平面向量中三点共线

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1、平面向量中三点共线定理的应用知识梳理（一）、对平面任意的两个向量a,b（bO）,ab的充要条件是：存在唯一的实数使ab由该定理可以得到平面三点共线定理：（二）、三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面uuvuvuuv任意一点的0，存在唯一的一对实数x,y使得：OPxOAyOB且uuvuuuvOPxOAyOBo特别地有：当点P在线段AB上时，x0,y0当点P在线段AB之外时，xy0典例剖析例1、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足APxAByAC,x.yR,则的最小值是xy分析：Q点P落在VABC的边BC上B,P,C三点共线uuuuuuuuurQAPxAByACxy1

2、且x0,y04()()(xy)1V44Qx0,y0yc4x小0,0xy由基本不等式可知：y4xxy时y4xxy22y4xy2xQx0,y0y2xQx1x-,y322,符3所以-4的最小值为9xy例2、在 ABC中,uuurAN1 uuir-NC, 3点P是BC上的一点H uuu uuu ，右 AP mAB2 uuur AC,11点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一0的直线分别交直缚UB、声CABC中，点0是BC的中点，过点uuuAB=mAM,AC=nAN,贝(则实数m的值为（A.B.-11 11C.311D.-11uuu AP析：uuu 2 uuurmABAC

3、113故选C11Q B,P, N uuu 2 mAB11uuur4AN占八、uuu mAB8 uuirAN 11线8 m -11:Q因为O是BC的中点，故连接AO,如图4,由向量加法的平行四边形法则uuir可知：AOuuuuuuQAB=mAM1uuu一(AB2uuirACuiurAC)uuurnAN分析：因为点O两条对角线AC与BD的交点,所以点O为AC的中点uuur i uuu uur AO-(AB AD)uuiruuuQ AB = m AM , 2 2uuur i uuuu uuurAO -(mAM nAN )2m uuuu n uuirAM AN 2 2又Q M ,O,N三点共线,由平面

4、三点共线的向量式定理可得：m2 1例4、点G是公OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共1 1线?设OP xOA , OQ yOB ,证明：,1是定值；x ynx I 证明：Q因为G是VOAB的重心，/ I Qt%8- G 八上 uuir 2 1 uuu uuu1 uuu uuu*/具-uuur1uuuuumrAO-(mAMnAN)2uuurmuuuunuuurAOAM-AN22又QM,O,N三点共线，由平面三点共线定理可得：mn1mn2AC与BD的交点O，与AD边交于点变式、直线I过YABCD的两条对角线N,与AB的延长线交于点M又知AB=uuir一mAM,AD=n

5、AN,贝Um+n=分析：OG(OAOB)-(OAOB)323uuuuuuQOPxOAuuuriuuuuuuOG-(OAOB)3又QP,G,Q三点共线,uuuiuuuuuuruuuOAOPQOQyOBx11uuu1uuur一(OP-OQ)3xy11一一13x3y例5、如图所示，在平行四边形uurruurr于G点，记ABa,ADb,uuu1uuirOB-OQunr1uuu1unrOGOPOQ3x3yuuu1uuuuuuABCD中，AE-AB，af，3uuur则AG1uuur=AD,CE与BF相交4分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点

6、在一条直线上，可用平面三点共线定理求解解：QE,G,C三点共线,得unruuuruuirAGxAE(1x)ACuuir1rr又QF,G,B三点共线,由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数uuu1uuu,QAE-AB32xrAGxa(1x)(a31 ruurrra,ACab3x)bb)(1亏)a(1由平面三点共线定理可得:存在唯一的一对实数使得uuuruuuAGAB(1uuurrAGa(1由两式可得：uuuruuur)AFQAF1r)4b12x31x1uuir1rADb,446x-73uuir3r1rAGab777点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上）1

7、34变式2、在三角形ABC中,AM:AB=1:3,AN:AC=1:4,BN解：Q N,P,B三点共线,与CM相交于点P,且ABa,ACb,试用a、b表示AP由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得APuuur LULT xAB yAN, x y4,QANAC=1:uuuuuuyuuurAN1ACAbAPxABACx；ybx；xbI44444又QC,P,M三点共线，由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数uuu uuuu AM uuuruuurr 1 rAPa ba331?/ AM : AB=1 : 3r b11AM AB -a , 33由两式可得:x31 x4311211y 1,

8、 y11uuuAP3 ra11211练习：uuu uuu uuu r uuu r1. OAB，点 P 在边 A?上，AB uuu3AP ,设 OA a, OB bP1r 2rr 2rB. a31rC. 1a 2bD. 2a -bUULT ULU2、平面直角坐标系中,O为坐标原点，已知两点 A(3,1), B(-1,3)，若点C(x, y)满足OC = aOA +uuuA . 3x+2y-11=0B. (x-1)2+(y-2)2=5C . 2x-y=0D. x+2y-5=03.已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足(BOB,其中a,氏R且a+ (3=1,贝U X, y所满足的关系式为AP xA

9、B yAC,x.y R ,贝 U的最小值是4、在平行四边形 ABCD中，0是对角线AC与BD的交点,E是BC边的中点，连接 DE交AC于点Fo已知AB = a, AD = b，则 OF 二(A. a+ 1 ,b B.36(a+ b)C. (a+ b)1 ,b5、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考)在平行四边形ABCD中，E F分别是5a- 5b B. 5a+ 5bC - 5a + 5b5a - 5bBC、CD的中点，DE交AF于H,记AB、BC分别为a、b,则AH =(AE(2008年卷)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,的延长线与CD交于点F.若UULTUUITACa,BDUULTb,则AF(1-b B .2C.-ab247、在平行四边形ABCD 中,uuu1uuuuuuAE-AB,AF3uuuABADb,则AG=()A.a21，b77B.2a3，b771uuur-AD,CE与BF相交于点4c31,4C.abD.-a777G,记2,b78、在 ABOuu r uuu OA a,OBuuur1uuuuuur1uuu中，已知OCOA,ODOB,且AD与BC相交于点M,设42ruuuurrb,则OM(结果用a与b表示)