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1、若 aXi, yi ,b X2,y2 ,则 a/bxi y2X2 yi01、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行。单位向量：模为1个单位长度的向量。相等向量：长度相等且方向相同的向量。平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量2、向量加减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量的减法向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差。即：ab=a+(ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点。实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向
2、量，记作入a,它的长度与方向规定如下:(I)a|a；(n)当0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a0,方向是任意的。两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。(1)平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表不成xiyj ,记作 a =(x,y)。(2)平面向量的坐标运算：若A(xi,yi),Rx2,y2),则 |丽=X2xi2+ y2 yi 2若a x，% ,bx2，y2 ,则 a bx, x2,% V2若 A x1，y,，B x2, V2，则 BX2 x1，y2yi3、平面向量的坐标表不b ,则 K X2 yi y2 0X,y1
3、，bX2,y2，则abxX2yiy2.若注意：与X轴、y轴方向相同两个单位向量i、j是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入i,入2使a=-i+入2j我们把不共线向量i、j叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;基底不惟一，关键是不共线；由定理可将任一向量a在给出基底i、j的条件下进行分解;基底给定时，分解形式推入i,入2是被a, i、j唯一确定的数量。向量运算运算律:dla dlb 4aa22 Jlaaaa15a-Ta22a;Ibara2-Taa4、平面向量的数量积:(1)“投影”的概念：| b|cos 叫做向量b在a方向上的投影.几何意义：数量积ab等
4、于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积(3)设a和b都是非零向量，则b 0 .当a与b同向时,lalbl ；当目与b反向时，a b|a|b ；(4)运算律：Jra Jrb坐标运算：若aX,y,则a2X2y2,或a4y；设非零向量aXi,yi,bX2,y2,则abX1X2yy2;目bX1X2y、20-目M4典型习题将讲精练1 .已知acos,sin,bcos,sin,其中0。求证：a+b与ab互相垂直；若kab与kab(k0)的长度相等，求。2 .(2013-江苏)已知向量a=(cosa,sina),b=(cos3,sinB),0Ba兀.若|ab|=也，求证：ab;(2)设c=(0,1)
5、，若a+b=c,求a,B的值.3 .已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量mr(4,1),n=cos2cos2A,且rrrn=7.2，2(1)求角A的大小；(2)若a=#,试判断bc取得最大值时ABC勺形状。4 .设函数f(x)=ab,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,3sin2x),xCR若f(x)=143且xC-3,求x;(2)若y=2sin2x的图象按向量c=(min)(|rn|j平移后得到y=f(x)的图象，求实数mn的值。5.已知向量OA=3i4j,OB=6i3j,OC=(5-mj)i(4+mj)j,其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的
6、单位向量。(1)若AB、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若AABS直角三角形，且/A为直角，求实数m的值。1下列命题中正确的是()AOAOBABBABBA0C0AB0DABBCCDAD2设点A(2,0)，B(4,2),若点P在直线AB上，且AB2AP，则点P的坐标为()A(3,1)B(1,1)C(3,1)或(1,1)D无数多个3.若平面向量b与向量a(1,2)的夹角是180,且|b|35,则b()A(3,6)B(3,6)C(6,3)D(6,3)4.向量a(2,3),b(1,2)，若mab与a2b平行，则m等于A2B2C1D1225若a,b是非零向量且满足(a2b)a,(b2a)b，
7、则a与b的夹角是(AB36设a(,sin2C2D53361)，b(cos,)，且a/b，则锐角3为(A300B600C750D4507.若|a|1,|b|2,cab,且ca,则向量a与b的夹角为8已知向量a(1,2),b(2,3),c(4,1),若用a和b表示c,则c=9.若a1,b2,a与b的夹角为600,若(3a5b)(mab),则m的值为10.若菱形ABCD的边长为2,则ABCBCD11 .若a=(2,3),b=(4,7),则a在b上的投影为12 .已知a(cos,sin),b(cos,sin),其中0的值（k为（1）求证目abHab互相垂直；（2）若kab与akb的长度相等，求非零的常数）.
平面向量及其运算
