平面向量的线性运算以及坐标运算

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1、、同步知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量.（注意零向量，单位向量）数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、向量加（减）法运算:三角形法则的特点：首尾相连.平行四边形法则的特点：共起点.= AB + BC= AC三角形不等式:$ |b.当 0时,运算律：运算性质：交换律:3、向量数乘运算:的方向与a的方向相同；当的方b .b b向相反；当0时,；结合律：a b实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作0时，a的方向、同步例题分析例1、判断下列命题

2、的真假。（1）零向量是没有方向的；（2）零向量与任一向量共线；（3）零向量的方向是任意的；（4）单位向量都是相等的向量；（5）向量AB与向量BA的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等;（8）向量就是有向线段；（9）非零向量a的单位向量是击;（1。）若,则;(11)若(12)若(2)(3)(4)；(13)若a,则例2、给出下列几个命题:若aBDC,则A、B、CD四点是平行四边形的四个顶点;在平行四边形ABCDK一定有ABdC；其中不正确命题的个数为（）A.2B.3C.4D.5例3、如图，在0ABCD中,ABa,ADb,aN1AC3M为BC的中点，则。（用a,

3、b表本）变式:1、化简下列各式:(1)bcLaB；(2)abaCbdcD；(3)nQqPmNmPo2、已知P,A,B,C是平面内四点，且PAPBPCAC,那么一定有（A.PB2APB.CP2PBC.AP2PBD.PB2AB3、已知、R,则在以下各命题中，正确的命题共有(1)(2)(3)0,a0时,0,a0时,a时,与a的方向一定相反;a与a的方向一定相同;与a是共线向量;4aJra的方向一定相同;-faJra与a的方向一定相反。A.2个B.3个C.4个D.54、已知任意平面四边形ABC珅，EF分另1J为ADBC的中点。求证:藻-(ABDC)25、如图，在五边形ABODES,若ACDE是平行四边

4、形，且品良豆CD及C1例8、设两个非零向量a、b不共线,2a8b,CD3(ab),求证:(2)试确定实数k使得kab与akb共线。变式：如图，平行四边形ABC邛，E是DC中点，AE交BD于M,试用向量的方法证明：M是BD的一个三等分点。三、课后作业1、若有以下命题:两个相等向量的模相等;若a和b都是单位向量，则a相等的两个向量一定是共线向量;a/b,c/b,则ac；零向量是唯一没有方向的向量;两个非零向量的和可以是零。其中正确的命题序号是2、已知下列各式:ABBCCA;ABMBBOOMABACBDCDOAOCBOCO其中结果为零向量的个数为3、在ABCM,设ABa,ADb,ACc,BDd,则下

5、列等式中不正确的是A.abcB.aD.cab4、若a与b的方向相反，且b,则a+b的方向与a的方向止匕时a5、若AB18,5,则的取值范围是6、（广东卷）如图1所示，D是ABC的边AB上的中点,A.BC-BA2B.BC弼C.BC罚D.则向量BC图17、在四边形ABCD43,若ABa,ADb,且|ab|ab|,则四边形ABC而形状8、设e1，e2为两个不共线的向量，若aee2与b2e13e2共线，则3ei 3e2，试证A,B, D三点共线.9、设e1,e2是两不共线的向量，若ABe1e2,BC2e18e2,CD10、如图，在任意四边形 ABC邛,E、F分别是AD,BC的中点，求证：AB+DC=2

6、EF思考题：设点。在AABC内部，且有4OAOBOC0,求三角形ABCW三角形OBC勺面积之比平面向量的基本定理及坐标表示一、知识点梳理a,有且只有一对实数1、如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a=iei+2e2。称不共线的向重e、e叫做一组基底。2、已知两个非零向量a和b,做OAa,OBb,则AOB0180叫做向量a与b的夹角。如果a与b的夹角是90,则称a与b,记作。3、向量的正交分解：4、平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标：设i,j是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量a,有且只有一对实数x,y,使得axiyj,记作ax,y。(2)

7、平面向量的坐标运算axi,yi,bx2,y2,则有ab,ab,a,设Ax,yi,Bx2,y2,则有aB；向量共线的坐标表示：设ax1，yi,bx2,y2,则有a与b共线，中点公式设R%,必，P2x2,y2,P为PP2的中点，则对任一点Op 1 Op1 OP22,所以点P的坐标是二、专题经典讲练例1、设:、:是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(D.e1，ee2例2、已知x、y R,向量a(2x,1), b (y 1, x),若 aoy,X (4 4C 量 向 求 Jb变式：1、已知a(1,5), 3(6,19)，求2、若 A(0,1), B(1,2), C(3,4),则

8、aB 2bC =3、设向量a=(1,3),b=(2,4),若表示向量4a、3b2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(A)(1,1)(B)(1,1)(C)(4,6)(D)(4,6)4、已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为()A.0B.8C.2D.10等于(B.例2、已知点A(3,1),B(0,0),C83,0),设/BAC的平分线AE与BC相交于E,且BC=CE,则D.变式：1oP oA0,点，ABC是平面上不共线的三个点，则P的轨迹一定通过 ABC的动点P(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心2、平面直角坐标系中,O为坐标原点，已知两点

9、A 3,1, B 1,3 ,若点C满足OCOA OB,其中有且1,则点C的轨迹方程为()_2_2(A)3x2y110(B)x1y25(C)2xy0(D)x2y50例3、已知点A(1,-2),若向量AB与a=2,3同向，AB=2J13,则点B的坐标为变式：1、已知向量a=(2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是()A.-4,6B.6,4C.6,2D,-2,62、已知向量a(cos,sin)，向量b(J3,1)则12ab|的最大值，最小值分别是()A.4短0B.4,4&C.16,0D.4,03、若平面向量b与向量a(1,2)的夹角是180,且|b|3再，则bA.(3,6)

10、B.(3,6)C.(6,3)D.(6,3)4、若向量，满足|,则与所成角的大小为.例4、若向量a(1,2),变式：1、已知向量a(3,4),b(A)3(B)344(sin,cos)，且a/b,则tan=(C)4(D)-332、向量oA(k,12),OB(4,5),(10,k),当k为何值时，A、RC三点共线。3、ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量3(ac,b),q(ba,c,则角C的大小为()(A)_(B)-(C)-(D)例5、已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，点P满足(1)为何值时，点P在正比仞函数yx的图像上(2)设点P在第三象限，求的取值范围。课后

11、作业1、下列各组向量中，可以作为基底的是()A.ei(0,0),e2(1.2)b,ei(1,2),e?(5,7)13C.e(3,5),e(6,10)D,e(2,3),e2(一,一)242、已知点A1,3,B4,1，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.3、已知 a (5, 2)(4, 3)(x, y),若a 2b3c0,则C等于()A.(1,|)B.13 8、7,3)C.13 4、7,3)/ 134、D. (，, 二)334、若将向量a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转一得到向量b,则向量b的坐标为48.AABC中，若.口=2心3，CZ)=yC4C5f则九二B.D.6、在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在/AOB的平分线上且|OC|=2,则OC=7、已知ABC的平行四边形，A(-1,2),B(0,0),C(1,7),则D点坐标为8、若F面向量a,b满足|ab|1,ab平行于X轴，b(2,1),则a9、已知点A(1,1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足(12,01)的点P组成，则D的面积为