概率论与数理统计(理工类第四版)第三章多维随机变量及其分布习题答案

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1、概率论与数理统计（理工类-第四版）第三章多维随机变量及其分布习题答案第一章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量及其分布习题1设(风门的分布律为312?116L91/1B29求曰一分位二由分布律性质尸,可知1/6+1/9+I/1S+l/3d+1/9=I,解得仃:2,9.|可魅2(”一|2 .IS(X,X)的分布函数为fy),试用用工W表示：I答尸依b、Fit)=仪hc)-F&?).习题2(2)3 .设氏rj的分布函数为网工用，试用Hx,y)表示：(2)P0Ybj解答：尸；0%Y6.解答:|尸:*Yb-F(+*,用一片外力).习题3(1)4 .设二维离散型随机变量的联合分布如下表:3S5Q123

2、411/4001/1621/161/401/4301/161/160试求：（1）尸J3,oy4；122J解答：Id,oy4、123，J=P（X=Ly=i+px=i,y=2+P=i.y=31 - 4 =o + o +1 - 4 =习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:123411/4001/1621/161/401/4301/161/160试求：（2）尸1WX42,3vyw4”解答：P1X2,3y0.解答：尸maxXn20=尸乂V至少一个大于等于0=px0+0-pxo,yo4435=z-+-=.7777习题5(XD只取下擞值中的值：(0,0),(-1,I),-I,(2,0)且相应

3、概率侬次为；，(，请列出(尤X)的概率分布表，并写出关于y的边缘分布.解答；如图所示由J工/(X,y)dxdy=I,确定常数4.jfk(6-x-y)dydx&1(6-2x)dx=JU=1所以X(2)PXI,Yv3=公36-1-丁)心=(.(3)HXvl.5)=J：%；(67-)9=|(4)尸Ry44=(67-y)dy=1.习题8J已知人和y的联合密度为c、吟OWI,O“W1/(2)=一I0,其它试求：(1)常教C；(2)人和卜的联合分布函数解答：(I)由于1=jJ/(.V,y)(/xdy=Jxydxdy=；,o=4.当x40或y4。时,显然F(x,y)=0j当时，显然尸(x,刃=b设04x4I

4、,0yI有F(ky)=jJ/(,v)dudv-4wt/wvi/v-ryrjfe0x,有Fx,y)PX1,Y晨后，设x0,OMyVl,有y)=PXI,Y）t 0 / I ,即1其它.3.2条件分布与随机变量的独立性.函数尸(1.y)在平面各区域的表达式0F(x. )= 0,xGi&yQx2.0x100A1,0Jl,04y4l1,X1,1习题9设二维随机变量（Mn的概率密度为4.8v(I-x),0xI,yI0,其它求边缘概率密度八解答：I/式幻=匚/(乜)网，4.町(17孙0xlI0,其它2.4(1-f)(l-x),OWxW10,其它/心)=1：/()以_4.8川7心,O”W1I0,其它_2.4炉

5、(2-y),0二川0,其它I习题W设（工V）在曲F-H所围成的区域行里服从均匀分布J求联合分布密度和边缘分布密度.解答:区域。的面积月二%-工）公=1j由题设知（X冷的联合分布密度为6, 05 jcS Lx2f（x.y） = I ft,其它从而J ./您m=叱曲=65/）o-l即6（%-/）. OWhW 】/式X） = JI(2)P(y=0|x = 0 =Pk = 0j=0 2= 0)Pyf= I x = O =31:丁二维随机变量（尤D的分布律为0107/157/3017/301/15（I）丫的边缘分布律5（2）求PY=0|X=0,PK=l|X=0H（3）判定“与是否独立？解答：（1）由a.

6、y）的分布律知，J只取o及I两个值.PW=0=Px=0，V=0+P*=l,y=0)=-+=0.7,H = 0-3?J=1=ZPk=U=1)=Ji-oJU（3）已知。x=O.y=O=a，由（I）知尸3=0=0.7,类似可得Pjf=0-0.7.因为P0,片0）*“三0廿一0,所以gy不独立.习题2将某一医药公司9月份和8份的青毒素针剂的订货单分别记为人与.据以往积累的资料知上和y的联合分布律为百5152535455510.060.050.050.010.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.03550.0

7、50.06Q.Q50.010.03（1）求边缘分布律；（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.解答：i(I)边缘分布律?X|5152535455Pk080150.350.12OZcT，对应人的值，将每行的概率相加，可得巴X=i.对应)的值(最上边的一行)，将每列的概率相加，可得p;y_/.Y|5152535455一|0.280.280.220.090.13.(2)当丫=51时，的条件分布律为内(X=用丫=51)=：XT】T【；=至1,%=51,52,53,54,55.列表如下：PY-50.28Y5152535455巴X=用y=5l6287/285/285/285728习题3已

8、知(X,D的分布律如下表所示01201/41用0101/3021/601/8试求：(1)在丫=1的条件下,4的条件分布律;(2)在X=2的条件下，)的条件分布律.解答；由联合分布律得关于的两个边缘分布律为X012Y0129/248/247/24P,10/2411/243/24故(1)在丫=1条件下，上的条件分布律为X01203/118/110(2)在X=2的条件下，的条件分布律为Y012化4/703/7习题4已知（X,X）的概率密度函数为3x,0x1,0yi0,其匕求：（I）边缘概率密度困数；（2）条件概率密度函数.解答：,9o)/MW=J_/a，y)4=3F, 0x I.0,比它f 4-00

9、/)v) = J f(x.y)dx =,(I -/), y I0.它(2)对 Vye(O, 1),z f(x. y)2x1-y0,其它I0yxJr0,其它习益5 与y相互独立，其概率分布如表5）及表S）所示，求；（尤n的联合概率分布,PX+K=IbPX+YaO.X-2-101/2Y-1/213Pl1/41/31/121/3p.121/41/4表(a)表9)解答：由人与相互独立知PX=xt,y=M=/X=xJPy=y）,1=1,2,3,4,;=l,2,3,从而（X,丫）的联合概率分布为-1/213-21/81/161/16-11/617121/1201/241/481/48in1/61/121/

10、12QT+y=1=尸T=-2=3+PX=0,K=II11=+=,164812尸X：roi=!-?%+y=o)=1-PX=一i.y=i-p.x=y=一：L!=!12-6=4习题8设随机变量”的概率密度/(.r)=-e-w(-ocx0,各有?XSn,昨。)二2心臼昨而事件因Wau1*4。),故由上式有PXa=PXaPXr昨。(|一?心。)=0=sPxa|)=OsS1=PX0),但当”0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与因不独立.习题声设共和是两个相互独立的随机变量，人在(o,I)上服从均匀分布，y的概率密度为0,(I)求人与的联合概率密度；(2)设有”的二次方程/+2X4+y=0,求它有实根的概率

11、.解答:(I)由题设易知仙=kOjI、0.其它又用,相互独立，故X与T的联合概率密度为居F)二/乂力广曲)=Y=JJy)dxdy=工心j；e上力二】=广/公L.二1一技打乂一/j=1技由-6J又中_0另413J由-工5-于是中-创0)-0341力所吹产加有实根=1技61)中(0)*1-251XO.34L3=0.1433.3.3二维随机变量函数的分布（1）Z=X+N的分布律为z-20134p.1/101/51/21/101/10（2）z=xy的分布律为z-2-1124p.1/21/51/101/101/10（3）z=*y的分布律z-2-1-1/212P)1/51/53/101/51/10(4)Z

12、=maxyj.x2y求u与1的联合概率分布.解答，I依题(U,Q的概率分布为Pu=o,vqpxy,xvy)=PXMr=M=r/U=o,F=l=PT2r=0,PU=1,/=0=PXy,XW2Y=PYX.2YPU=i,r=ij=1一尸U=o.=0;-。=0,/=1p；u=I,P=0=1/2,米0101/4011/41/2习题6谩(其与的联合分布密度为I，(,)=L2，Z=Jx2+Y2,2ky求Z的分布密度.解答：依题意，由F/z)=P(Zz)-z当zvO时，以2)=尸(0)=Oj当ZNO时，以z)=P+尸，)Jff(xty)My=e2pdp=1-e*故2的分布函数为“JF*z)=Ie2,zNO,0

13、,z0,y0/a，)=20,其它(|)向/和，是否相互独立？(2)求zx+y的概率密度.解答：/#)/a,)砂0,x 0/ J 2().0i(x+l)e x,x0-(y+ I)e y0由对称性知/G)2，显然0， ”0，(X. y) * /式 x)/)G) x0, y0, 所以人与 不独立.(2)用卷积公式求/乂z) = J1/a, z-x)dx.当 0即 以xu时, JX0时，/Z)= ；xedx= -re 2.2于是，zx+y的概率密度为八，一n-rez02)=2、0,ZO习颍6设随机变量Xy相互独立，若火服从(0,I)上的均匀分布，卜服从参数的指数分布，求随机变量z=x+的概率密度.解答

14、：依题意，尤的概率密度分布为1,0xIM，yNO/(幻=,g(y)=，Io，其匕0.其它由卷积公式得Z=x+y的概率密度为/)=(:/a)g(2-幻小，于是当0x1,Z-X20时，“X族(z-x)HO,故当OvxVzvI时，有/Z(z)=，dx=1-ea;当zNI时，有/z(z)=J)-如=。即z的概率密度为(1-e0zI0其它习题7设随机变量(X,与的概率密度为/(X,y) =一划，0xl,Oy+000,其它(1)试确定常数心(2)求边缘概率密度/式工)，八U)5(3)求出数U=maxMR的分布国数.30,其它(? 0 v +o.其它.解答:因此尸40(皿0yv+0.”01-eT0y+80.

15、v0(),y0曲工）=1,%&）=（，0,x（）0,y0,试求系统人的寿命/的概率密度.r解答：设，二min体,F卜则丹工）一巴Z之上巴miMMr）z=-PX:iYz=-PiXz-PY0l-ez0F（工）=）=.,t0.0L0,l十一夫，彳之0E（工）=-1O,z用一*耳上解答：设minpqYZf则FfbvmMfA；F骂力1=Fb-F/a)?F/zi=fnrinJXYz=i-Pmin(A；Yz=I-PXz,Yz=l-PXzPYz=1-P(T川、代人得PaminA；Yb2-(-PXa2)证毕.复习总结与总习题解答习题2在一箱子中装有12只开关，其卬2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种

16、试途:丫二。,若第一次取出的是正品丫.若第一次收出的走次品（I）放回抽样“2）不放回抽样.我fi旋义随机变量X,，如下：0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品试分别就（1）,（2）两种情况，写出X和，的联合分布律.解答：（|）有放回抽样，（x,r分布律如下:p,= o, y=o =P|X=0, y= =10x 10 25昕=讶 =i,r=o）=里也=j p;x=i,y=i =12x 12 362x IQ _ 5I2x 12 362x2 I12x 12 3601025/365/3615/361/36（2）不放回抽样，（x,r）的分布律如下：10x2 二 1012 x 11 - 662x

17、1 I12x11 _6610x945PX=0,y=0）=.u7=,尸X=o,y=i=12x1166PX=l,y=0=2111=史，PX=,r=l=12x1166010456610/6611066L66习题2假设随机变量丫服从参数为i的指数分布，随机变量求（X，4）的联合分布率与边缘分布率.习题5设随机变量人与相互独立j下表夕此了二维随机变量（XK）的联合分布律及关于人与的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：X必P,.片()1/8()()X）10()()()心16()()1由题设人与y相互独立,即有P“=PP，i=l、2;/=I,2,3）,PH.-5又由独立性，有1小夕=夕卜7

18、.I故小从而13二:三7一7,又由12=/），即将上述数值填入表中有Xy必外P,.为(1/24)1/8(1/12)(1/4)心1/8(3/8)(1/4)(3/4)P.1-6（1。）(101设随机变量（尤D的联合分布如下表;-1011/41/4216a求：岫(2)(XK)的联合分布函数尸a,力；(3)(xX)关于尤y的边缘分布函数尸乂幻与f。).解答：(1)由分布律的性底可知工吃=|,故;+：+所以=；.因尸(xjARXMx,Yy当xI或yv-I时，F(x,y)=0当IWxv2，-lWy0时，F(x,y)=PX=I,r=-I=1/4当x22,-130时，产(xj)=PY=|,y=-1+PX=2,

19、y=-11=5/I2；当Ix0时，r(x,p)=Px=i,r=-n+Px=i,r=o=i/2；当x22,yNO时，F(y)=(X=1,y=-PX=2,r=-l+PX-1,y=o4*=2,y=o综上所述，得(XX)联合分布函数为0,xlx$y一11/4,1x2,-1y2,-1j01/2,Ix0I,由qx)=(xwx,r+8=/得(X冷关于火的边缘分布函数为:JT.VX/-I0,x1ii0,xl十1r2尸4外=144=jl/2,X2+-+-+.x224463同理，由匕6)-(腔+。丫今-/”，得(尤)9关于)的边缘分布匹1数为0.y-1Fly)=2/12,-I“v0.、i,”0习题6设随机变量(X

20、X)的联合概率密度电。便.+力,x2+/R/(2)=习趣7谩/(.3)=求/】)和八0) 0 x2, max(0, a - 1) V4min( 1.x)0,其它解答：依题意0, x 1所以,J）有意义的区域（如图）可分为X, xl01,0”4刈，(14*42,1,04xSL04,Wx艮r*/(，3)=，10/42,x-l“41，所以0,其它t/v,0x1幻=，分,1W2x, 04 I2 -x,l 0,其它/G =cJx, 0 I0,其它I, 07 1i 0,其它、0,其它习题8若（MD的分布律为则a应满足的条件是，若大与独立，贝ll=B=.解答：古nI21应埴。+/=丁T由分布律的性质可知%=

21、I,故1111.69IX3即“=L3又因人与y相互独立,PX-i,Y-i-PX-iPY-i,从而a=PX=2,r=2)=PX=iPY=j:=(海(渭)2=a=-39y=POj0x，y)=u.Io,其七(I)确定常数CJ(2)求xy的边缘概率窗度函数)(3)求联合分加由数(4)求尸YMXb(5)求条件概率沼度函数；(6)求尸Xv21y解答：I(I)由JJf(x,y)dxdy=1求常数e.丁】。0=c_卜dl；Y-e)/J。12J=5=1,所以。=2.r”2厂%、九x0(2)/v)=J/(x,量9=J几0,x40J2rF,x00,x0I。，”0尸(3)/J/(w.v)dvduJJ：2ee小du、x

22、0.y00,其它(I-e-lt)(l-e-),xO,y00.其它(4)尸YW埼=J：2e隈ydy=J；2e11-e)心=g.（5）当）0时Ap0=0,x0(6)P；Xv21yl=x2,y“-PY-=1-c习题10设随机变量次以概率I取值为0，而y是任意的随机变量，证明火与，相互独立.解答：因为”的分布函数为中）=OjixvON1,、除之而设，的分布函数为尸心），（XX）的分布函数为月（KT）,则当x0时，对任意上有厂（5,y）=PXVx,YyP（XYy）三/0C（Y）二2。=0=尸式X）尸助5当丫20时，对任意外有F（y）=PXx,Y（Y独立.习题11设连续型随机变量（x,r）的两个分量力和）

23、相互独立，目服从同一分布，试证PXY=1/2.解答：因为XJ独立，所以/3,）=八。）/秒）.pxsrj=/力公=JJ/#）/）。）心的xir:八。）/J）时的.I/LF2（y）1=fJ-h22注；也可以利用对称性来证，因为*；独立同分布，所以有PXn=l?故PX0Y=1/12设二维随机变蚩（XD的联合分布律为修a1/9C19h1/3若二与，相互独立，求参数，儿c的值.解答:关于J的边缘分布为Pa0+ 4+ 一。+ 一993关于）的边缘分布为YyPki a + c + -9由于X与独立贝解了得由PlZ=P|P 得1=9由式得/=;，代入式得=由分布律的性质，有.111.a+/+c+-+-=I9

24、93代人,1得“：.易验证，所求,4c的值，对任意的1和/均满足0/=0xp厂因此，所求。，瓦。的值为1.21ab=。=.1896习题13已知随机变量X和X的概率分布为X-101X、01A1/41/21/4P,1/21/2且&*/7=0=1.(1)求X和乂的联合分布律；(2)问X和M是否独立?解答：(1)本题是已知了X与乂的边缘分布律，再根据条件巴乂兄=0=1,求出联合分布.由已知P氏工=0=1,即等价于PXXW0=0,可知02=刊=1，2=1=，02=巴=_|，&=1=0,再由P,2=P12+Pn+P12,得111P12=Z，化1=/-“2=从而得/5=0.列表如下：01巴X=M-11/40

25、1/400m1/211/4014PX)=j;1/21/2(2)由于/)“=；=/)1/)=；.；=(,所以知乂与M不独立.习期14设(X4的联合密度函数为x2-y2R2/，)=JnR-，0,我它(1)求火与，的边缘概率密度：(2)求条件概率密度，并问人与)是否独立？解答:(1)当XVR或XAR时，/式幻=：/”,切力=：00=0；当-/?WR时，/刈=：/(.3亦=奈塔河=熹小记彳.于是1丝./r)=nR20,其它由于“和t具有对称性,序去可得)的边缘概率密度为2JR2-y2o,其它(2)/、冲,)=丝”1,注意到在y处值位于卜卜也亏这个范围内,./G)值，故在此范围内，有/vQ卜)=-=.岛

26、-亲历g即y=y时”的条件概率密度为/旭仲)=此它/门0付=，年同法可得X”时y的条件概率密度为其它由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与不独立.习题15设(XK)的分布律如下表所示-1121/102/103/1022/101/101/10求：(l)Z=*+h(2)Z-max,匕的分布津分析：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.解答：依题意有如图所示的概率表,(X.Y)(-1,-1)(4,1)(-112)(2,-1)(2,1)(2,2)Z=X+Y-201134Z=maxX:Y-112222P,1/101/53/1

27、01/51/101/10于是，有(i)z=x+y的分布律为Z-20134A1/101/51/21/101/10Z=maxX,Y：的分布律z.112p.1/101/57/10习题16设D的概率密度为求z的概率密度.1,0xl,0j2(l-x)0,其他解答：先求2的分布的数二)，再求概率密度四2)/gdz=z(2-z)-；(2-z+(z-1)、0.z00zlI Sz2zA2当zN2时，JJfx,y)dxdy-公02y=1.综上所述“I,z,041故，(z)=2-z,lz0习题18设随机变量人与相互独立，其概率密度的数分别为k OWxMI0,其它y()八0)=，0,y00,jt它于是当z0时，有F(z)-PZ2时,有产(z)一尸2%十丫42一(的edy-(1-9.利用分布的数法求得2-2X+的概率密度函数为0.20.以2)=，(1-。204zdy=b(-e)=1,所以b=L,从而l-e-,OVX1,0vjy+00/(M，y)=|1-e-0.其它(2)由边缘概率密度的定义得f*X5e,FVWy,OxlX)=J。-T、0,其它f!+00X)=J。”-I0,其它因为/住,刃=八小)/0)，所以X与y独立，数尸?(maxX,Y0“=P(XSu,Yu=口叫(“),一,1*X其中Q)=fW=二，Ovxvl,所以Joi-e*1i-r1o.x0-90x1eLxNI同理