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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的
2、答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。4、 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高.线性回归方程中系数计算公式,.其中表示样本均值.是正整数，则）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设复数满足，其中为虚数单位，则=A B C D【解析】B;依题意得，故选B.2已知集合为实数,且,为实数,且,则的元素个数为A0 B1 C2
3、D3【解析】C;题意等价于求直线与圆的交点个数,画大致图像可得答案为C.3. 若向量，满足且，则A4 B3 C2 D0【解析】D;因为且,所以，从而，故选D.4. 设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A是偶函数B是奇函数C是偶函数D是奇函数【解析】A;依题意,故,从而 是偶函数，故选A.5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为xyO2AA BC4 D3【解析】C;目标函数即,画出可行域如图所示，代入端点比较之，易得当时取得最大值,故选C6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若
4、两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A BC D【解析】D;设甲队获得冠军为事件,则包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率,从而选D7. 如图13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A B C D【解析】B;该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为 的四棱柱，又平行四边形的底边长为,高为,所以面积 ,从而所求几何体的体积,故选B8.设是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的. 若,是的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是A中至少有一个关于乘法是封闭的 B. 中至多有一个
5、关于乘法是封闭的C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. 中每一个关于乘法都是封闭的【解析】A;因为,故必有或,不妨设,则令,依题意对,有,从而关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取,则为所有负整数组成的集合,显然封闭,但显然是不封闭的,如;同理,若奇数，偶数，显然两者都封闭，从而选A二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）9. 不等式的解集是 .【解析】;解法一:原不等式或或,解得,从而原不等式的解集为.解法二(首选):的几何意义为到点的距离与到点的距离的差,画出数
6、轴易得.解法三:不等式即,平方得,解得.10. 的展开式中，的系数是 （用数字作答）【解析】;题意等价于求的展开式中的系数,令得,故所求系数为.11. 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，则_.【解析】;由得,故.12. 函数在_处取得极小值.【解析】;,当或时，；当时，故当时，取得极小值.13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.【解析】;提炼数据为,易得,于是，从而，,.所以线性回归方程为，当时，. 正确做法：抓住“儿子的身高与父亲的身高有关”提
7、炼数据易得平均值,于是，从而，,，所以线性回归方程为，当时，.(这题做完后没把握!疑问是的值取的理由!)（2） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 和，它们的交点坐标为_.【解析】;对应普通方程为,联立方程消去得,解得或(舍去),于是,故所求交点坐标为.15.(几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，=, 则= .【解析】;结合弦切角定理易得,于是, 代入数据解得.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。16. (本小题满分12分
8、)已知函数（）求的值； （）设求的值.【解析】（）； （）因为，所以，因为所以，又所以，所以.17. (本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5 件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（）当产品中的微量元素x , y满足x175，且y75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等
9、品数的分布列及其均值（即数学期望）.【解析】（）乙厂生产的产品数量为件. （）样本中满足x175，且y75的产品有件,故样本频率为,则可估计乙厂生产的优等品数量为件.（）的可能取值为,且,故的分布列为的数学期望.18.(本小题满分13分) 如图5,在椎体中,是边长为1的菱形，且,分别是的中点. （）证明：平面; （）求二面角的余弦值.【解析】（）连接，xyzM 因为是边长为的菱形，且， 是的中点，所以均为正三角形， 且， 所以 所以，从而， 取的中点，连接，因为，所以, 又，所以平面，所以 在中，因为分别是的中点，所以，所以 又，所以平面. （）解法一:由（）知为二面角的平面角,易得,在中,由
10、余弦定理得所以二面角的余弦值为.解法二:先证明平面，即证明即可，在中，；在中，所以在中，在中，故为直角三角形，从而.建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设平面的一个法向量为，则，从而，解得，令得显然平面的一个法向量为，从而，所以二面角的余弦值为.19.(本小题满分14分)设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.（）求圆的圆心轨迹的方程;（） 已知点,且为上动点,求的最大值及此时点的坐标.【解析】（）设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为,半径为2； 圆的圆心为,半径为2；依题意,有或 所以 所以圆的圆心轨迹是以原点为中心,焦点在轴上,焦距为,实轴长为的双曲线, 因此,故轨迹的方程为. （）易得过点的直
11、线的方程为, 联立方程消去得,解得, 则直线与双曲线的交点为, 因为在线段外,所以, 因为在线段内,所以, 若点不住上,则, 综上, 的最大值为,此时点的坐标为.20.(本小题满分14分)设,数列满足,.（）求数列的通项公式；（）证明：对于一切正整数,【解析】（）由得, 当时, , 所以是以首项为,公差为的等差数列, 所以,从而. 当时, ,所以是首项为,公比为的等比数列,所以,从而. 综上所述,数列的通项公式为 （）当时,不等式显然成立; 当时,要证,只需证,即证(*) 因为 所以不等式（*）成立，从而原不等式成立；综上所述，当时，对于一切正整数, (解后反思)事实上如果利用多元基本不等式更
12、简单,.21.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系上,给定抛物线:,实数满足,是方程的两根，记. （）过点作的切线交轴于点.证明:对线段上任一点有 （）设是定点，其中满足,.过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交与.线段上异于两端点的点集记为.证明:;（）设.当点取遍时，求的最小值(记为)和最大值(记为).【解析】（）因为,所以,过点的切线方程为 即,从而,又在直线上,故,其中 所以方程为,解得, 由于,且同号,所以,所以 （）过点且切点为的的切线方程为: 因为,所以且,因为, 所以,即 即,所以,所以 因为,且同号,所以 反之也成立,所以, 由（）可知,反之,逆推也成立,所以 综上,. （）此题即求当点取遍时,方程的绝对值较大的根的最大值与最小值, 解方程得,因为, 令,解得或，所以， 因为，所以，于是 所以，所以 设（），令，则 则，所以 综上，当或时，；当时，.
2011年高考数学（广东卷理科）word版（全解全析）
