点（异于端点B、C）,连接AP,过B、D两点作BEL AP于点E, DF丄AP于 点F.(1) 求证:EF=DF BE;求EF的长.（2）若厶ADF的周长为【分析】（1）由正方形的性质得出 AD=AB证出/ DAF=Z ABE,由AAS证明 ADFBAE 得出AF=BE DF=AE即可得出结论；（2）设 DF=a AF=b, EF=DF- AF=a

20、- b 0,由已知条件得出 DF+AF乂 ,即 a+b ,33由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a- b即可.【解答】（1）证明：BELAP, DFL AP,/ DFA=/ AEB=90 , / ABEZ BAE=90,四边形ABCD为正方形， AD=AB Z DAB=90=Z DAF+Z BAEZ DAF=/ ABE 在厶ADF和厶BAE中，ZDIrA=ZAEB,AD=AB ADFA BAE (AAS , AF=BE DF=AE EF=A- AF=DF- BE(2)解：设 DF=a AF=b, EF=DF- AF=a- b 0 , ADF的周长为工,AD=1 ,34 DF+A

21、F专即 a2+b2=1,(a-b) 2=2 (a2+b2)-( a+b) 2=2=-二 a- b= ,【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出 a与b的关系式是解决问题（2）的关键.19. （2015春？繁昌县期中）如图，正方形 ABCD的对角线AC、BD的交点为O, 以0为端点引两条互相垂直的射线 OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.（1）求证：OE=0F（2）若正方形的边长为4,求EF的最小值.【分析】（1）根据正方形的性质可得/ EAO=/ FBO=45, OA=OB再根据同角的 余角相等可得/ AOE=/ BOE

22、然后利用 角边角”证明 AOE和厶BOF全等，根据 全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据等腰直角三角形 EOF当OE最小时，再根据勾股定理得出 EF的最 小值.【解答】解：（1）v四边形ABCD是正方形， OA=OB / AOB=9O , / EAO=/ FBO=45,/ AOEf/ BOE=9O, OE1 OF,:丄 BOF+Z BOE=90,/ AOE=Z BOF,在厶AOE与厶BOF中，ZA0E=ZB07OA=OB ,Zeao=Zfbo AOEA BOF (ASA , OE=OF(2)由(1)可知， EOF是等腰直角三角形，Z EOF是直角，当OE最小时， EF的值最小， OA=OB

23、 OE AB,点E是AB的中点， OEjB,2 AB=4, OE=2 EF= ； .：-:,-:,即EF的最小值是2 .匕【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变 量正确作出辅助线是关键.20. (2016春？江宁区期中)如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点, BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证：(1) BF=DF(2) BF丄 FE【分析】(1)由正方形的性质得出 AB=AD, Z BAF=Z DAF=45 ,由SAS证明厶BAF DAF,得出对应边相等即可；(2)由线段垂直平分线的性质得出 BF=EF证出EF=DF得出/ FDE=Z FED

24、,再 由全等三角形的性质证出/ ABF=/ FED由邻补角关系得出/ FEDfZ FEA=180, 证出/ABF+/FEA=180,由四边形内角和得出/ BAE+/ BFE=180,求出/ BFE=90 即可.【解答】证明：如图所示：(1)v四边形ABCD是正方形， AB=AD / BAF=/ DAF=45 , / BAE=90,在厶BAFft DAF中，AB 二 ADZbaf=Zdaf , BAFA DAF (SAS , BF=DF(2)v BE的垂直平分线FG交对角AC于点F, BF=EF BF=DF EF=DF/ FDE=/ FED, BAFA DAF,/ ABF=Z FDE/ ABF=

25、Z FED,/ FEB/FEA=180 ,/ ABF+/FEA=180 ,/ BAEn/ BFE=180 ,/ BFE=90, BF丄 FE迟 C【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判 定与性质、四边形内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等 是解决问题的关键.21. (2015春？台州校级期中)已知：如图所示，四边形ABCD中，/ ABCN ADC=90 , M是AC上任一点，O是BD的中点，连接 MO,并延长MO到N,使NO二MO, 连接BN与ND.(1) 判断四边形BNDM的形状，并证明；(2) 若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何

26、？说明理由.【分析】(1)由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论；(2)由直角三角形斜边上1的中线性质得出BMAC, DM丄AC,得出BM=DM， 即可得出结论.【解答】(1)解：四边形BNDM是平行四边形，理由如下：v O是BD的中点， OB=ODv NO二MO,四边形BNDM是平行四边形；(2)解：四边形BNDM是菱形；理由如下：vZ ABC=/ ADC=90 , M 是 AC的中点， BMAC, DM二丄AC,2 2 BM=DM,四边形BNDM是菱形.【点评】本题考查了平行四边形的判定方法、 直角三角形斜边上的中线性质、 菱 形的判定方法；熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法，并

27、能进行推理论证是解 决问题的关键.22. （2016春？柘城县期中）如图，在 ABC中，O是边AC上的一动点，过点 O 作直线MN / BC,设MN交/ BCA的平分线于点E,交/ BCA的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OFAECF是矩形?【分析】（1）根据MN / BC, CE平分/ ACB CF平分/ ACD及等角对等边即可证得 OE=OF（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即 AO=CO OE=OF故当点O 运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.【解答】（1）证明：MN / BC, CE平分/ ACB CF平分/ ACD, / BCEW ACEW OEC, / OCF玄

28、 FCD=/ OFC OE=OC OC=OF OE=OF（2）解：当O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形, AO=CO OE=OF四边形AECF是平行四边形，/ ECA/ACF千/ BCD/ ECF=90,四边形AECF是矩形.【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角为直角的平行四边形 是矩形.23. (2015春？北京校级期中)(1)如图矩形ABCD的对角线AC BD交于点O, 过点D作DP/ OC,且DP=OC连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.(2) 如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由.(3) 如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由.【分析】(1)根据矩形的性质得出 OD=OC根据有一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形得出四边形 CODP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；(2) 根据菱形的性质得出/ DOC=9，根据有一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；(3) 根据正方形的性质得出 OD=OC / DOC