新概念综合问题课后练习

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1、新概念综合问题1专项练习1. 我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中,如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点,那么这条抛物线叫作原抛物线的过顶抛物线.如以下图,抛物线 F2都是抛物线Fi的过顶抛物线,设Fi的顶点为A, F2的对称轴分别交 Fi、F2于点DB,点C是点A关于直线BD的对称点.21如图1,如果抛物线y=x的过顶抛物线为y=ax2+bx, C 2, 0,那么 a=, b=. 如果顺次连接 A B C、D四点,那么四边形 ABCDA.平行四边形B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形2 如图2,抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为 F2,B2,c 1.求四边形 ABCD的面

2、积.来源：学. 科网1 273 如果抛物线y=-x2 -x -的过顶抛物线是 F2,四边形 ABCD的面积为2 3,请直接写出点 B333的坐标.2. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M,对于任意的函数值 y,都满足yw M,那么称这个函数是有上界函数,在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,图中的函数是1(1) 分别判断函 数y( xvO )和y = 2x - 3 ( xv2 )是不是有上界函数？如果是有上界函数,x求其上确界；(2) 如果函数y = _x 2 ( axa )的上确界是b,且这个函数的最小值不超过 2a 1,求 a的取值范围；2(3) 如果函数y =X

3、 -2ax 2 ( K x 5)是以3为上确界的有上界函数,求实数 a的值.3. 给出如下规定：两个图形G和G2,点P为G上任一点,点 Q为G上任一点,如果线段 PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G和G之间的距离.在平面直角坐标系 xOy中,O为坐标原点.(1 )点A的坐标为A(1,0),那么点B(2,3)和射线OA之间的距离为 ,点C(_2,3)和射线OA之间的距离为;k(2)如 果直线y=x和双曲线y 之间的距离为、.2,那么k=;(可在图1中进行研究)x(3 )点E的坐标为(1 , ,3 ),将射线OE绕原点O逆时针旋转6.,得到射线OF,在坐标平面内所 有和射线OE OF之间

4、的距离相等的点所组成的图形记为图形M 请在图2中画出图形 M并描述图形 M的组成局部；(假设涉及平面中某个区域时可以用阴影表示) 将射线OE OF组成的图形记为图形 W抛物线y = x2 - 2与图形M的公共局部记为图形 N,请直 接写出图形 W和图形N之间的距离.rr5544331ZI-5 -4 -3 -2 -10-11 2 :i 4 5 *-坟 Y -3 -a -10-11 2 ;! 4 $ a-2-3-3-4-5-3图1图2新概念综合问题(1)专项练习参考答案1.解：(1)由A C点关于对称轴对称,得对称轴x=1.将C点坐标代入解析式及对称轴公式,得出=12a4a 2b=0解得 a=1p

5、= 2故答案为：1, -2 ;来源：学,科,网乙X,X,K当 x=1 时,代入 y=x2,得 y=1 , B (1, 1); 代入 y=x2-2x=-1,得 y=-1 , D (1, -1 ), 四边形ABCD勺对角线相等且互相平分,且互相垂直, 四边形ABCD是正方形,应选：D.(2 )T B ( 2, c - 1),来源：学 &科 &网 AC=2X 2=4.当 x=0, y= c , A ( 0, c) o2/ F 1: y=ax+c, B( 2, c 1). 设 F2： y=a(x 2) 2+c 1.点 A (0, c)在 F2上, 4a+c 1=c,1 a o 来源:Zxxk.Com

6、BD=(4a+c) (c 1)=2.来源：学 +科 + 网 S四边形abc=4.(3)如下图：_4 1 2 271八 cy x xx1233331 2设F2的解析式yx-1-a 2 b3B 1 a,2 b/ B, D横坐标相同1 2 271 2把x =1 a代入y x x 得y a 23333D 1 a, 1a22I 3T F2过点A, B1 2 1 2 把 A(1,2 ) B(1 +a,2 +b 弋入 y=_(x1_a)+ 2 + b 得 b = _a233/ A, C关于BD对称C(1 +2a,2 ) c点坐标为B点在A点的右侧时, AC =2a,BD =a2 -b3四边形面积为2.31A

7、C BD =2、32ab = 2 3 1 2a i a - b =2.3,得23L 1 2 ba3由】a3-ab=2 3 3解得 a 、3,b = -1此时B点坐标为1 3,1B在点A的左侧时,AC - -2a,BD =爲2 _b3四边形面积为2、一 31AC BD =2、3211 22a a23C 1 2b a324i,得如3 -心-朋由a-abn 33解得 a - - . 3,= -1此时B点坐标为1-、3,1综上所述：B1 1 .3,1B2 1 - -3,112解：1 y x ： 0不是有上界函数；xy =2x -3 x ： 2 是有上界函数,上确界是12在y=-x+2中,y随x的增大而

8、减小,上确界为2 - a,即2-a=b.又b a,所以2 - a a,解得a ： 1函数的最小值是2-b 2 b 乞2a 1,得 2a 1,解得 a 一 一1.综上所述：-仁a：13 函数的对称轴为 x=a当a乞3时,函数的上确界是 25 _10a 2 = 27 _10a. 12 27 _10a =3,解得a,符合题意.5当a 3时,函数的上确界是 1_2a2=3_2a. 3 2a =3,解得a = 0,不符合题意.12综上所述：a-125 .3.解：1 3, ,13 ;2；3如图,过点 O分别作射线 OE OF的垂线OG OH贝V图形M为：y轴 正半轴,/ GOH的边及其内部的所有点图中的阴

9、影局部.说明：图形M也可描述为：y轴正半轴, 边界4.3寺.0时,求出y= kx+2过A(1 , 3)时的k值；当k v 0时,求出y = kx+2过B(5 , 1)时的k值,进而求解即可；(4) 过C点作AB的平行线,交y轴于点P,根据两平行线间的距离相等,可知ABP与厶ABC是同底等高1 一的两个三角形,面积相等.根据直线平移k值不变可设直线 CP的解析式为y=- x+n ,将C点坐标代入,2求出直线CP的解析式,得到P点坐标；再根据到一条直线距离相等的直线有两条,可得另外一个P点坐标.【详解】解：(1) A点坐标是(1 , 3) , B点坐标是(5 , 1) , C点坐标是(1 , 1)

10、, AC= 3 - 1= 2, BC= 5 - 1 = 4,/ C= 90 ,11Sa abc= AC?B=X 2 X 4= 4.22故答案为4；设直线AB的表达式为y= kx+b .T A点坐标是(1 , 3) , B点坐标是(5 , 1),k b =35k 1,解得k 一 一127b 二一21 7直线AB的表达式为y=- x+ ;2 2(3)当 k 0 时,y= kx+2 过 A(1, 3)时,3= k+2,解得 k= 1,一次函数y= kx+2与线段AB有公共点,贝U Ov k 1;当 k v 0 时,y = kx+2 过 B(5 , 1),11 = 5k+2,解得 k =- 一,51

11、一次函数y= kx+2与线段AB有公共点,那么- kv 0.51综上,满足条件的 k的取值范围是0vkwi或-wkv 0;5 过C点作AB的平行线,交y轴于点P,此时 ABP与厶ABC是同底等高的两个三角形,所以面积相等.1x+n,2设直线CP的解析式为 C点坐标是(1 , 1),1 1=- 一 +n,解得 n2直线CP的解析式为1 3x+ ,2 2- P(0 ,设直线将直线1X+2AB向上平移-2AB:-交y轴于点D,贝U23-3 = 2个单位,得到直线2D(0,7).21 11y =x+一,与y轴交于点 P,此时 ABP与厶2 2ABP是同底等高的两个三角形,所以11ABP-与 ABC面积

12、相等,易求 P (0 ,).2综上所述,所求 P点坐标是(0 ,3 11故答案为(0 , 3 )或(0 ,).2 一0Jt【点睛】此题考查了三角形的面积,待定系数法求一次函数的解析式,一次函数图象与系数的关系,一次函数图象上点的坐标特征, 直线平移的规律等知识, 直线较强,难度适中.利用数形结合、分类讨论是解题的关键.23. ( 1) (4, 4); (2) 2Wxw4; (3) ai=-a2,理由如下：见解析【解析】【分析】(1) 设x = 0,求出y的值,即可得到 C的坐标,把抛物线 L3: y= 2x2-8x + 4配方即可得到抛物线的对称 轴,由此可求出点 C关于该抛物线对称轴对称的对

13、称点D的坐标；(2) 由(1)可知点D的坐标为(4,4),再由条件以点 D为顶点的L3的“友好抛物线 L4的解析式,可 求出L4的解析式,进而可求出 L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；(3) 根据：抛物线 Li的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线Li上,可以列出两个方程,2相加可得：(ai+ a2)( m- h)= 0,可得 ai= -a2.【详解】解：(i)：抛物线 L3： y=2x2-8x+4,2 y=2 (x-2 )-4,顶点为(2,4),对称轴为x=2,设 x=0,那么 y=4,- C ( 0, 4),点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：(4

14、,4);(2) ：以点D( 4,4)为顶点的抛物线 L4过点(2,-4 ),设L4的解析式y=a(x4)2,将点(2, -4 )代入L4可得,a=-2, L4 的解析式为 y=-2 (x-4 ) 2+4,L3与L4的两个交点分别为(4,4)和(2,-4 ) L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是：2Wx4 时；(3) ai=-a 2,理由如下：:抛物线Li的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线Li 上,In 二 a2(m - h)2 k可以列出两个方程22,(k =印仆十)2 + n + 得：(ai+a2)(m-h) 2=0,-ai =-a 2.【点睛】此题属于二次

15、函数的综合题,涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题, 解答此题的关键是数形结合,特别是(3)问根据条件得出方程组求解,有一定难度.24. ( i)见解析(2) 45【解析】【分析】(1) 根据平行线的性质可得/D=Z OCE / DAO2 E,再根据中点定义可得 DO=CO然后可利用 AAS证实 AODA EOC(2) 当/ B=ZAEB=45时,四边形 ACED是正方形,首先证实四边形ACED是平行四边形,再证对角线互 相垂直且相等可得四边形 ACED是正方形.【详解】(1) v四边形 ABCD是平行四边形, AD/ BC./ D=Z OCE / DAO=/ E.

16、/ O是CD的中点, OC=OD在厶 ADOm ECO中,.D n/OCE,丄DAO =NCEO,DO =CO,卜 AODA EOC( AAS；(2) 当/ B=ZAEB=45时,四边形 ACED是正方形.如图;/ AODA EOC OA=OE又 OC=OD四边形ACED是平行四边形./ B=Z AEB=45 , AB=AE / BAE=90 .四边形ABCD是平行四边形, AB/ CD, AB=CD / COEN BAE=90 . ?ACED是 菱形./ AB=AE AB=CD AE=CD菱形ACED是正方形.故答案为：45.【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及正方形的判定,关

17、键是掌握对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.25. ( 1) a = 54; b = 0.45 ;(2) 72; (3)“随机抽取64名男生和56名女生比拟合理；(4)该校九年级学生体育测试成绩是 40分的人数约为180人.【解析】【分析】(1) 先利用一类的频数除以频率计算出总频数c,再用总频数减去其余三类,即可得到a,再用a的频数除以总频数即可得到 b(2) 圆周角为360,第三类占总数的0.2,所以第三类的圆心角=360X 0.2(3) 根据九年级学生共600人,其中男生320人,女生280人进行反推即可解答(4) 禾U用总人数乘频率即可解答【详解】(1) 总频数=36- 0.3=

18、120 , a 的频数=总频数-36-24-6=54 , b 频率=54- 120=0.45,a= 54; b= 0.45 ;(2) 0. 2X 360 =72;(3) . . 64 _ 320 56 _ 280(3).= , = ,120 600 120 600 “随机抽取64名男生和56名女生比拟合理；(4) 0.3 X 600= 180(人)答：该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人.【点睛】此题考查了频数分布表,圆周角,用样本估计总体,熟练掌握运算法那么是解题关键2021-2021 学年数学中考模拟试卷一、选择题n后能与原来的图案重合,那1 风力发电机可以在风力作用下发电

19、如图的转子叶片图案绕中央旋转 么n的值可能是B.602.C.90D.120A.3.4.F列二次根式中,为最简二次根式的是.45B. - a2b2C.点 M1- 2m m- 1在第一象限,那么A.0 0.5 1C.0 0.5 1在 Rt ABC中,/ C= 90,假设 AB= 4,.1-1A.B.m的取值范围在数轴上表示正确的选项是B.0 0.5 11) 2时,y v-2 .其中所有正确结论的序号是 .18. 在直角厶 ABC中,/ C= 90, AC= 8, BC= 6, G是重心,那么 G到斜边 AB中点的距离是 _.三、解做题1 _19. (1)计算：|1 _ 、3 1+ () _1 _

20、2tan602(2)先化简,再求值：2x -2x 1/2x 1(x),其中 x=2 _ 1.2x 4x 2213x 2x -2一 x在扇形统计图中,求等级 C对应的扇形圆心角的度数,并补全条形统计图； 该校七年级有300名学生,请估计足球运球测试成绩到达A等级的学生有多少人？24. 如图,一次函数 y = k1X+b的图象经过 A (0,_ 2) , B ( 1, 0)两点,与反比例函数 y=的图象在x第一象限内的交点为 M,假设厶OBM勺面积为2.(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；(2) 在x轴上是否存在点 P,使AMI MF?假设存在,求出点 P的坐标；假设不存在,说明理由. -42

21、0.解以下方程:21.如图,一次函数 y = kx + b的图象与反比例函数my= (xx 0)的图象交于点P(n , 2),与x轴交于点A( 4,0),与y轴交于点 C, PB丄x轴于点B,点A与点B关于y轴对称.(1)求一次函数、反比例函数的解析式；求证：点C为线段AP的中点.22. 某学校开展名著阅读活动,现老师推荐2部不同的名著 A B,甲、乙、丙3人分别从中任意选择 1 部阅读.(1) 甲选择名著A的概率为 ;(2) 求甲、乙、丙3人选择同一部名著的概率.(请用画树状图的方法给出分析过程,并求出结果)23. 某校为了解七年级学生体育课足球运球的掌握情况,随机抽取局部七年级学生足球运球

22、的测试成绩作 为一个样本,按 A、B C、D四个等级进行统计,制成了如下图的不完整的统计图：案形统计圏屈畴计圏25. 某校创立“环保示范学校,为了解全校学生参加环保类社团的意愿,在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查问卷给出了五个社团供学生选择学生可根据自己的爱好选择一个社团,也可以不选,对A B C D E 没选择环保类社团 圉1囹2选择了社团的学生的问卷情况进行了统计,如下表:社团名称A酵素制作社团B回收材料小制作社团C垃圾分类社团D环保义工社 团E绿植养护社 团人数101551051 根据以上信息填空：这 5个数的中位数是 ;扇形图中没选择的百分比为 ；2 补全条形统计图；假设该校有14

23、00名学生,根据调查统计情况,请估计全校有多少学生愿意参加 环保义工社团；3假设小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加,请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率.【参考答案】*、选择题题号123456789101112答案DBDCCDBDACBB二、填空题13-. .;3 -a14. 0, 1615. 2 .3 ,2.16. 2 - 2.2 或 -5 或-1.317. 18.三、解做题19. ( 1)-、3+1 ； (2) I .2【解析】【分析】(1) 根据绝对值、负整数指数幕、特殊角的三角函数值可以解答此题；(2) 根据分式的减法和除法可以化简题

24、目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答此题.【详解】(1) |1 -、3 |+ ( - ) -1 - 2tan60 2=- 1+2-2X、3=- 1+2 - 2.3=-.3 +1 ；(2)X2 -2x 12x 42x 1)x 2)(x -1)2 , x(x 2) -(2x 1)2(x 2)x 2(x -1)2X 22(x - 2) x2 2x -2x-1(X -1)212(x 1)( x -1)x -12(x 1)当 x = J2 -1 时,原式=华1-1 =2-22(丁2-1+122【点睛】 此题考查分式的化简求值、绝对值、负整数指数幕、特殊角的三角函数值,解答此题的关键是明确它们

25、各 自的计算方法.20. 9【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【详解】解：去分母得：2x-4-x-2=3 ,解得：x=9,经检验x=9是分式方程的解.【点睛】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.8121. (1) y , y x 1 ； (2)详见解析.x4【解析】【分析】(1) 由A、B关于y轴对称,可知B点坐标,进而知道P点坐标,就可求一次函数、 反比例函数的解析式;(2) 利用平行线等分线段定理可求证实.【详解】(1)v A (-4 , 0),点A与点B关于y轴对称,二 B ( 4, 0), P

26、B丄x轴于点B,二 P ( 4, 2), 把P (4, 2)代入y= m,求得 m=8x8 y= .x把A (-4 , 0)和P (4, 2)代入一次函数 y=kx+b中,Vk EO4k b=214b=1 y= x+1 .4(2)v PB丄x轴,y轴丄x轴, PB/ y 轴,/ A B关于y轴对称, O为AB中点,点C为线段AP的中点.【点睛】还运用了平行线分线段成比例定理的知此题运用了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式的知识点, 识点,表达了数形结合的数学思想.1122. (1)； (2)24【解析】【分析】(1) 直接利用概率公式求解；(2) 画树状图展示所有 8种等可能的结果数,找出

27、甲、乙、丙3人选择同 概率公式求解.【详解】1部电影的结果数,然后利用2(2)画树状图为：甲AB乙AAB八八八八丙A BA Ba cA1解：(1)甲选择名著A的概率=；共有8种等可能的结果数,其中甲、乙、丙3人选择同1部名著的结果数为2 1所以甲、乙、丙 3人选择同1部名著的概率=.84【点睛】此题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果B的结果数目 m然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.23. (1)117 ;补图见解析；(2)30人.【解析】【分析】(1) 先根据B等级人数及其百分比求得总人数,总人数减去其他等级人数求得 乘以C等级人数所占比例即可得,根据以上所

28、求结果即可补全图形；(2) 总人数乘以样本中 A等级人数所占比例可得.【详解】2,n再从中选出符合事件 a或C等级人数,继而用 360解：(1) I总人数为18-45%r 40人, C等级人数为 40 - (4+18+5) = 13 人,那么C对应的扇形的圆心角是补全条形图如下：条形统计圏360X 13 = 117,400 A B C D层疋统计囹4 估计足球运球测试成绩到达A级的学生有300X 一 = 30人.40【点睛】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总

29、体的百分比大小.1224. (1) y ；( 2)是,P 的坐标为(11, 0).x【解析】【分析】(1) 根据一次函数 y= k1X+b的图象经过 A (0, -2 ), B (1, 0)可得到关于b、k1的方程组,进而可得到 一次函数的解析式,设 M( m n)作MDL x轴于点.,由厶OBM勺面积为2可求出n的值,将M( m 4)代 入y=2x-2求出m的值,由M( 3, 4 )在双曲线y=k2上即可求出k 2的值,进而求出其反比例函数的解析x式；(2) 过点 M(3, 4)作MPL AM交x轴于点P,由MDL BP可求出/ PMDN MBDM ABQ再由锐角三角函数 的定义可得出 OP

30、的值,进而可得出结论.【详解】解：(1)v直线 y = k1X+b 过 A (0,- 2) , B (1, 0)两点fb = -2 ,Jk| +b =0b - -2k1 =2 一次函数的表达式为 y = 2x - 2.n),作MDL x轴于点D=2设 m (m-Sa obm= 2 , !oB MD24n=2将 m (m/ M( 3 , 4)4)代入 y = 2x- 2 得 4 = 2m- 2 ,在双曲线y =上,x k2= 12反比例函数的表达式为12 y=x(2)过点 M( 3 , 4)作MPL AM交x轴于点P,/ MDL BP,/ PMD=Z MBD=Z ABOOA 2 tan / PM

31、D= tan / MBD= tan / ABO=2 = 2OB 1PD在 Rt PDM中,2MD PD= 2MD= 8, OP= OD+PD= 11在x轴上存在点 P,使PML AM此时点P的坐标为11, 0此题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题关键在于将点代入解析式125. 1 10, 10% 2见解析,全校约有 280名学生愿意参加环保义工社团；3见解析,一.4【解析】【分析】对于1,根据中位数的定义得到答案,利用各局部所占的百分比之和为1求出没有选择的百分比,对于2,由1即可补全条形统计图,利用样本估计总体的思想解决问题即可；对于3,画出树状图将所有可能出现的情况表示出来,再找出这

32、两名同学同时选择绿植养护社团的情况,根据概率的公式得到答案【详解】解：1这5个数从小到大排列：5, 5, 10, 10, 15,故中位数为10.没有选择的占 1-10%-30%-20%-10%-20%=10%故答案为：10; 10%2补全条形图如下：1400X 20%=280名,全校约有280名学生愿意参加环保义工社团；T人丄 hlI占 IA B C D E 没选择环保类社团3酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示,画树状图如下:小诗小雨幵蜡两人同时选择绿植养由树状图知共有4种等可能结果,其中两人同时选择绿植养护社团只有一种情况,1护社团的概率为丄.4【点睛】 此题考查扇形统计图,条形统计图,用列表法或画树状图求概率,解题关键在于看懂图中数据